第67講、圓錐曲線離心率題型全歸納（教師版）

第67講圓錐曲線離心率題型全歸納知識(shí)梳理一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；2、通過確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標(biāo)法：由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．必考題型全歸納題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，由雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，可得橢圓的長(zhǎng)半軸為3a，半焦距為c，設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，設(shè)，，則，可得，由題意P在以為直徑的圓上，所以，所以可得，即離心率，故選：C例2．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，所?設(shè)，則，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以.故答案為:.例3．（2024·海南海口·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線l與圓相切，與C交于另一點(diǎn)B，且，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【解析】顯然圓的圓心為，半徑為，令直線l與圓相切的切點(diǎn)為，連接，則，有，而，又，因此，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A變式1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，由橢圓定義得，，則.因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為【答案】/【解析】如圖所示：設(shè)直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，即，即，解得，故答案為：變?．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)D，A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為.【答案】【解析】由題意得，取中點(diǎn)，連接，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，即為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，故，設(shè)，則，又，由勾股定理得，則，由雙曲線定義得，即①，在Rt中，由勾股定理得，即②，由①得，兩邊平方得，解得或（負(fù)值舍去），將代入②得，故離心率為.故答案為：變式4．（2024·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為的左焦點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為．【答案】【解析】由題設(shè)知：，則，所以且，易知：，又，故，且，所以，則，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），綜上，，故，則離心率為.故答案為：變式5．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為.

【答案】【解析】如圖所示：由題意可得，所以，又因?yàn)?，結(jié)合可知，所以，而，即，所以，所以離心率.故答案為：.變式6．（2024·陜西西安·?？既＃┮阎p曲線：的左焦點(diǎn)為，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】由題知，記右焦點(diǎn)為，過做如圖所示，與圓相切，，，，，為中點(diǎn)，，故，且相似比為，即，，，，，在雙曲線中，有，，，，為直角三角形，，即，化簡(jiǎn)可得，上式兩邊同時(shí)平方，將代入可得，則，即離心率.故答案為：變式7．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線交的漸近線于點(diǎn)，恰為的角平分線，則的離心率為．【答案】2【解析】設(shè)，作出圖像，如下圖：根據(jù)題意易知，且，又，所以由勾股定理可得：，又恰為的角平分線，所以根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得：，，又，，，即，，即，又，所以解得：.故答案為：.題型二：圓錐曲線第一定義例4．（2024·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】由題意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，則，則，由雙曲線的定義，得，所以，則．故答案為：．例5．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為，則的離心率為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，即，所以，由橢圓定義與勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的離心率為．故答案為：例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，焦距為，與坐標(biāo)軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，則，所以，為等腰直角三角形，設(shè)，則，由橢圓的定義可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則是的角平分線，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：變式9．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，故為的中位線，則，而，則,因?yàn)橹本€的斜率為，故中，，故設(shè)，則，結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，則，故選：C變式10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，若，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，，，所以為等邊三角形，則，則.由雙曲線的定義，得，所以，，則.故選：A變式11．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，P為第二象限上的點(diǎn)，連接PF，，QF，，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線l的對(duì)稱性知，四邊形為平行四邊形.因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，即四邊形為矩形，由直線l的斜率為，得，又，則是等邊三角形，所以.在中，，則，故，又由雙曲線定義知，所以，則.故選：B.變式12．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為，可知，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由題意可得，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以方程，且，解得，則，所以雙曲線E的離心率為.故選：D.變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知延長(zhǎng)則必過點(diǎn),如圖：由雙曲線的定義知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因此，從而由得，所以，則，，，又因?yàn)椋?，即，即，故選：B.變式14．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，即：，所以，?故選：D.變式15．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】如圖，若在第一象限，因?yàn)?，所以，由圖形的對(duì)稱性知四邊形為矩形，因?yàn)榈拿娣e為，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，，解得．故選：B題型三：圓錐曲線第二定義例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B例8．（2024·北京石景山·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，即①，又②．由①②解得：，，又在焦點(diǎn)三角形中：，即：，即，解得：，又，，故選：D．例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過、分別作于，于，于，如圖所示：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）例10．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線：虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為.【答案】【解析】如圖，設(shè)的垂心為，則有,不妨設(shè),則，因?yàn)樵跐u近線上，所以，直線與交于，兩點(diǎn)，所以，解得，所以又因?yàn)?所以，整理得，，所以，故答案為:.例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．【答案】/【解析】，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為，所以，則，由直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，得，兩式相減得，即，所以，即，所以，則，所以，所以離心率.故答案為：.例12．（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓的離心率為．【答案】/【解析】如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，由題，，，，則，，，，，化簡(jiǎn)得，，由，解得，，即.故答案為：.變式16．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，，，則且，兩式相減，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線的離心率.故答案為：變式17．（2024·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解例13．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據(jù)可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.例14．（2024·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（

