山東省青島市市南區(qū)九年級上冊期中數(shù)學(xué)試卷 含解析

精品資料

九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

選擇題（共8小題）

1.關(guān)于x的一元二次方程9-2x=0根的情況是（

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

2.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折

線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）

個頻率

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

100200300400500次數(shù)

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

D.擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4

3.下列命題中，真命題是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

4.在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同.通過

多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（）

A.16個B.15個C.13個D.12個

5.如圖，程。ABCD中,AB^lOcm,AD=15an,AC,即相交于點(diǎn)0.OE1BD交AD于E,則4

板的周長為（）

E

D

A.20czz;B.22cmC.25cmD.30cm

6.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△■相似的是

7.將一塊矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好圍成一個

容積為15浸的無蓋長方體水箱，且此長方體水箱的底面長比寬多2米.求該矩形鐵皮的

長和寬各是多少米？若設(shè)該矩形鐵皮的寬是x米，則根據(jù)題意可得方程為()

A.(A+2)(x-2)Xl=15B.x(x-2)Xl=15

C.x(戶2)Xl=15D.(J+4)(x-2)Xl=15

8.如圖，在矩形被力中，物任￡是比的中點(diǎn)，若應(yīng)L初于點(diǎn)凡〃是所的中點(diǎn),

連接或幽則下列正確的結(jié)論是()

①FC=CD

②/DBC=/FAM

③

2

④矩形儂刀的面積是2

BE

A.d>D@B.②?④C.①②③④D.①④

二.填空題（共6小題）

9.已知2=3,則2a+b=.

aba-b

10.元旦晚會，全班同學(xué)互贈賀卡，若每兩個同學(xué)都相互贈送一張賀卡，小明統(tǒng)計(jì)全班共

送了1640張賀卡，那么全班有多少人？設(shè)全班有x人，則根據(jù)題意可以列出方程.

11.在一個不透明的口袋中裝有5個白球和〃個黃球，它們出顏色外完全相同，若從中隨

機(jī)摸出一球，摸到白球的概率為工，則〃的值是

3

12.如圖，△胸頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為近二?的三角形是黃金三角形）,

2

若△倒7、△切C、△龍C都是黃金三角形，已知J5=4,則.

A

3EC

13.如圖，已知正方形腋刀的邊長為3,￡是邊比上一點(diǎn)，BE=l,將△儂△被分別

沿折痕典"向內(nèi)折疊，點(diǎn)8,。在點(diǎn)G處重合，適氤E依EHLAE,交〃1的延長線于〃,

14.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)5在y軸上,

點(diǎn)G、E、、瓦、C、&、瓦、&在x軸上.若正方形4AG4的邊長為1,NB1ao=60°,

三.解答題(共10小題)

15.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：矩形儂力，

求作：菱形四陰使點(diǎn)￡,尸分別在邊比；4?上.

A.-------------------.D

-----------------

16.解方程

(1)3x-2x-1=0

(2)2歲=9x-8

17.若關(guān)于x的一元二次方程(A-l)『+2x-2=0有不相等實(shí)數(shù)根，求A的取值范圍.

18.在四張編號為九B,C,〃的卡片(除編號外，其余完全相同)的正面分別寫上如圖所

示正整數(shù)后，背面朝上，洗勻放好，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張(不放回)，再從剩下的卡片中

隨機(jī)抽取一張.

BCD

2,3,43,4,56,8,105,12,13

(1)請用樹狀圖或列表的方法表示兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(卡片用A,B,

C,〃表示)；

(2)我們知道，滿足a2+/>2=c2的三個正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù)，求抽到的兩張卡片

上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率.

19.某公司一月份的利潤為40萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，改善經(jīng)營管理，這個公司第一季度的

利潤達(dá)到132.4萬元，若每月增長率都相同，則每月平均增長率為多少？

20.如圖，在正方形幽力中，E、尸分別是邊加、上的點(diǎn)，AE=ED,DF=LDC,連接步

4

并延長交比的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：△3's△頗；

(2)若正方形的邊長為4,求6G的長.

21.已知：如圖，程。ABCD中,E,尸分別是邊4?,BC上的點(diǎn),且但C汽，直線加1分別交

期的延長線、比1的延長線于點(diǎn)G,H,交物于點(diǎn)0.

(1)求證：XABE蜂XCDF；

(2)連接用,港DG=BG,則四邊形瓦加是什么特殊四邊形？請說明理由.

