北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》同步練習卷

北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》

同步練習卷

選擇題（共14小題）

1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,。為的中點，將△ABC折疊，使點

A與點。重合，所為折痕，則A邑CF=（）

A.2：1B.3：2C.5：3D.7：5

2.如圖，一張邊長為4的等邊三角形紙片ABC,點E是邊AB上的一個動點（不與A、B

重合），￡尸〃8C交AC于點凡以E尸為折痕對折紙片，當△AEP與四邊形重疊部

分的面積為病時，折痕跖的長度是（）

D.2或四

3

3.如圖，若ABC。是一個長方形，AB=2,AD=1,作點A關于對角線BD的對稱點P,則

4.如圖，所為正方形ABC。的對折線，將/A沿。K折疊使它的頂點A落在所上的G點,

則/DKG為（）

AD

B'-------------'c

A.15°B.30°C.55°D.75°

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,AB=8,A。平分/BAC,點P。分別

是AB、A。邊上的動點，則PQ+8。的最小值是（）

B

6.如圖矩形ABC。中，AB=2,點E在BC上并且AE=EC,若將矩形紙片沿AE折疊，使

點2恰好落在AC上，則矩形ABCD的面積為（）

月內(nèi)_____________________________________D

,

BEC

A.aB.273C.473D.673

7.△ABC中，ZBAC=30°,把△ABC按如圖方法折疊，ZDEF=36°,則原△ABC的/

ABC=()

A

/\D___A/

分一斤

BBB

A.60°B.63°C.64°D.65°

8.在平面直角坐標系xOy中,已知點5(0,2),點A在x軸正半軸上且N8AO=30°.將

△OAB沿直線42折疊得△CA8,則點C的坐標為（）

（V5-3）C.（3,V3）D.（V3-1）

9.如圖，四邊形A8CD中,ZC=50°,ZB=ZD=90°，E、尸分別是BC、DC上的點,

D.80°

10.如圖RtaABC中，42=2。=4,。為BC的中點，在AC邊上存在一點E,連接ED,

EB,則△8OE周長的最小值為（）

C.2代+2D.273+2

11.如圖，為△A8C中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折，使點A落

在AB上的點。處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在C。的延長線上的點次處，兩

條折痕與斜邊分別交于點及F,則線段皮尸的長為（）

D.亨

12.如圖，矩形ABCD中，E是的中點，將△A8E沿直線BE折疊后得到△GBE,延長

BG交CD于點F.若A8=6,BC=4巫,則即的長為（）

A.2B.4c.VeD.2盛

13.如圖，在矩形ABC。中，點E,F分別在邊AB,BC上，且將矩形沿直線

3

EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q,對于下列結論：①EF

2BE；②PF=2PE；@FQ=4EQ；④是等邊三角形.其中正確的是（）

C.①③D.①④

14.如圖，四邊形A8CD中，ZBA￡>=120°,/2=/。=90°,在2C、CZ）上分別找一

點、M、N,使周長最小時，則/AMN+/AW的度數(shù)為（）

C.110°D.100°

填空題（共27小題）

15.如圖，設NA/ON=20°,A為0M上一點，。4=4?,。為ON上一點，。。=8E，

C為AM上任一點，2是。。上任意一點，那么折線ABC。的長最小為

16.如圖，銳角三角形ABC中，/C=45°,N為8C上一點，NC=5,BN=2,M為邊AC

上的一個動點，則BM+MN的最小值是

A

17.已知：矩形ABC。中，48=12,AD=3,E、尸分別是CD、AB上的點，貝！|折線AEFC

的最小值為______.

DEC

18.五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河.如圖，/1〃/2表示小河甲，，3

〃/4表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門.為方便人員來往，要在兩條小河上各

建一條橋，橋面垂直于河岸.

圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離40米，8到乙河垂直距離

20米，兩河距離100米，A、8兩點水平距離（與小河平行方向）120米.為使A、8兩

點間來往路程最短，兩條橋都按這個目標而建，那么，此時A、B兩點間來往的路程是

米.

19.如圖，正方形紙片A8C。的面積為1,點/、N分別在A。、BC上，且AM=BN=Z,

將點C折至MN上，落在點尸的位置，折痕為2。（。在上），連尸。，則以PQ為邊

長的正方形面積為

20.如圖，△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,AC邊上一點P,2、22分別是P點

關于。4、03的對稱點，尸1々交04于加點，交OB于N點，若AP=2c〃z,CP=3cm,

21.如圖，在△ABC中，AB=BC=U,ZB=90°,以EF為折痕折疊，使A與BC上一點

。重合，若BD：DC=2：1,則AE的長是.

22.如圖,兩條河交匯于。點，夾75°角,旅行家住在P點、，離O點200口,離河岸ACH00即他

希望到AO上任一點處欣賞風光，再折到河岸8。上任一點。處眺望景物，然后回到住

地，則旅行家最少要走根路程（答準確數(shù)值）

23.如圖，正方形A8CD的邊長為6,E是BC上一點，尸是CD上一點，且△ABE沿AE

對折、沿AF對折且好與△AEP重合，則當BE、。廠的長都是正整數(shù)時，跖的長

為_______

24.如圖，將邊長為2的正方形ABC。沿E尸和即折疊，使得8、C兩點折疊后重合于G,

25.小麗將一個邊長為2a的正方形紙片ABCD折疊，頂點A落到CD邊上的點M的位置,

折痕交于E,交BC于F,邊A8折疊后與BC邊交于點G（如圖）.在折疊過程中，

小麗發(fā)現(xiàn)當點“在。邊上的任意位置時，（點C,D除外），ACMG的周長總是相等的,

26.如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合,折痕為EF.如/?！?=123°,

那么°.

27.如圖，把正方形A8CD沿著直線跖對折，使頂點C落在邊A3的中點已知正方形

的邊長為4,那么折痕EP的長為

28.如圖在直角坐標系中，將矩形04BC沿0B對折，使點A落在點4處，03=8,0C=

29.如圖，等腰梯形ABC。中，AD//BC,/DBC=45°,折疊梯形ABC。，使點8重合于

點。，折痕為ER若AO=2,BC=8,則tan/C￡>E=.

30.如圖，NAO8=30°,點M、N分別在邊。4、OB±,且0M=1,ON=3,點尸、。

分別在邊。8、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是.

31.如圖，正方形ABCD的邊長是16,點E在邊上，AE=3,點尸是邊BC上不與點2,

C重合的一個動點，把沿歷折疊，點B落在2'處.若△(?￡>夕恰為等腰三角形,

貝的長為

32.如圖矩形ABC。中，AD=5,AB=7,點E為。C上一個動點，把△ADE沿AE折疊,

當點。的對應點。'落在/A8C的角平分線上時，DE的長為

33.如圖，矩形中，AB=3,BC=4,點E是BC邊上一點，連接AE,把沿AE

折疊，使點8落在點夕處.—CEB'為直角三角形時，8E的長為

34.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是A8邊上的動點（不與點8

重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到AB'CP,連接夕A,則夕A長度的最

小值是.

35.如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=6,尸為上一點，將aAB尸沿2尸翻折至

PE與O）相交于點。，BE與CD相交于點G,且?！?。。，則AP的長為

36.如圖，正方形ABC。的邊長為4,NZMC的平分線交。C于點E,若點P、Q分別是

AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是.

37.如圖，正方形ABC。中，4。=4,點E是對角線AC上一點，連接。E,過點E作

LED,交A8于點孔連接。F,交AC于點G,將△EFG沿EF翻折，得到△EFM,連

接。M,交EF于點、N,若點尸是AB邊的中點，則的周長是.

