2022屆山西省臨汾市高三二模數(shù)學理試題解析版

2022屆山西省臨汾市高三二模數(shù)學（理）試題一、單選題1．設，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法設出，為實數(shù)，根據(jù)條件建立方程求解即可.【詳解】解：設，為實數(shù)，則，于是故，所以，則.故選：D2．已知集合，，則（）A．S B．TC．R D．【答案】A【分析】利用集合的基本運算法則進行求解.【詳解】解：當（偶數(shù)）時，則當（奇數(shù)）時，則或故答案為：A3．已知向量．若，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算以及向量平行的坐標表示即可求出．【詳解】因為，而，所以，解得．故選：B．4．已知雙曲線經(jīng)過點，，則其標準方程為（）A． B．C． D．或【答案】A【分析】本題已知A，B兩點坐標，將其代入雙曲線標準方程即可得到結果【詳解】設雙曲線方程為則，解的所以雙曲線的方程為故選：A5．如圖，網(wǎng)格中小正方形邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體后計算表面積【詳解】由三視圖知圓幾何體如圖所示，是一個正方體截去一個三棱錐有3個面為正方形，3個面為五邊形，1個面為等邊三角形故故選：B6．若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)換底公式及對數(shù)恒等式求解即可.【詳解】，，，故選：B7．的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)可知二項式系數(shù)最大值為，再根據(jù)二項展開式的通項公式賦值即可求出．【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，即時，x的系數(shù)為，而二項式系數(shù)最大值為，所以，即．故選：A．8．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】按照迭代方式代入根據(jù)格式判斷規(guī)律為等比數(shù)列的求和，按照等比數(shù)列求和公式求出數(shù)據(jù)逐漸做判斷即可得解.【詳解】經(jīng)過判斷框時，第一個S變?yōu)?，n變?yōu)?，第二個S變?yōu)?，n變?yōu)?，第三個S變?yōu)?，n變?yōu)?，第四個S變?yōu)?，n變?yōu)?，第九個S變?yōu)?，n變?yōu)?0，第十個S變?yōu)?，判斷框按照“否”輸出n=10.故選：B.9．已知拋物線的焦點為F，點A在C上．O為坐標原點，若，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】作圖，利用題目所給的條件，計算出A點的坐標即可.【詳解】依題意作下圖：,拋物線C的準線為x=-1，過A點作準線的垂線，垂足為B，過點F作直線AB的垂線，垂足為D，由條件得，設，則，由于A在拋物線C上，，解得或（不符合題意，舍），，；故選：C.10．第屆冬奧會開幕式于年月日在北京舉行．本屆冬奧會開幕式上的“大雪花”融合了中國詩詞、中國結和剪紙技藝等中國傳統(tǒng)文化元素，很好地將奧林匹克精神和中國人民的友誼傳遞到世界各個角落，獲得了世界人民的普遍贊譽．為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某藝術中心將舉辦一次以“雪花”為主題的剪紙比賽．要求參賽選手完成規(guī)定作品和創(chuàng)意設計作品各幅，若選手共有不少于幅作品入選，則該選手將獲得“冰雪之韻”紀念品．某選手完成了規(guī)定作品和創(chuàng)意設計作品各幅，指導教師評定其中規(guī)定作品幅和創(chuàng)意設計作品幅符合入選標準，現(xiàn)從這幅作品中隨機抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意設計作品各幅，則指導教師預測該選手獲得“冰雪之韻”紀念品的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合數(shù)可分別求得總體基本事件個數(shù)和選手獲得“冰雪之韻”紀念品的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結果.【詳解】從幅作品中抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意設計作品各幅，共有種選法；若選手獲得“冰雪之韻”紀念品，共有種選法；所求概率.故選：D.11．已知函數(shù)，若恒成立．則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在時，由二次函數(shù)的最小值大于等于0確定a范圍，在時，分離參數(shù)構造函數(shù)，求函數(shù)最小值即可推理作答.【詳解】依題意，當時，，當時，，解得，當時，在上單調(diào)遞減，成立，則有，當時，，令，，，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，綜上得，，所以a的取值范圍為.