2021-2022學(xué)年北師大版必修五-等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用-學(xué)案

第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用知識點(diǎn)一等差中項(xiàng)[填一填]如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A就叫作a與b的等差中項(xiàng)，其中A＝eq\f(a＋b,2).[答一答]1．任意兩實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)嗎？提示：有．知識點(diǎn)二等差數(shù)列的假設(shè)干性質(zhì)[填一填](1)給出等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)an，am，可得d＝eq\f(an－am,n－m)，an－am＝(n－m)d.(2)結(jié)合等差中項(xiàng)公式可知，假設(shè)m，n，p∈N＋，且2p＝m＋n，那么2ap＝am＋an.假設(shè)m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，那么ap＋aq＝am＋an.(3)假設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，①數(shù)列{λan＋b}(λ，b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列．②抽取下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)組成公差為md特殊地，一個(gè)等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列．③假設(shè)數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，那么{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差數(shù)列．[答一答]2．怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列？提示：判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：(1)定義法：假設(shè)an－an－1＝d(d是常數(shù)，n≥2，且n∈N＋)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：假設(shè)2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(3)假設(shè)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N＋)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列．1．證明{an}為等差數(shù)列的方法(1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列．(2)用等差中項(xiàng)證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)?{an}為等差數(shù)列．2．三數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法為：a－d，a，a＋d，其中d為公差；四數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法為：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差為2d.類型一等差中項(xiàng)的應(yīng)用【例1】eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差數(shù)列．【思路探究】解答此題的關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化為恒等式的證明.eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，要證結(jié)論成立，只要證明eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2(a＋c),b)即可．【證明】證明：證法一：因?yàn)閑q\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因?yàn)閑q\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(c(b＋c)＋a(a＋b),ac)＝eq\f(c2＋a2＋b(a＋c),ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2(a＋c)2,b(a＋c))＝eq\f(2(a＋c),b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列，證法二：因?yàn)閑q\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(a＋b＋c,a)，eq\f(a＋b＋c,b)，eq\f(a＋b＋c,c)成等差數(shù)列，即eq\f(b＋c,a)＋1，eq\f(a＋c,b)＋1，eq\f(a＋b,c)＋1成等差數(shù)列，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．規(guī)律方法證明三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，一般可根據(jù)定義或等差中項(xiàng)將問題轉(zhuǎn)化為證明等式成立，根據(jù)等差數(shù)列各項(xiàng)乘以(或除以)同一個(gè)常數(shù)(非零整數(shù))或加(或減)同一個(gè)常數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，再結(jié)合問題條件亦可證明．a(chǎn)，b，c成等差數(shù)列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差數(shù)列？解：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b，又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數(shù)列．【例2】求以下各題中兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)．(1)20與30；(2)－14與8；(3)1＋eq\r(3)與2－eq\r(3)；(4)a＋b與a－b.【解】(1)20與30的等差中項(xiàng)A＝eq\f(20＋30,2)＝25.(2)－14與8的等差中項(xiàng)A＝eq\f(－14＋8,2)＝－3.(3)1＋eq\r(3)與2－eq\r(3)的等差中項(xiàng)A＝eq\f(1＋\r(3)＋2－\r(3),2)＝eq\f(3,2).(4)a＋b與a－b的等差中項(xiàng)A＝eq\f(a＋b＋a－b,2)＝a.假設(shè)m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，那么m與n的等差中項(xiàng)是3解析：由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6，所以m與n的等差中項(xiàng)為eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.類型二等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求數(shù)列{a【思路探究】由條件可列出兩個(gè)關(guān)于a1，d的方程，聯(lián)立方程求出a1及d，但解方程的計(jì)算量過大，故可考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【解】∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，解得a4＝∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的兩個(gè)根，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a6＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,a6＝1.))假設(shè)a2＝1，a6＝9，那么d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝2，∴an＝2n－3；假設(shè)a2＝9，a6＝1，那么d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝－2，∴an＝13－2n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－3或an＝13－2n.規(guī)律方法利用等差數(shù)列的性質(zhì)“假設(shè)m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N＋，那么am＋an＝ap＋aq〞來求等差數(shù)列的某一項(xiàng)，可以簡化解題過程，減少計(jì)算量．(1)假設(shè){an}為等差數(shù)列，且a15＝8，a60＝20，求a75.(2)假設(shè){an}為等差數(shù)列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：(1)方法一：由條件，得a15＝a1＋14d＝8，①a60＝a1＋59d＝20.②由①②解得a1＝eq\f(64,15)，d＝eq\f(4,15)，故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.方法二：∵{an}為等差數(shù)列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列．設(shè)新的等差數(shù)列的公差為d1，那么a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20，解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24.(2)∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝類型三探索性問題的解法【例4】等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a45＝153，試問217是否為此數(shù)列的項(xiàng)？