H

22.青島某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每間價(jià)格比淡季上漲上.下

3

表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄：

淡季旺季

未入住房間數(shù)

日總收入(元)2400040000

(1)該酒店豪華間有多少間？旺季每間價(jià)格為多少元？

(2)今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)行去年旺

季價(jià)格，那么每天都客滿：如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增

加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價(jià)格上漲多少元時(shí)，豪華間的日總收入可

為42025元？

23.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中，陽

四是△板的中線，AFLBE,垂足為尸.像△曲這樣的三角形均為“中垂三角形設(shè)

BC=a,AC=b,AB=c.

(1)①如圖1.當(dāng)，C=2A/^時(shí)，a=,b—.

②2如圖2.當(dāng)/破=30。，c=8時(shí)，a=,b=.

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想,，t,,,2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，

并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式：

(3)利用(2)中的結(jié)論，解答下列問題

在邊長為6的菱形儂》中，。為對角線ZC,初的交點(diǎn)，E,尸分別為線段40,勿的中點(diǎn)，

連接應(yīng)夕并延長交于點(diǎn)區(qū)BM,"分別交絲于點(diǎn)G.8如圖4所示，則加2+欣的值

為.

24.已知：如圖，在矩形被力中，AB=6cm,BC=Bcm,對角線4C,即交于點(diǎn)0.點(diǎn)尸從點(diǎn)

4出發(fā)，沿山方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)0從點(diǎn)，出發(fā)，沿寬方向勻速運(yùn)

動，速度為lcWs；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接尸。并延長，交BC

于點(diǎn)￡,過點(diǎn)0作V〃/G交切于點(diǎn)尸.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0<t<6),解答下列問

題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△?!8是等腰三角形？

(2)設(shè)五邊形應(yīng)a配的面積為s(々/),試確定s與6的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某-"時(shí)刻t,使SESJ衫四期：SA“@=9：16?若存在，求出

寸的值；若不存在，請說明理由；

(4)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使如平分NC8?若存在，求出t的值；若

不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.關(guān)于x的一元二次方程/-2k0根的情況是（

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

【分析】先計(jì)算出a=（-2）2-4XlX0=4>0,然后根據(jù)判別式△=^-4ac的意義

即可判斷方程根的情況.

【解答】解：（-2）2-4XlX0=4>0,

...方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

2.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折

線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

100200300400500斕

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

D.擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.17附近波動，即其概率40.17,計(jì)算四個選

項(xiàng)的概率，約為0.17者即為正確答案.

【解答】解：4、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率為工,

故4選項(xiàng)錯誤；

B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是：」3=

A；故8選項(xiàng)錯誤;

4

G暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率

為2,故。選項(xiàng)錯誤；

3

D、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4的概率為工-0.17,故。選項(xiàng)正

6

確.

故選：D.

3.下列命題中，真命題是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【分析】4根據(jù)矩形的定義作出判斷；

反根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；

C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；

根據(jù)正方形的判定定理作出判斷.

【解答】解：A,兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項(xiàng)錯誤；

反對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯誤；

C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；

。、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

4.在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同.通過

多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（）

A.16個B.15個C.13個D.12個

【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白

球個數(shù)即可.

【解答】解：設(shè)白球個數(shù)為：x個，

?.?摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，

二口袋中得到紅色球的概率為25%,

???4----1--9

4+x4

解得：12,

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的根,

故白球的個數(shù)為12個.

故選：D.

5.如圖，在。ABCD中,AB=10cin,AD=15ca,AC,初相交于點(diǎn)0.OELBD交AD于E,則4

上的周長為（）

【分析】先判斷出W是物的中垂線，得出比=即,從而可得出△板的周長=冊初,

即可得出答案.

【解答】解：?.,在口松力中，點(diǎn)。是初中點(diǎn)，EOVBD,

二￡。是線段切的中垂線，

J.BE^ED,

...△板的周長=4*43■班三冊4=10+15=25（cm）.

故選：C.

6.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△的相似的是

【分析】設(shè)各小正方形的邊長為1,根據(jù)勾股定理分別表示出已知陰影三角形的各邊長,

同理利用勾股定理表示出四個選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對應(yīng)成比例的兩

三角形相似可得出左圖中的陰影三角形與已知三角形相似的選項(xiàng).

【解答】解：設(shè)各個小正方形的邊長為1,則已知的三角形的各邊分別為2,Vw.