38.如圖，已知正方形ABC。邊長為3,點E在AB邊上且3E=1,點、P,。分別是邊BC,

。的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEP。的面

積是.

39.如圖，矩形ABCO中，AB=4,8C=8,E為C。邊的中點，點P、。為BC邊上兩個動

點，且尸。=2,當3尸=時，四邊形APQE的周長最小.

40.如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8c上一點，BE=1,尸為A8上一點，AF=2,

P為AC上一點，則PF+PE的最小值為.

41.如圖，鈍角三角形A8C的面積為15,最長邊AB=10,2。平分NA2C,點M、N分別

是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為.

42.如圖，已知4、8是銳角a的。M邊上的兩個定點，尸在ON邊上運動.問P點在什么

位置時，的值最??？

43.平面直角坐標系內(nèi)有A(2,-1),B(3,3)兩點，點尸是y軸上一動點，求尸到A、

B距離之和最小時的坐標.

44.已知在矩形ABCD中，AD>AB,。為對角線的交點，過。作一直線分別交BC、AD于

M、N

(1)求證：S梯形ABMN=S梯形CDNM；

(2)當M、N滿足什么條件時，將矩形ABCD以MN為折痕翻折后能使C點恰好與A

點重合(只寫出滿足的條件，不要求證明)；

(3)在(2)的條件下，若翻折后不重疊部分的面積是重疊部分面積的工，求典的值.

45.在遠古時代，我們的祖先就發(fā)現(xiàn)并證明了在直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半，

今天的我們可以直接運用.現(xiàn)有一張長方形紙片A8CD在邊上任取一點尸(不與點

A、點。重合)，以8P所在直線為折痕，將長方形如圖翻折，使A點翻到E點，再將尸。

翻到與PE所在直線位置重合，得到折痕PG,PG與DC邊交于點G,點、D翻到點尸處，

如圖，連接BG,取BG的中點H,連接HE、HF,試猜想線段HE與板之間的大小關

系，并說明理由.

46.已知：E是正方形A8C。內(nèi)一點，且NEC￡)=NEZ)C=15°,求證：△ABE是等邊三

角形，小萍同學靈活運用全等變換，將△EC。進行旋轉(zhuǎn)與翻折，使AECD沿△必D,巧

妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

(1)證明：是等邊三角形；

(2)證明：△ECDWAFAE；

(3)證明：△A2E是等邊三角形.

D.C

47.如圖：梯形ABCD中，AD//BC,ADLAB,A￡)=AB=LBC=4,E、歹分別在2C、DC

2

上，將梯形沿EF折疊，點C恰好落在點A上.

(1)求BE的長；

(2)設和跖的延長線交于G,試說明aAEG是等腰三角形;

(3)求的長.

48.某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：

直線/同旁有兩個定點A、B,在直線/上存在點P,使得出+PB的值最小.解法：作點

A關于直線/的對稱點A',連接A'B,則A'8與直線/的交點即為P,且以+PB的最

小值為A'B.

請利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊A8的中點，P

是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；

(2)幾何拓展：如圖2,△ABC中，AB=2,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一點

M、N使8M+MN的值最小，求這個最小值；

(3)代數(shù)應用：求代數(shù)式1不+{(4_x)2+4(0WxW4)的最小值.

49.已知△ABC中，點E為邊AB的中點，將沿CE所在的直線折疊得EC,BF

//AC,交直線A'C于F.

（1）若NACB=90°,NA=30°,求證：AC^CF+BF.

（2）若NACB為任意角，在圖（2）圖（3）的情況下分別寫出AC、CF、8F之間關系,

并證明圖（3）結論.

50.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形A。邊上的一點（不

與點A、點。重合）將正方形紙片折疊，使點8落在尸處，點C落在G處，PG交DC

于H,折痕為ER連接BP、BH.