故選：B12．筒車亦稱“水轉筒車”，是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為的筒車按逆時針方向做一圈的勻速圓周運動，已知筒車的軸心O到水面的距離為，且該筒車均勻分布有8個盛水筒（視為質點），以筒車上的某個盛水筒P剛浮出水面開始計時，設轉動時間為t（單位：），則下列說法正確的是（）①時，盛水筒P到水面的距離為；②與時，盛水簡P到水面的距離相等；③經(jīng)過，盛水筒P共7次經(jīng)過筒車最高點；④記與盛水簡P相鄰的盛水簡為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【分析】建立直角坐標系，依題意作圖，分析其中的幾何關系即可.【詳解】依題意作圖如下：以水車的軸心為原點建立直角坐標系如上圖，由題可知水車旋轉一周的時間為4min，當P剛露出水面時，與y軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，（1）當P旋轉1min時，旋轉了，旋轉到D點，此時D點到水面的距離為，所以①正確；（2）當min時，旋轉了周，即，此時的位置是E點，與y軸正半軸的夾角是，當min時，P旋轉了，即C點，與y軸正半軸的夾角也是，C點與E點到水面的距離相等，所以②正確；（3）從P點旋轉到最高點共轉動了，所需的時間是min，，經(jīng)過30min，盛水筒P共8次經(jīng)過筒車最高點，所以③錯誤；（4）設Q在P的上方，OP與y軸負方向的夾角為，則OQ與y軸負方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當時取最大值為，故④錯誤；故選：A.二、填空題13．若x，y滿足則的最大值為__________．【答案】16【分析】根據(jù)約束條件得到可行域，分析要使有最大值，等價于在可行域上有交點的情況下函數(shù)與軸的截距最小，數(shù)形結合，即可求得答案.【詳解】x，y滿足根據(jù)約束條件畫出可行域聯(lián)立方程：，解得，，故可得，根據(jù)圖象可得當經(jīng)過時，函數(shù)與軸的截距最小此時取最大值，故答案為：16.14．已知函數(shù)有2個不同的零點，則k的取值范圍是____________．【答案】【分析】將問題轉化為關于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，于是畫出曲線與直線的圖象，結合圖象求解即可【詳解】因為函數(shù)有2個不同的零點，所以關于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，即曲線（圓的上半部分）與經(jīng)過定點的直線有兩個不同的交點，如圖過作圓的切線，則點到切線的距離，解得（舍去）或，所以，得，即k的取值范圍是，故答案為：15．如圖，在圓錐中，，直線a，b在圓O所在的平面內(nèi)，且．若直線與a所成角為，則直線與b所成角為________．【答案】【分析】根據(jù)平行線的傳遞性，在圖像中找到直線b的平行線BD，求出AB與BD所成角即可得到直線與b所成角.【詳解】根據(jù)已知，做直徑交圓O于兩點，如圖所示.因為，所以，不妨設，由圓錐可知，所以，，由勾股定理可得：，所以，同理可得，可得.因為CD為直徑，所以，所以.因為直線與a所成角為，不妨取平行于a，又因為，所以BD平行b.所以直線與b所成角為與BD所成角，等于.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足，且前項和為，則_______．【答案】【分析】當為奇數(shù)時，采用累加法可求得；當為偶數(shù)時，；采用分組求和的方式，分別求解奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，從而利用前項和為構造方程求得結果.【詳解】當為奇數(shù)時，；，，…，，各式相加得：，當為偶數(shù)時，；，解得：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關系式求解數(shù)列首項的問題，解題關鍵是能夠分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下得到奇數(shù)項和偶數(shù)項滿足的關系式，采用分組和并項求和的方式可構造方程.三、解答題17．內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡求解作答.（2）利用正弦定理角化邊，結合勾股定理及直角三角形邊角關系求出即可作答.【詳解】(1)在中，由正弦定理及得，，于是得，化簡整理得，即，而，則，又，所以.(2)因為，由正弦定理得：，則，由（1）知，在中，，，即，于是解得，顯然有，即，則，所以.18．生產(chǎn)實踐中工人生產(chǎn)零件長度的總體密度曲線是正態(tài)分布曲線．甲、乙2名工人生產(chǎn)零件長度的總體密度曲線分別是，，其中．(1)判斷甲、乙2名工人生產(chǎn)水平的高低，并說明理由；(2)現(xiàn)從甲乙2名工人生產(chǎn)的零件中分別抽取3件，2件．