）個(gè)A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由可得，即，可得，因此以為直徑作圓與必有四個(gè)不同的交點(diǎn)，因此中以的三角形有四個(gè)，除此之外以為直角，為直角的各有兩個(gè)，所以存在使為直角三角形的點(diǎn)共有8個(gè).故選：D例15．（2024·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍袌A于，則，有，因?yàn)?，則有，，而為的中點(diǎn)，于是，即，，在中，，整理得，所以雙曲線E的離心率.故選：C變式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，以為直徑的圓與橢圓相交，所以，所以，故選：D.題型六：利用正弦定理例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．例18．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質(zhì)，知，所以且，所以且，即且，結(jié)合，可解得．故答案為：.變式19．（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┰O(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，，，使得離心率，則e取值范圍為．【答案】【解析】由，，設(shè)，，在中，由正弦定理有：，離心率，則：解得：，由于，得，顯然成立，由有，即，得，所以橢圓離心率取值范圍為．故答案為：.變式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線：（，）和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．【答案】/【解析】由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，∴，，，．故答案為：變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線與在第一象限交點(diǎn)為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為.【答案】【解析】設(shè)焦距為2c在三角形PF1F2中，根據(jù)正弦定理可得因?yàn)?，代入可得，所以在橢圓中，在雙曲線中，所以即所以因?yàn)闄E圓與雙曲線的離心率乘積為1即，即所以化簡(jiǎn)得，等號(hào)兩邊同時(shí)除以得，因?yàn)榧礊殡p曲線離心率所以若雙曲線離心率為e，則上式可化為由一元二次方程求根公式可求得因?yàn)殡p曲線中所以題型七：利用余弦定理例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是C右支上一點(diǎn)，線段與C的左支交于點(diǎn)M．若，且，則的離心率為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是右支上一點(diǎn)，線段與的左支交于點(diǎn)，且，，所以為等邊三角形，所以由雙曲線定義得，又由，解得，則且，在中，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.例20．（2024·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為．【答案】【解析】由橢圓的性質(zhì)可得，設(shè)，在中根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義可得，即，整理可得，即，故.又，故，，故，即，，故，故離心率.故答案為：例21．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為．【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以可設(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案為：變式22．（2024·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由題意得，，則，，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，當(dāng)時(shí)，，得，則，即，所以，，，在中，由余弦定理得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，故選：A變式23．（2024·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線C的離心率是（

）A．7 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為，由題意，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線C的離心率.故選：B變式24．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，直線與交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，由，得，設(shè)，則，，．由余弦定理得，即，整理得，則，故．故選：D變式25．（2024·江西撫州·高三黎川縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】由題意知點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C：的一條漸近線上，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，結(jié)合，可得，結(jié)合題意可知，故，又，，在中利用余弦定理得，即，即，即，故，解得或（舍去），故選：B變式26．（2024·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為．【答案】/【解析】，，O是的中點(diǎn)，所以，故由得，因?yàn)?，，所以，在中，，在中，，∴，即，則，離心率為．故答案為：變式27．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】可知，，得設(shè)，則，由雙曲線的定義可知：.因?yàn)槠椒郑?，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可?故選：C.變式28．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】雙曲線C的左焦點(diǎn)，漸近線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，所以，在中，，，，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，因此，雙曲線C的離心率為，故選：C題型八：內(nèi)切圓問題例22．（2024·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為的直線與雙曲線H在第一象限交于點(diǎn)P，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，若，則雙曲線H的離心率的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，則，且，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，所以，因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，，所以，即，所以，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，則，由雙曲線的焦半徑公式可得：，則，因?yàn)?，所以，則，即，化簡(jiǎn)可得：，則雙曲線H的離心率的取值范圍為，故答案為：.例23．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成菱形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率．【答案】【解析】由題設(shè)，內(nèi)切圓半徑為，故，所以，則，即，所以，（舍），故.故答案為：.例24．（2024·廣東深圳·?？级＃┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，P為橢圓上一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），的內(nèi)切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為.【答案】/.【解析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，連接，，由題意可得：，所以當(dāng)取到最大值時(shí)，有最大值，且最大值為，所以，整理可得：，兩邊同時(shí)平方可得：，所以，所以，解得：或（舍去）.