（1）求證：/APB=NBPH；

（2）當點尸在邊AZ）上移動時，的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；

（3）設AP為無，四邊形EEGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在

最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》2019

年同步練習卷

參考答案與試題解析

選擇題（共14小題）

1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,。為BC的中點，將△ABC折疊，使點

A與點。重合，￡尸為折痕，則AF：CF=（）

【分析】設CF=x,則CA=CB=2a,再根據(jù)勾股定理即可求得CF與AF的值，

繼而求得答案.

【解答】解：設CD=a,CF=x,

為8c的中點，

**?CA.—CB—2a,

DF=FA=2a-x,

...在RtZiCZ）/中，由勾股定理得，/，即x+。=（2a-x）,

解得x=^-a,

4

即CF=^-a,AF=2a-±-a=^-a,

444

：.AF：CF=5：3.

故選：C.

【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形外

角的性質(zhì).此題涉及面較廣，但難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系.

2.如圖，一張邊長為4的等邊三角形紙片ABC,點E是邊AB上的一個動點（不與A、B

重合），￡尸〃8C交AC于點凡以E尸為折痕對折紙片，當△AEP與四邊形重疊部

分的面積為?時，折痕斯的長度是（）

A

A.2B.C.2D.2或

3333

【分析】此題應分兩種情況考慮：當折疊后△AM的頂點A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC

邊上時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積；當疊后的頂點A落在四邊形

8cPE外點A'處時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積減去A'MN的面積，根據(jù)

軸對稱的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進行計算.

【解答】解：在等邊△ABC中，作AOLBC于。，交EF于H,

：.BD=DC=1-BC=2.

2

又,.,tan/A8_D=tan60°

BD

:.AD=2M；

'：EF//BC,

：.△AEFs^ABC.

.AH=EFAH_EF

"AD而'243~T'

：.AH=叵EF,

2

S^AEF—XAHEEF.

2

2

S^AEF=—,返EF=亞￡產(chǎn).

224

①當折疊后△AM的頂點A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時,

SAAEF=?E鏟=痘,

4

解得，EF=2；

②當折疊后所的頂點A落在四邊形BCFE外點A'處時，如圖所示，A'F交BC于

M,A'E交BC于N,連接A4'交EF于H,交BC于D.

??AH=EF

'AD丁

?AH=EF

HD4-EF

5L'：AH=A'H,

?￡H=EF

HD4-EF'

?A'H=EF

"A/D2EF-4)

2

S△A'EF=(.EFs

)

S2EF-4'

AA'MN

EF2

SAA'MN(2EF-4)2

.一△A'MN=^(2EF-4)2.

■'-S四邊彩MFEN=q^~E『-

(2EF-4)2

44

解得，

3

綜上所述，EF的值是2或妝.

3

故選：D.

Bc---------x--------、C

BC

D

【點評】本題考查的是翻折變換（折疊問題）.此題采用了“分類討論”的數(shù)學思想，以

防漏解.

3.如圖，若ABCD是一個長方形，AB=2,4。=1,作點A關于對角線30的對稱點尸，則

【分析】連接尸。、AC,先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AO=。尸=8C,再由全等三角形的判

定定理得到RtZYDPEgRt^BCE,從而得到△APC是直角三角形，再利用勾股定理求解

即可.

【解答】解：連接P。、AC,

'：AB與BP關于BD對稱，

是AP的垂直平分線，

：.AD=DP=BC,

；./DPB=/DCB=90°,

在△OPE與△3CE中，

DP=BC,ZDEP=ZBEC,ZDPE=ZDCB=90°,

：.RtADPE^RtABCE,

:.PE=CE,DE=EB,

:./PCD=/CDB,

VZAFD^ZPFC,ZCDB+ZAFD^9Q°,

ZAFD+ZPCD=90°,

/.ZAPC=90°,

在RtZXABD中，AB=2,A￡)=1,

BD=VAB2+AD2=722+l2=巡’

；.AC=巡,

?「BO是AP的垂直平分線,

：.AG=PG,

'：BD-AG^AD'AB,即遍4G=2,AG=2遍,

5

；.AP=2AG=4疾,

5

在RtAAPC中，

依=后蕨］（胡產(chǎn)-（等）2=陪?