A,因?yàn)槿叿謩e為：依，3,三邊不能與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角

形不相似；

B、因?yàn)槿叿謩e為：1,V2.旄，三邊與已知三角形的各邊對應(yīng)成比例，故兩三角形

相似；

C、因?yàn)槿叿謩e為：1,2衣，依三邊不能與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角形

不相似；

D、因?yàn)槿叿至頌椋?,述，任，三邊不能與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角

形不相似，

故選：B.

7.將一塊矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好圍成一個

容積為15/的無蓋長方體水箱，且此長方體水箱的底面長比寬多2米.求該矩形鐵皮的

長和寬各是多少米？若設(shè)該矩形鐵皮的寬是x米，則根據(jù)題意可得方程為()

A.(A+2)(x-2)Xl=15B.x(x-2)Xl=15

C.x(戶2)Xl=15D.(A+4)(X-2)Xl=15

【分析】表示出長方體水箱底面的寬為Qx-2)m,則長為初，進(jìn)而得到容積為x(x-2),

由圍成一個容積為15渥的無蓋長方體箱子，列方程即可.

【解答】解：設(shè)該矩形鐵皮的寬是x米，則長方體水箱底面的寬為(x-2)m,則長為x

米.

容積為x(x-2)Xl=15；

故選：B.

8.如圖，在矩形被力中，AB^y/2,后是比的中點(diǎn)，若ABLBD于點(diǎn)、F,〃是所的中點(diǎn)，

連接或題則下列正確的結(jié)論是()

①FXCD

②NDBC=NFAM

2

④矩形地力的面積是2

【分析】通過證明△4戶可得步，由三角形中位線定理可得斯〃EF

=L弘通過證明酸是分的垂直平分線，可得g。?，由直角三角形的性質(zhì)和全等三

2

角形的性質(zhì)可得NMMN碼通過證明力可得里M,可求物的長，

BDCD

由勾股定理可求優(yōu)的長，即可求矩形3的面積.

【解答】解：?.?四邊形被》是矩形，

：.AB=CD=42>AD=BC,AD//CB,

是死的中點(diǎn)，〃是所的中點(diǎn)，

：.BC^2BE=2EC,DF=2FM=2DM,

'：AD//BC,

:.△ADF^XEBF,

?BEBF1

??而而下，

：.DF=2BF,

：.BF=FM=DM,

,:BE=EC,BF=FM,

：.EF//CM,EF=^CM,故③符合題意，

2

:.NBFE=NBMg9Q°,且FM=MD,

.?.0是加的垂直平分線，

：.CF=CD,故①符合題意，

■:NAB況NDBC=NABC=90",NAB決NBAF=9G°,

：.Z.DBC=Z.BAF,

"：BF=FM,NAFB=NAFD=90°,AF=AF,

:.XAB2XAMF（必S）

NBAF=ZFAAf,

:.NDBC=NFAM,故②符合題意,

■:NBDC=NBDC,ADCB=ADMC,

:△BCXACMD,

???CD=D-M>

BDCD

：.Cl}=B>DM=3Dli=2,

3

:.BD=3DM=A

Bg，即2_c口2=76-2=2,

矩形加力的面積=四>脛=2我，故④不合題意,

故選：A.

二.填空題（共6小題）

9.已知2=3,則盤也=-7.

aba-b

【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論.

【解答】解：?;2=3

ab

3a=26,

".b=^-a,

2

故答案為：-7.

10.元旦晚會，全班同學(xué)互贈賀卡，若每兩個同學(xué)都相互贈送一張賀卡，小明統(tǒng)計(jì)全班共

送了1640張賀卡，那么全班有多少人？設(shè)全班有x人，則根據(jù)題意可以列出方程x如

-1）=1640.

【分析】設(shè)全班有X人.根據(jù)互贈賀年卡一張，則X人共贈賀卡X（X-1）張，列方程

即可.

【解答】解：設(shè)全班有X人.根據(jù)題意，得

x（x-1）=1640,

故答案是：x（X-1）=1640.

11.在一個不透明的口袋中裝有5個白球和〃個黃球，它們出顏色外完全相同，若從中隨

機(jī)摸出一球，摸到白球的概率為工，則〃的值是10.

3

【分析】根據(jù)摸到白球的概率為工，列出方程求解即可.

3

【解答】解：?.?在一個不透明的布袋中裝有5個白球和A個黃球，

...共有（5+〃）個球，

根據(jù)古典型概率公式知：尸（白球）=工」，

n+53

解得〃=10.

故答案為：10.

12.如圖，△胸頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為近二L的三角形是黃金三角形），

2

若△被7、△切C、△龐C都是黃金三角形，已知止=4,則應(yīng)一6-2亞.