故答案為：變式29．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．【答案】/【解析】?jī)?nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點(diǎn)S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因?yàn)?，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故答案為：變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率．【答案】【解析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，，，由對(duì)稱性知，所以，即，所以，所以.故答案為：變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率．【答案】【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，由韋達(dá)定理得：，又，即化簡(jiǎn)可得，即，即時(shí)，有.故答案為：變式32．（2024·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率．【答案】【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，有.故答案為：變式33．（2024·山東聊城·統(tǒng)考一模）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為.【答案】/0.5【解析】由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方.設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，內(nèi)切圓半徑為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，得，又，即，又，化簡(jiǎn)得，即，解得，可得離心率為.故答案為：.題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，則，又，，故，，所以，化簡(jiǎn)得，即.故選：B例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為,雙曲線的實(shí)半軸為,半焦距為,設(shè),,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，,由余弦定理可得，,即,即①,在橢圓中，由定義得,①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即②在雙曲線中，由定義得,①化簡(jiǎn)可得,即,等式兩邊同除,得,即③聯(lián)立②③得,即,故選B例27．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ACD【解析】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得：，當(dāng)時(shí)，，即，因此，B正確；當(dāng)時(shí)，，即，有，而，則有，解得，C不正確；，，于是得，解得，而，因此，D不正確.故選：ACD變式34．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則的最小值為2D．【答案】AB【解析】對(duì)A：由橢圓和雙曲線的定義：，故，故A正確；對(duì)B：在中，由余弦定理：即，故時(shí)，，故B正確；對(duì)C：時(shí)，，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，所以等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：對(duì)△，將其視作是橢圓中的焦點(diǎn)三角形，則由余弦定理可得，解得，故，同理，將△視作雙曲線中的焦點(diǎn)三角形，則，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ABD【解析】由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，，A正確；在中，由余弦定理得：，整理得，，即，當(dāng)時(shí)，，即，B正確；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，而，C不正確；在橢圓中，，即，在雙曲線中，，即，于是得，而，則，D正確.故選：ABD變式36．（2024·新疆·統(tǒng)考三模）在中，，，，橢圓和雙曲線以A，B為公共焦點(diǎn)且都經(jīng)過點(diǎn)C，則與的離心率之和為．【答案】/【解析】如圖所示，在△ABC中，由，，，得，所以，由題意可得橢圓與雙曲線的焦距為，又因?yàn)闄E圓的，雙曲線的，所以兩個(gè)曲線的離心率之和為：，故答案為：.題型十：利用最大頂角例28．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖：當(dāng)P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，則，所以，即，，所以，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A例29．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是橢圓C：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性得,所以，所以，所以橢圓的離心率，因?yàn)闄E圓的離心率.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得.綜合得.故選：B例30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點(diǎn)，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．變式37．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．故選：A．題型十一：基本不等式例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B例32．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，故選：A.例33．（2024·山西運(yùn)城·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.【答案】【解析】由對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.題型十二：已知范圍例34．（2024·四川省南充市白塔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知點(diǎn)、、、，則線段的方程為，在線段上取一點(diǎn)，滿足，則，，，所以，，整理可得，由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，可得，可得，所以，.故選：D.例35．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.例36．（2024·全國(guó)·高三開學(xué)考試）設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由橢圓的方程可得，，，則，即，由P在橢圓上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，，可得：.故選：B題型十三：例37．（2024·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點(diǎn)，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得，所以根據(jù)題意可得，整理可得，所以，因?yàn)镻在橢圓上，所以，即，因?yàn)?，所以，即，解得，而橢圓離心率范圍為，故.故選：A例39．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．題型十四：中點(diǎn)弦例40．（2024·全國(guó)·高三開學(xué)考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：設(shè)，則，所以，又AB的中點(diǎn)為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.法二：直線AB過點(diǎn)，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.例41．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，由題意得，，兩式相減，得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且直線的傾斜角為，所以．設(shè)，則，過作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．故選：B例42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，，將，的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因?yàn)殡x心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角例43．（2024·廣西·江南中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，分別是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在上存在點(diǎn)使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；故選：B例44．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.