故選：D.

P

AB

【點評】本題考查的是對稱的性質(zhì)及勾股定理，有一定的難度，能根據(jù)題意判斷出NCPB

是直角是解答此題的關鍵.

4.如圖，EF為正方形ABC。的對折線，將/A沿。K折疊使它的頂點A落在EF上的G點，

則/Z5KG為（）

A.15°B.30°C.55°D.75°

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)及翻折不變性的原則求出/DFG的度數(shù)，再求出NG。尸的

度數(shù)，進而可求出/KQG的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：：為正方形ABCD的對折線，

：.AD=2DF,

,.?△GDK是△AOK沿OK對折而成，

：.ZDAK=ZDGK=90°,ZADK=ZGDK,AD=GD,

:.GD=2DF,

：.ZDGF=30°,ZGDF=60°,ZAZ）G=30°,

???NOAK=NOGK=90°,/ADK=/GDK,

：.ZKDG=i-ZADG=Lx30°=15°,

22

：.ZDKG=90°-ZKDG=75°.

故選：D.

【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)及翻折不變性的性質(zhì)，解答此題的關鍵是熟知折疊

的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位

置變化，對應邊和對應角相等.

5.如圖，在△ABC中，NC=90°,NA4c=30°,AB=8,AD平分/BAG點PQ分別

是AB、AD邊上的動點，則尸。+2。的最小值是（）

【分析】如圖，作點尸關于直線的對稱點P',連接。P',由△AQPgAAQP',

得尸。=。尸'，欲求尸Q+B0的最小值，只要求出8。+。尸'的最小值，即當BP'±AC

時，BQ+QP'的值最小，此時0與。重合，P'與C重合，最小值為BC的長.

【解答】解：如圖，作點P關于直線A。的對稱點P,連接QP,

'AP=AP'

-NQAP=NQAP'，

,AQ=AQ

/\AQP^AAQP',

：.PQ=QP'

欲求尸。+8。的最小值，只要求出8。+。尸'的最小值,

:.當BP，時，BQ+QP'的值最小，此時。與。重合，P'與C重合，最小值為

BC的長.

在Rt^ABC中，VZC=90°,AB=8,ZBAC=30°,

：.BC=1AB=4,

2

；.尸。+8。的最小值是4,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理、軸對稱中的最短路線問題、垂線段最短等知識，找出點P、

Q的位置是解題的關鍵.

6.如圖矩形A8C。中，AB=2,點E在BC上并且AE=EC,若將矩形紙片沿AE折疊，使

點B恰好落在AC上，則矩形ABCD的面積為（）

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及等邊對等角的性質(zhì)，可得到/BAE=NEAC=NECA,根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理即可求得NEC4的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得AC的長，在

RtAABC中利用勾股定理可求出BC的長，根據(jù)矩形的面積公式即可得出結論.

【解答】解：

：.ZEAC=ZECA,

,/將紙片沿AE折疊，點8恰好落在AC上，

：.ZBAE=ZEAC,

：.NBAE=ZEAC^ZECA,

VZB+Z￡CA+ZCAB=180°,

：.ZECA=30°,

'：AB=2,

；.AC=2A8=4,

在中，

'：AB2+BC2=AC2,即解得8c=2y,

二?S矩形ABCD=AB?BC=2X2V5=4舊.

故選：c.

【點評】本題考查的是圖形的反折變換及矩形的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解

答此題的關鍵.

7.2XABC中，ZBAC=30°,把△ABC按如圖方法折疊，NDEF=36°,則原△ABC的/

ABC=()

A,

A.60°B.63°C.64°D.65°

【分析】利用示意圖得出/l=N2=/3,Z4=Z5,進而利用三角形外角的性質(zhì)得出即

可.