A

BAEC

【分析】△放頂角是36°的等腰三角形，則兩底角為72°,這樣的三角形稱為黃金三

角形，又△孫△應(yīng)C都是黃金三角形，可證比=切="，DE=DC,利用DE=DC=AC

-"七四-a'求解.

【解答】解：根據(jù)題意可知，BC=J^1AB,

2

?.?△胸頂角是36°的等腰三角形，

：.AB=AC,NABC=/C=12°,

又???△切《也是黃金三角形，

???/物=36°,BC=BD,

：.ZABD=ZABC-ZCBD=360=N4

：.BD=AD,同理可證應(yīng)=%

：.DE=DC=AC-AD=AB-BC^AB--2遙

故答案為：6-2遙.

13.如圖，已知正方形儂刀的邊長為3,￡是邊況上一點(diǎn)，BE=1,將△儂△被分別

沿折痕典一向內(nèi)折疊，點(diǎn)8,〃在點(diǎn)G處重合，過點(diǎn)E作E/LLAE,交川的延長線于以

則線段用的長為返.

【分析】設(shè)所=R7=x,在Rt△防C1中，由斯=l+x,￡C=3~1=2,FC=2>~x,根據(jù)勾

股定理構(gòu)建方程求出x,再求出4尸，■即可解決問題.

【解答】解：?.?四邊形四切是正方形，

:.NANC=ND=NBAD^90°,AB=BC=CD=AD=3,

設(shè)DF=FG=x,

在RtZkfiR:中，?.?■￡F=l+x,EC^3-1=2,Fg3-x,

：.(A+1)2=22+(3-x)2,

解得x=3

2_

?'?^7AD2+DF2=-J32+(-1)2=^>小江2+BE2=丘2+產(chǎn)田,

由翻折的性質(zhì)可知，NDAXNGAF,NEAB=NEAG,

：.AEAH=^°,

'：EHLEA,

:.NAEH=9C,

**?AE=￡//=10,\["^E=2

：.FH=AH-AF=2-4S~喙，

2

14.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)旦在y軸上,

點(diǎn)G、E］、瓦、C、風(fēng)、后、G在x軸上.若正方形4AGU的邊長為1,N旦&戶60°,

氏G〃旦Q〃a&,則點(diǎn)4到x軸的距離是—返士

y

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N名旦,然后解直

角三角形求出0C\、GE、E\瓦、及C、C瓦、瓦瓦、EM,再求出氏Q,過點(diǎn)友延長正方形

的邊交x軸于〃，過點(diǎn)4作1次Lx軸于M先求出A弘再解直角三角形求出/次得出

點(diǎn)4到x軸的距離.

【解答】解：如圖，?.?84〃民G〃氏G,

：.N員以0=NBiQgNB1Go=60°,

?.?正方形4AG〃的邊長為1,

.?.隔=JLX1=JL,

22

返乂1=返，

22

用星=1"x1=~,

22

瓦0=」義返=返，

236

CzEi=EiBi=—,

2_

EE=JLX返=返.

笈0=返*返=上，

636

BiCi=2E&Ci=2X—=—,

63

過點(diǎn)A延長正方形的邊交x軸于〃，過點(diǎn)A作AAJLx軸于M

貝ij返=支返，

3339_

｛斤4.sin60。=支返丫返=上巨，

926

.?.點(diǎn)4到X軸的距離是：返士L.

6

故答案為：返

6

y

15.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：矩形ABCD,

求作：菱形AECF,使點(diǎn)瓦尸分別在邊比；/〃上.

D

B

【分析】連結(jié)4G作力C的垂直平分線交優(yōu)于反交切于凡利用矩形的性質(zhì)可得4c

垂直平分出則四邊形4a戶為菱形.

【解答】解：如圖，菱形曲1為所作.

16.解方程

(1)3x-2x-1=0

(2)2f=9x-8

【分析】(1)利用因式分解法求解可得;

(2)利用公式法求解可得.

【解答】解：(1)V3x-2x-l=0,

二(x-1)(3A+1)=0,

則x-1=0或3A+1=0,

解得Xi=l,Xi=~;

3

(2)方程整理為一般式，得：2『-9加8=0,

：a=2,b=-9,c=8,

；.△=(-9)2-4X2X8=17>0,

則

4

17.若關(guān)于x的一元二次方程(A-1)f+2x-2=0有不相等實(shí)數(shù)根，求A的取值范圍.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到A-1W0且4=4-4(A-l)X(-2)

>0,然后求出兩個不等式的公共部分即可.