變量X表示這5件零件中長度小于標準長度（平均值的估計值）的件數(shù)，寫出X的分布列，并求．【答案】(1)乙工人生產(chǎn)水平高，理由見解析(2)分布列見解析，，【分析】（1）根據(jù)的意義即可判斷；（2）因為甲、乙2名工人生產(chǎn)零件長度的平均值相等，所以從甲乙2名工人生產(chǎn)的零件中分別抽取3件，2件，可看成重復抽取件，所以由，即可寫出分布列，期望以及方差．【詳解】(1)因為甲、乙2名工人生產(chǎn)零件長度的平均值相等，而，說明乙工人的生產(chǎn)水平較穩(wěn)定，從而認為乙工人生產(chǎn)水平高．(2)由題可知，所以，．X的分布列為：X012345P所以，．19．如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現(xiàn)將分別沿折起，使，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）在圖（1）中結合余弦定理證明，進而證明平面，再證平面即可推理作答.（2）證明平面，再以E為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【詳解】(1)圖（1）中，，則，而，即，在中，，有，同理可得，則，圖（2）中，，則，而，平面，則有平面，在中，，則，又，，平面，因此平面，所以.(2)因為，則，又，平面，于是得平面，在平面內(nèi)作，則兩兩垂直，如圖，分別以為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，設，則，由，得，則，設平面的法向量，則，取，得，設直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知橢圓的左、右焦點分別為，點P為C上任意一點．當P位于短軸端點時，為等邊三角形且面積為．(1)求C的標準方程；(2)當P在x軸上方且軸時，過P做傾斜角互補的兩條直線分別交C于不同的兩點M，N，求直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目所給的條件，即可算出；（2）先求出P點的坐標，設直線MN的方程，聯(lián)立方程，用韋達定理即可.【詳解】(1)由題可知，且，又，可得，c=1，所以C的標準方程為．,(2)由題知，直線的斜率存在，可設其方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，由得．設，由韋達定理得，由得，整理得，將韋達定理代入并整理得：，即，若，則，直線的方程為，即，此時直線過點P，不合題意舍去；故，即，所以直線的斜率為；綜上，橢圓的標準方程為，直線的斜率為.【點睛】本題的難點在于使用韋達定理后所得方程的因式分解，必須使用分組分解的方法，計算量也很大，計算過程需要耐心仔細，對計算出的結果要分析是否合理.21．已知函數(shù)，其中．(1)當時，若有大于零的極值點，求b的取值范圍；(2)若存在不同的，使曲線在處的切線重合，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接求導，結合導數(shù)的單調(diào)性進行判斷；（2）利用切線重合，得到斜率相同和軸上的截距相等，構造函數(shù)和，利用存在不同的使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等求出a的取值范圍即可.【詳解】(1)當時，的導函數(shù)為，易知在上單調(diào)遞增，，所以，要使的零點大于零，則．(2)函數(shù)的導函數(shù)為，在處的切線為，在處的切線為，由切線重合知，存在不同的同時滿足①，②，①②設，，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當時，令，則在上單調(diào)遞增，又，即在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，結合，所以存在，使得．所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，又因為，所以存在，使得．即有大于零的零點，注意到為奇函數(shù)，此時取，有．因為為偶函數(shù)，所以．即存在不同的同時滿足①，②，也即存在不同的，使曲線在處的切線重合.綜上a的取值范圍是．【點睛】本題關鍵點在于利用兩條切線方程的斜率相同和軸上的截距相等，構造函數(shù)和，利用存在不同的使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等求出a的取值范圍即可.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.直線的極坐標方程為.與，分別交于A，B兩點（異于點）.(1)求的極坐標方程；(2)已知點，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關系式，結合極坐標方程與直角坐標方程互化公式進行求解即可；（2）利用代入法，結合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】(1)曲線的普通方程為，因為，，所以的極坐標方程為；(2)因為直線與，分別交于A，B兩點，所以將