【解答】解：：把△ABC按如圖方法折疊，

/?Z1=Z2=Z3,Z4=Z5,

,/ZDEF=36°,

Z4=Z5=18t)°~36°=72°,

2

VZ1+Z2+300=72°,

；.2/l=42°,

??.Zl=21°,

則原△ABC的/A8C=21°X3=63°.

B

【點評】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)已知得出/5的度

數(shù)是解題關鍵.

8.在平面直角坐標系xOy中，已知點2(0,2),點A在x軸正半軸上且/區(qū)4。=30°.將

△。48沿直線AB折疊得△CA8,則點C的坐標為()

TNc

o\DAX

A.(1,a)B.(?,3)C.(3,V3)D.(?,1)

【分析】作C￡?_Lx軸于點Q,在R7Z\AB。中求出AO,在R77XAC。中求出CD,即

可解決問題.

【解答】解：如圖，作COLx軸于點D

在RTZkAOB中，VZAOB=90°,OB=2,ZBAO=3Q°,

.?.AO=J^BO=2?,

AABC是由△ABO翻折得到，

：.AC=AO=2-J3

'：ZCAO^2ZBAO^60°.

在RTZkAC。中，VZCDA=90°,AC=2?,ZCAD=60°,

：.AD=y/3,CD=43AD=3,

：.OD=M

...點C的坐標為電,3).

【點評】本題考查翻折變換、坐標與圖形性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、勾股定理等知

識，解題的關鍵是30°的直角三角形中邊角之間的關系的靈活應用，屬于中考?？碱}型.

9.如圖，四邊形A8C￡)中，NC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分別是BC、。。上的點,

當跖的周長最小時，/EAB的度數(shù)為()

C.70°D.80°

【分析】據(jù)要使△AEP的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上,

作出A關于BC和CD的對稱點A',A",即可得出NA4'E+ZA'1^ZHAA'=50°,

進而得出NAEP+/AFE=2CZAA'E+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A關于BC和CD的對稱點A',A",連接A'A",交BC于E,交

C￡＞于R則A'A〃即為△AEB的周長最小值.作DA延長線AH,

130°,

：.ZHAA'=50°,

AZA4ZE+ZA"=NHAA'=50°,

'：ZEA'A^ZEAA',NFAD=NA",

：.ZEAA'+NA"A廣=50°,

/.ZEAF=130°-50°=80°,

故選：D.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題,涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三

角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E,尸的位置是解題關鍵.

10.如圖Rt^ABC中，AB=BC=4,。為8c的中點，在AC邊上存在一點E,連接￡D,

EB,則△BOE周長的最小值為（)

A.2“B.273C.275+2D.2v5+2

【分析】要求△BOE周長的最小值，就要求DE+8E的最小值.根據(jù)勾股定理即可得.

【解答】解：過點2作80LAC于。，延長2。到），使。4=0B,連接。V,交

AC于E,

此時^DE+EB'=DE+BE的值最小.

連接CB',易證C8'±BC,

根據(jù)勾股定理可得DB'={7,~c2+CD2=2V

則△BDE周長的最小值為2倔2.

【點評】此題考查了線路最短的問題，確定動點E何位置時，使DE+BE的值最小是關鍵.

11.如圖，Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折，使點A落

在AB上的點。處；再將邊8c沿C尸翻折，使點8落在C。的延長線上的點8,處，兩

條折痕與斜邊A3分別交于點￡、F,則線段次P的長為（）

A.3B.Ac.ZD.近

5532

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=C。，ZA=ZCDE,CE±AB,Rt^ABC中根據(jù)勾股

定理求得42=5,進而證得△ABCs△DVR由三角形相似的性質(zhì)即可求得皆尸的長.