【解答】解：根據(jù)題意得A-1W0且4=4-4(A-l)X(-2)>0,解得心>工，

2

所以A的范圍為A>工且AWL

2

故答案為A>工且XI.

2

18.在四張編號為力，B,C,。的卡片(除編號外，其余完全相同)的正面分別寫上如圖所

示正整數(shù)后，背面朝上，洗勻放好，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張(不放回)，再從剩下的卡片中

隨機(jī)抽取一張.

ABCD

2,3,43,4,56,8,105,U13

(1)請用樹狀圖或列表的方法表示兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(卡片用A,B,

C,。表示)；

(2)我們知道，滿足才+出=1的三個正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù)，求抽到的兩張卡片

上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率.

【分析】(1)利用樹狀圖展示12種等可能的結(jié)果數(shù)；

(2)根據(jù)勾股數(shù)可判定只有/卡片上的三個數(shù)不是勾股數(shù)，則可從12種等可能的結(jié)果

數(shù)中找出抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：(1)畫樹狀圖為：

ABCD

/1\/1\/4\/1\

BCDACDABDABe

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；

(2)抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的結(jié)果數(shù)為6,

所以抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率=&=工.

122

19.某公司一月份的利潤為40萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，改善經(jīng)營管理，這個公司第一季度的

利潤達(dá)到132.4萬元，若每月增長率都相同，則每月平均增長率為多少？

【分析】等量關(guān)系為：一月份利潤+一月份的利潤X(1+增長率)+一月份的利潤X(1+

增長率)2=1324,把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)二、三月份平均每月增長的百分率是％則

40+40(1+x)+40(1+x)2=132.4,

解得：x=0.1=10%或x=-2.1(舍去)

答：每月平均增長率為10%.

20.如圖，在正方形被笫中，E、尸分別是邊協(xié)、龍上的點(diǎn)，AE=ED,DF=1.DC,連接跖

4

并延長交充的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：XABEsXDEF、

(2)若正方形的邊長為4,求比的長.

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得N/=NX90°,然后根據(jù)對應(yīng)邊

成比例且夾角相等可判定△3's△龍夫；

(2)由初〃仍可得至上巳，根據(jù)加47可得切=2,CG=6,進(jìn)而可得答案.

CGCF4

【解答】(1)證明：?..四邊形的?為正方形，

：.AD=AB=DC=BC,4=NQ90°,

'：AE=ED,

???AE―19

AB2

'：DF=lj)C,

4

???D-F=：--19

DE2

???A-E二--D-F，

ABDE

：.AABEs叢DEF；

(2)解：?.?四邊形屈力為正方形，

：.ED//BG,

?EDDF

"CG"CF,

文,：DF=lj)C,正方形的邊長為4,

4

：.ED=2,CG=6,

：.BG=BC+CG=1G.

21.已知：如圖，在山㈤力中，E,產(chǎn)分別是邊"，況'上的點(diǎn)，且但CF,直線即分別交

切的延長線、比1的延長線于點(diǎn)G,H,交物于點(diǎn)0.

(1)求證：XABE2XCDF；

(2)連接加，港DG=BG,則四邊形龐如是什么特殊四邊形？請說明理由.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出四=5，4BAE=ZDCF,由必S證明△四四△

物即可；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC,證出m=BF,得出四邊形班如是平行

四邊形，得出OB=OD,再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出EF1BD,即可得出四邊形

以如是菱形.

【解答】(1)證明：?.?四邊形被笫是平行四邊形，

：.AB=CD,4BAE=4DCF,

在AABE和ACDF中,

'AB=CD

<ZBAE=ZDCF，

AE=CF

:.△ABgXCDF⑶S)；

(2)解：四邊形颯?是菱形；理由如下：如圖所示:

?..四邊形被力是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

,:AE=CF,

：.DE=BF,

:.四邊形應(yīng)加是平行四邊形，

：.OB=OD,

,：DG^BG,

J.EFLBD,

二四邊形應(yīng)加是菱形.

22.青島某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每間價(jià)格比淡季上漲工.下

表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄:

淡季旺季

未入住房間數(shù)

日總收入(元)2400040000

(1)該酒店豪華間有多少間？旺季每間價(jià)格為多少元？

(2)今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)行去年旺

季價(jià)格，那么每天都客滿：如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增

加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價(jià)格上漲多少元時(shí)，豪華間的日總收入可

為42025元？

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，進(jìn)而求得該酒店豪華間的間數(shù)和旺季每

間的價(jià)格；

(2)根據(jù)題意可以求得總收入和上漲價(jià)格之間的函數(shù)解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可解答

本題.

