第75講、切點與切點弦（學(xué)生版）

第75講切點與切點弦知識梳理1、點在圓上，過點作圓的切線方程為．2、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．3、點在圓內(nèi)，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．4、點在圓上，過點作圓的切線方程為．5、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．6、點在圓內(nèi)，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為．7、點在橢圓上，過點作橢圓的切線方程為．8、點在橢圓外，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．9、點在橢圓內(nèi)，過點作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．10、點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．11、點在雙曲線外，過點作雙曲線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．12、點在雙曲線內(nèi)，過點作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．13、點在拋物線上，過點作拋物線的切線方程為．14、點在拋物線外，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．15、點在拋物線內(nèi)，過點作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．必考題型全歸納題型一：切線問題例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，焦點為.過拋物線外一點（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點，兩切線分別交軸于點.(1)求的值；(2)證明：①是與的等比中項；②平分.例2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點，過點F的直線與C交于H，I兩點，且在H，I兩點處的切線交于點T．(1)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，求；(2)證明：．例3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，過作斜率為的直線與交于兩點，當(dāng)時，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點，拋物線在兩點處的切線相交于點，設(shè)兩點到直線的距離分別為，求的值.變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．變式2．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點分別為，A是橢圓上一點，當(dāng)時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.變式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓經(jīng)過點，且離心率為，為橢圓的左焦點，點為直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過定點；(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時，求直線的方程．參考結(jié)論：為橢圓上一點，則過點的橢圓的切線方程為．題型二：切點弦過定點問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點，動點P在拋物線C上，點P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點M在直線l1上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請求出定點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．例5．（2024·福建寧德·校考一模）雙曲線的離心率為，右焦點F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過直線上任意一點P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線于A，B兩點，證明：以AB為直徑的圓恒過右焦點F．例6．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點是該拋物線上一定點，過點作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點，連接．探究：直線是否過一定點，若過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由．變式4．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，，D為垂足，點D的坐標(biāo)為．(1)求C的方程；(2)若點E是直線上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．變式5．（2024·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點,,證明：直線經(jīng)過定點．變式6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．變式7．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點（不同于），直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.題型三：利用切點弦結(jié)論解決定值問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點.設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，過點引圓：的一條切線，切點為，.(1)求拋物線的方程；(2)過圓M上一點A引拋物線C的兩條切線，切點分別為P，Q，是否存在點A使得的面積為？若存在，求點A的個數(shù)；否則，請說明理由.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個不同的點和點.且，證明：點在一條定曲線上.變式9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，P為拋物線上一動點，點P到F的最小距離為1．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點向C作兩條切線AM，AN，切點分別為M，N，直線AF與直線MN交于點Q，求證：點Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，若直線與直線交于點，且點到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.變式11．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考開學(xué)考試）在以為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點，點P為圓A上的任意一點，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點M．(1)判斷點M的軌跡是什么曲線，并求其方程；(2)記點M的軌跡為曲線，過點B的直線與曲線交于C、D兩點，求的最大值；(3)在圓上的任取一點Q，作曲線的兩條切線，切點分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點，若圓與拋物線交于兩點，且(1)求拋物線的方程；(2)若點為圓上任意一點，且過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別為.求證：恒為定值.變式13．（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線，圓是上異于原點的一點.(1)設(shè)是上的一點，求的最小值；(2)過點作的兩條切線分別交于兩點（異于）.若，求點的坐標(biāo).變式14．（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點分別為．(1)過橢圓上一點P和原點O作直線l交圓O于M，N兩點，若，求的值；(2)過圓O上任意點R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．變式15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.題型四：利用切點弦結(jié)論解決最值問題例10．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F為拋物線C：的焦點，是C上一點，M位于F的上方且.(1)求p；(2)若點P在直線上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求的最小值.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的方程及焦點的坐標(biāo)；(2)如圖，過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，求四邊形面積的最小值.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，離心率為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)過直線上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為，①證明：直線過定點；②求的最大值．備注：若點在橢圓C：上，則橢圓C在點處的切線方程為．變式16．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點到其焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點在直線：上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，過拋物線的焦點作直線的垂線交直線于點，當(dāng)最小時，求的值.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為C上一動點，的最大值為，且長軸長和短軸長之比為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過P作圓的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點，求面積的最小值.變式18．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎本€與拋物線C：交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線，兩條切線的交點為.(1)證明點D在一條定直線上；(2)過點D作y軸的平行線交C于點E，線段的中點為，①證明：為的中點；②求面積的最小值.變式19．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為3.(1)求；(2)若點在圓上，，是拋物線的兩條切線，是切點，求三角形面積的最大值.變式20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，其上一點到焦點的距離為2.(1)求拋物線方程；(2)圓：，過拋物線上一點作圓的兩條切線與軸交于、兩點，求的最小值.變式21．（2024·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動點，P到定點的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動點P的軌跡為曲線C，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點是圓上任意一點，過點作做曲線C的兩條切線，切點分別是，求面積的最大值，并確定此時點的坐標(biāo).注：橢圓：上任意一點處的切線方程是：.變式22．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考三模）已知橢圓經(jīng)過點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點為直線上的動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求的最大值．變式23．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓O：.(1)當(dāng)時，圓O與拋物線C和準(zhǔn)線l分別交于點A，B和點M，N，且，求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時，點是（1）中所求拋物線C上的動點.過P作圓O的兩條切線分別與拋物線C的準(zhǔn)線l交于D，E兩點，求面積的最小值.題型五：利用切點弦結(jié)論解決范圍問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的方程；(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設(shè)切點為，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求的取值范圍．例14．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是直線上一動點，直線與直線交于點，.(1)求拋物線的方程；(2)過點作拋物線的兩條切線，切點為，且，求面積的取值范圍.例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點的動點，的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點M作圓的兩條切線，切點分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點，求的面積的取值范圍.變式24．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射