【解答】解：:□△ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

.'.AB—5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD,ZA=ZCDE,CE±AB,

：.B'￡）=BC-C￡>=4-3=1,

'：ZB'DF=ZCDE,

：.ZA=ZB'DF,

?；NB=NB，,

.?.△ABCsADB'F,

?B'F=B，D

，，-BCAB-

-B--'----F-_-19

45

：.B'F=A,

5

故選：B.

【點評】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應用，三角形相似判定和性質(zhì)的等，根

據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關鍵.

12.如圖，矩形48CD中，E1是AD的中點，將△ABE沿直線2E折疊后得到△GBE,延長

BG交CD于點F.若AB=6,BC=4而則FD的長為（）

A.2B.4C.A/6D.273

【分析】根據(jù)點￡是4。的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE=DE=EG,然后利用“HL”

證明△即尸和AEG尸全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證得DF=GR設陽=無，表

示出FC、BF,然后在RtzXBC尸中，利用勾股定理列式進行計算即可得解.

【解答】解：是的中點，

：.AE=DE,

'：AABE沿BE折疊后得到△G8E,

：.AE^EG,AB=BG,

：.ED=EG,

?.?在矩形ABCD中，

ZA=ZD=90°，

：.Z￡GF=90°,

,/在RtAEDF和RtAEGF中,

(ED=EG

IEF=EF,

/.RtAEDF^RtAEGF(H￡),

:.DF=FG,

設DF=x,貝!]BF=6+x,CF=6-x,

在RtZXBCP中，(4,后2+(6-尤)2=(6+x)

解得x=4.

故選：B.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，翻折的

性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件EO=EG是解題的關鍵.

13.如圖，在矩形ABC。中，點E,尸分別在邊A8,8C上，且4￡=工48,將矩形沿直線

3

跖折疊，點B恰好落在AD邊上的點尸處，連接BP交E尸于點Q,對于下列結論：①EF

=2BE；②PF=2PE；③/。=4E。；④△尸3尸是等邊三角形.其中正確的是（）

【分析】求出根據(jù)翻折的性質(zhì)可得再根據(jù)直角三角形30°角所對

的直角邊等于斜邊的一半求出/APE=30°,然后求出/AEP=60。，再根據(jù)翻折的性質(zhì)

求出/BEF=60°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/EF8=30°,然后根據(jù)直角三角形

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得所=2BE,判斷出①正確；利用30°角的正切

值求出PF=^f3PE,判斷出②錯誤；求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,

判斷出③錯誤；求出NPBP=NPEB=60°,然后得到是等邊三角形，判斷出④

正確.

【解答】解：

3

:.BE=2AE,

由翻折的性質(zhì)得，PE=BE,

；.NAPE=30°,

：.ZAEP^9Q°-30°=60°,

：.ZBEF=L(180°-NA")=X(180°-60°)=60°,

22

:./EFB=9Q°-60°=30°,

：.EF=2BE,故①正確；

?：BE=PE,

：.EF=2PE,

"：EF>PF,

：.PF<2PE,故②錯誤；

由翻折可知跖，尸2，

：.ZEBQ=ZEFB=30°,

；.BE=2EQ,EF=2BE,

:.FQ=3EQ,故③錯誤；

由翻折的性質(zhì)，/EFB=NEFP=3Q°,

：.ZBFP=300+30°=60°,

ZPBF=9Q°-ZEBQ=90°-30°=60°,

:./PBF=NPFB=6Q°,

.?.△PBF是等邊三角形,故④正確；

綜上所述，結論正確的是①④.

【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準確識圖是

解題的關鍵.

14.如圖，四邊形A8CD中，ZBA￡>=120°,/B=/D=90°,在2C、CD上分別找一

點、M、N,使△AMN周長最小時，則/AMN+/ANM的度數(shù)為（）

A__________D

口C

A.130°B.120°C.110°D.100°

【分析】根據(jù)要使△4VW的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上,

作出A關于BC和CD的對稱點A',A",即可得出/AA'M+ZA'1=60°,進而得出

/AMN+/ANM=2（ZAA'M+ZA"）即可得出答案.