【解答】解：(1)設(shè)淡季每間的價(jià)格為x元，酒店豪華間有y間，

\(y-10)=24000

'x(l+y)y=40000，

解得，卜=600,

ly=50

...A+L=600+AX600=800,

33

答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價(jià)格為800元；

(2)設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲a元，日總收入為V元，

w=(800+a)(50--?-)=--L(a-225),+42025,

2525

...當(dāng)a=225時(shí)，甲取得最大值，此時(shí)片42025,

答:該酒店將豪華間的價(jià)格上漲225元時(shí)，豪華間的日總收入最高，最高日總收入是42025

元.

23.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形例如圖1,圖2,圖3中，AF,

龍是△被7的中線，AFLBE,垂足為P.像△被7這樣的三角形均為“中垂三角形設(shè)

(1)①如圖1.當(dāng)/血'=45。，c=2加時(shí)，a=2亞，b=2亞.

②2如圖2.當(dāng)，c=8時(shí)，a=b=4有_.

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a。，Z>2,c?三者之間的關(guān)系，用等式表示出來,

并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式：

（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題

在邊長為6的菱形的?中，。為對角線/C,初的交點(diǎn)，E,尸分別為線段40,少的中點(diǎn)，

連接陽"1并延長交于點(diǎn)弘BM,以分別交由于點(diǎn)G.8如困4所示，則貶+成的值

為20.

【分析】（1）先判斷△脈是等腰直角三角形，再得到△詼也是等腰直角三角形，最后

計(jì)算即可；

（2）先設(shè)AP=m,BP=n,表示出線段陽PF,最后利用勾股定理即可.

（3）證出序=31￡人工奶，MH=hfC,則貶+成=工（貶+"）,即可求解.

3339

【解答】解：（1）①如圖1,連接跖則如是△儂?的中位線

EF=-^45=如，

2

,：ZABE=^°,AEVEF

二△腑是等腰直角三角形，

'：EF//AB,

二△即?也是等腰直角三角形，

:.AP=BP=2,EP=FP=\,

:.a=BC=2BF=2代b=AC=2AE=2^

故答案為：2底275；

②如圖2,

連接跖則跖是△絲C的中位線.

?.?乙4防=30。,AEA.BF,四=8,

：.AP=\,BP=y[^AP=40

'：EF//AB,EF=XAB^4,

2

：.PF=XEF=2,*我PF=2次，

；?A￡=7AP2+PE2=A/42+(2<3)2=2斤BF=7BP2+PF2=7(W3)2+22=

2后，

：.BC=a=2BF=^4\3,b=AC=2AE=^i

故答案為：4百§,477.

(2)a2+Z>2=5c,理由如下：

如圖3,連接跖

設(shè)BP=n,

則c=A^=in+n,

'：EF//AB,EF=^AJB,

2

/.PE=^BP=—n,PF=-AP=^-m,

2222

：.A^=AI}+P^=m+l-n,BF=PF+BP=：+^,

44

:.&=Ad=4A^=4m+n,a=Bd=4Bf=4n+m,

a2+Z>2=5(in+n')=5c.

(3)'：AE=OE=kEC,AG//BC,

3

:.AG=XBC=1^D,貝！I皮三LUL1P,

3322

同理加=L〃，

3

:.GH=1AD,

3

：.GH=1￡F,

3

,JGH//BC,EF//BC,

：.HG//EF,:.MG=2LME=1^B,

33

同理：MH=Uc,

3

則德+咸=工(施+")=J^X5X^=^X5X62=20；

999

圖4

EA-

B

圖3

圖1

24.已知：如圖，在矩形9切中，AB=6cm,BC=8cm,對角線4C,劭交于點(diǎn)。.點(diǎn)尸從點(diǎn)

Z出發(fā)，沿也方向勻速運(yùn)動，速度為lc〃/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)〃出發(fā)，沿比■方向勻速運(yùn)

動，速度為lcWs；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接如并延長，交BC

于點(diǎn)￡過點(diǎn)0作〃〃〃1,交加于點(diǎn)尸.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(5)(0<t<6),解答下列問

題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，8是等腰三角形？

(2)設(shè)五邊形如期的面積為S(°渥)，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形收滔赤胸=9：16?若