假設(shè)是，說明是第幾項(xiàng)；假設(shè)不是，說明理由．【思路探究】這是一個(gè)探索性問題，但由于在條件中兩項(xiàng)的值，所以，在求解方法上，可以考慮運(yùn)用方程思想求解根本量a1和d，也可以利用性質(zhì)求d，再就是考慮運(yùn)用等差數(shù)列的幾何意義．【解】解法一：由通項(xiàng)公式，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝33，,a45＝a1＋44d＝153，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.))故an＝－23＋4(n－1)．假設(shè)217＝－23＋4(n－1)，得n＝61，符合題意，所以217是等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)，且為第61項(xiàng)．解法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4.又an＝a15＋(n－15)d＝33＋4(n－15)，假設(shè)217＝33＋4(n－15)，解得n＝61，符合題意，所以217是等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)，且為第61項(xiàng)．解法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列的圖像是一些共線的點(diǎn)．由于P(15,33)，Q(45,153)，R(n,217)在同一條直線上．故有eq\f(153－33,45－15)＝eq\f(217－153,n－45)，解得n＝61，符合題意，所以217是等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)，且為第61項(xiàng)．規(guī)律方法此題給出了三種解法，第一種是根本解法，第二種運(yùn)用性質(zhì)求解，第三種運(yùn)用等差數(shù)列的幾何意義求解，在實(shí)際解題過程中我們盡量防止繁瑣的運(yùn)算，采用簡單的方法求解．等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為18，前三項(xiàng)平方和為116，且該數(shù)列為遞增數(shù)列，試判斷110是不是等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由．解：解法一：因?yàn)閧an}為遞增數(shù)列，所以a1<a2<a3.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＝116，,2a2＝a1＋a3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,a2＝6，,a3＝8，))所以d＝a2－a1＝2，an＝4＋2(n－1)＝2n.令2n＝110?n＝55，所以110是等差數(shù)列{an}的第55項(xiàng)．解法二：設(shè)等差數(shù)列前三項(xiàng)為a－d，a，a＋d，于是可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2.因?yàn)樵摂?shù)列是遞增的，所以d＝－2，舍去，所以d＝2.所以an＝6－2＋2(n－1)＝2n，以下同解法一．類型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例5】甲蟲是行動(dòng)較快的昆蟲之一，下表記錄了某甲蟲1min內(nèi)的爬行時(shí)間與相應(yīng)的爬行距離：時(shí)間/s123……60距離/cm…49…(1)你能建立一個(gè)模型，表示甲蟲的爬行距離和時(shí)間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計(jì)算：甲蟲1min能爬多遠(yuǎn)？爬行49cm需要多長時(shí)間？【思路探究】觀察上表可知甲蟲每秒爬行的距離相等，即可建立等差數(shù)列模型，最后將數(shù)據(jù)代入模型即可求得結(jié)果．【解】(1)能．以1,2,3，…，60為數(shù)列{an}的序號，，…，為數(shù)列{an}的對應(yīng)項(xiàng)，由表可知，該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，所以可建立等差數(shù)列模型．∵a1＝，d＝，∴甲蟲的爬行距離s關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式是s＝t(t∈N＋，t≤60)．(2)當(dāng)t＝1min＝60s時(shí)，s＝t＝×60＝588(cm)．當(dāng)s＝49cm時(shí)，t＝eq\f(s,9.8)＝eq\f(49,9.8)＝5(s)．答：甲蟲1min能爬588cm，爬行49cm需要5s.規(guī)律方法解決實(shí)際問題通常需要建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，此題首先要能抽象出等差數(shù)列模型，這需要根據(jù)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律去分析，其次是要分清求解什么．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，求需要支付的車費(fèi)．解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付元．所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi)．令a1＝，表示4km處的車費(fèi)，公差d＝，那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車費(fèi)a11＝＋(11－1)×＝23.2(元)．——多維探究系列——等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用1．靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，求等差數(shù)列的幾個(gè)量，可以簡化運(yùn)算，提高解題速度及準(zhǔn)確性．2．對于性質(zhì)：“假設(shè)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，那么am＋an＝ap＋aq〞，在應(yīng)用時(shí)，首先找到(或湊出)項(xiàng)數(shù)和相等的條件，然后根據(jù)需要把一式用另一式代替．解決此類問題要有整體代換意識．【例6】在等差數(shù)列{an}中，(1)a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)解法一：∵a3＋a7＝2a5＝a4＋a6＝a2＋a8∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝∴a2＋a8＝2a5＝解法二：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d.∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝(2)方法一：設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±eq\f(3,5).當(dāng)d＝eq\f(3,5)時(shí)，a1＝－eq\f(1,5)，an＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；當(dāng)d＝－eq\f(3,5)時(shí)，a1＝eq\f(41,5)，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)∴16－25d2＝7，∴d＝±eq\f(3,5).當(dāng)d＝eq\f(3,5)時(shí)，an＝a8＋(n－8)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；當(dāng)d＝－eq\f(3,5)時(shí)，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12∴a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a13＝8，,a3a13＝7，))∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a13＝7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝7，,a13＝1.))由a3＝1，a13＝7，得d＝eq\f(a13－a3,13－3)＝eq\f(3,5)，∴an＝a3＋(n－3)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5).同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).【名師點(diǎn)評】方法一是“根本量〞法，是通法；方法二運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)，過程較簡單；方法三是構(gòu)造方程；運(yùn)用方程思想求解．在等差數(shù)列{an}中：(1)a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d；(2)a1＋a5＋a9＝39，a2＋a6＋a10＝48，求a7＋a11＋a15的值．解：(1)∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝11，,a7＝17))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝17，,a7＝11，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝23，,d＝－2.))(2)設(shè)bn＝an＋an＋4＋an＋8，那么b1＝39，b2＝48，∵{an}是等差數(shù)列，∴{bn}是等差數(shù)列，公差d′＝b2－b1＝9，∴a7＋a11＋a15＝b7＝b1＋6d′＝39＋54＝93.一、選擇題1．等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，那么a2等于(A)A．3 B．－3C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)a4＋a5＝a2＋a7，∴a2＝3.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，那么3a9