【解答】解：作A關于BC和C。的對稱點A',A",連接A'A",交BC于交

CD于N,則A'A"即為△AMN的周長最小值.；ND4B=120°,

/.ZAA'M+ZA"=60°,

VZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",

且/MA'A+ZMAA'=ZAMN,ZNAD+ZA"=ZANM,

：.ZAMN+ZANM^ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"=2CZAA'M+ZA"）=2X

60°=120°,

【點評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分

線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關鍵.

二.填空題（共27小題）

15.如圖，設NMON=20°,A為0M上一點，。4=4?,。為ON上一點，OD=8如,

C為AM上任一點，B是0D上任意一點，那么折線A3C。的長最小為

【分析】作A關于ON的對稱點A',。關于0M的對稱點D',將折線長度問題轉(zhuǎn)化

為兩點之間線段最短的問題；然后判斷出△0。'A'為直角三角形，利用勾股定理求出

A'D'的長，即為折線的長.

【解答】解：如圖，作A關于ON的對稱點A',。關于0M的對稱點。'，

連接A'B,CD',貝！B=AB,

CD=CD,從而AB+BC+CD=A'B+BC+CD'D',

因為NA'0N=/M0N=/MOD'=20°,

所以NA'OD'=60°,

又因為04'=OA=4A/5，OD'=0D=8M，

所以OD'=2OA',

即△O。'A'為直角三角形，且/。VD'=90°,

所以"D，=限，2二個（犯）2-sa）2=12,

所以，折線ABC。的長的最小值是12.

【點評】此題考查了軸對稱——最短路徑問題，此題要考慮兩個點的對稱點，將折線

轉(zhuǎn)化為線段的問題，并轉(zhuǎn)化到直角三角形內(nèi)利用勾股定理解答是解題的關鍵.

16.如圖，銳角三角形ABC中，/C=45°,N為8C上一點，NC=5,BN=2,M為邊AC

上的一個動點，則BM+MV的最小值是

A

【分析】先作點N關于AC的對稱點V,由兩點之間線段最短可知8N,即為8M+MN

的最小值，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知MC=NC=5,ZBCN'=90°,再利用勾股定理即可

求出的長.

【解答】解：如圖所示，

先作點N關于AC的對稱點V,由兩點之間線段最短可知BN'即為BM+MN的最小值，

根據(jù)對稱的性質(zhì)可知N'C=NC=5,ZACB=ZACN'=45°,即NBCN'=90°,

在RtLBCM中，BN'=而‘，2+妒=452+72=布.

故答案為：V74.

【點評】本題考查的是線路最短問題及對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形利用數(shù)形結合是

解答此題的關鍵.

17.已知：矩形ABCZ）中，AB=12,A￡>=3,E、尸分別是C。、AB上的點，貝1|折線AEFC

的最小值為15.

DEC

，?___

AFB

【分析】先分別作A關于8的對稱點A',C關于AB的對稱點C，,作C，MIA1A,

交A'A的延長線于M.A'C'即為最短距離，根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：分別作A關于C。的對稱點A',C關于AB的對稱點C',連接A'C'.作

CM±A'A,交A'A的延長線于

A'M=3X3=9,MC=AB=12,

則4。M+MC，2=15.

即折線AEFC的最小值為15.

故答案為：15.

【點評】考查了軸對稱-最短路線問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形是解答此類題目的

關鍵.

18.五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河.如圖，/1〃/2表示小河甲，h

〃/4表示小河乙，A為校本部大門，8為分校大門.為方便人員來往，要在兩條小河上各

建一條橋，橋面垂直于河岸.

圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離40米，8到乙河垂直距離

20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離（與小河平行方向）120米.為使A、8兩

點間來往路程最短,兩條橋都按這個目標而建,那么，此時A