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問題的提出一元函數(shù)的泰勒公式：6-7多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式問題：能否用多個變量的多項式來近似表達(dá)一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.即

設(shè)),(yxfz=在點),(00yx的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到1+n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

為此鄰域內(nèi)任一點,能否把函數(shù)近似地表達(dá)為的n次多項式，且誤差是當(dāng)時比

nr

高階的無窮小．

00,yyxx-=-=一元函數(shù)的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式：1.二元函數(shù)的微分中值定理定理1(二元函數(shù)的拉格朗日中值公式)

或?qū)懗勺C有鏈規(guī)則得另一方面，又一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，可以推出，存在一個，，使得即證畢.函數(shù)在一點的階微分為:如：2.二元函數(shù)的泰勒公式利用這種記號拉格朗日種值公式可寫成：定理２證顯然由鏈規(guī)則且遞推地得到其中---拉格朗日余項

則令所以二元函數(shù)的帶皮亞諾型的泰勒公式泰勒多項式例1求函數(shù)在點(1,1)的二階泰勒多項式及帶皮亞諾余項的泰勒公式.解先計算函數(shù)在(1,1)點的各界偏導(dǎo)數(shù)：即多元函數(shù)的泰勒多項式的唯一性定理.例2在點(0,0)的鄰域內(nèi)，將函數(shù)按帶皮亞諾型余項的泰勒公式展開至二次項.解已知因而由上兩式

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