例45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在以為直徑的圓上，，，，，，由雙曲線定義知：，即，；，，，則，，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：D.題型十六：利用漸近線的斜率例46．（2024·云南紅河·高三開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．【答案】/【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，直線為雙曲線的通徑，則由得，則，由得，則由得：即所以，所以離心率故答案為：例47．（2024·四川內(nèi)江·高三期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，兩點(diǎn)到軸的距離之和為，若以為直徑的圓過線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率的平方為．【答案】【解析】由題意可設(shè)：直線，，，中點(diǎn)，兩點(diǎn)到軸的距離之和為，；由得：，，以為直徑的圓的方程為，，解得：或（舍）；，解得：；，，即，.故答案為：.例48．（2024·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為.【答案】/【解析】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長(zhǎng)為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為：.變式38．（2024·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，連接交另一條漸近線于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為.【答案】2【解析】如下圖所示：易知，則過點(diǎn)作軸的垂線方程為，不妨設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，則可得，又可得，為的中點(diǎn)，即；又在另一條漸近線上，即，解得；所以雙曲線的離心率為.故答案為：2變式39．（2024·四川成都·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），．若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為【答案】【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)椋?，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，由，解得或，不妨設(shè)，因?yàn)闉殡p曲線的左頂點(diǎn)，所以，所以，又，由余弦定理得，即，整理得，所以離心率．故答案為：．變式40．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點(diǎn).若，則C的離心率為.【答案】/【解析】根據(jù)雙曲線C：的對(duì)稱性以及其兩條漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)M在第一象限，可知點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則，設(shè)，則，即，則，由題意得直線的方程為，聯(lián)立，即得，故,則，所以C的離心率為，故答案為：變式41．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知為原點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)，過作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點(diǎn)分別為，平行四邊形的面積為1，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】設(shè)，則，漸近線方程為，點(diǎn)P到直線距離為，由及得，所以平行四邊形OBPA面積為離心率為變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)的半焦距為c（），則，又，所以，又直線與的一條漸近線平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為．故答案為：變式43．（2024·安徽安慶·安慶一中?？既＃┻^雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，，則，則，且即，解得，所以如圖②，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，，則，，，所以，則，所以，即，解得，所以.故選：B變式44．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線()，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，若與的面積相等(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】與的面積相等，為的中點(diǎn)，故為等腰直角三角形，，，，即，，，故選：C．變式45．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過平行于的一條漸近線的直線交于點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過作一條與平行的直線交于點(diǎn)，則根據(jù)題意有，解得：，雙曲線的離心率，雙曲線的離心率為，同理坐標(biāo)是或者作一條與平行的直線也可以得到離心率為.故答案為：.題型十七：坐標(biāo)法例49．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作的垂線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，是雙曲線的右頂點(diǎn)，連接，，并延長(zhǎng)分別交軸于點(diǎn)，.若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】由得，不妨設(shè)，而，所以直線的方程為，令得，則，同理可求得，所以以為直徑的圓的方程為，將代入上式得：，即，則.故答案為：例50．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，橢圓：()的右焦點(diǎn)為F，離心率為e，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，，．若，則離心率e的最小值是．

【答案】【解析】∵點(diǎn)P是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，∴，設(shè)直線OP的斜率為k，則．由可得，故，∴，∵，故，∴，解得，∵對(duì)任意的恒成立，故，整理得到對(duì)任意的恒成立，故只需，即，即，故離心率e最小值為．故答案為：例51．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】D【解析】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因?yàn)?，不妨設(shè)，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率．【答案】/0.5【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為:,,線段的中點(diǎn),聯(lián)立，化為，，，的垂直平分線為:,令,解得,.,,則,橢圓的離心率為,故答案為:.變式47．（2024·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B變式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】雙曲線的右焦點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意知，，解得.又知，解得，所以，即，所以雙曲線C的離心率是故選：C.變式49．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，直線分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：易知，不妨設(shè)，，易知，由可得，即同理由可得；將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得；即，又，整理得解得，所以離心率；故選：D變式50．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，過點(diǎn)所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達(dá)定理：，，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，?lián)立，可得，.故選：C變式51．（2024·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線：的漸近線方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因?yàn)椋?，即，可?又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.變式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在軸上方）.關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)分別以O(shè)F，EF，OE為底，高為h，則，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，設(shè)直線AB的方程為：，聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得：，直線BD的方程為：，令得，，則，則，即為，則，即，即，解得，則，故選：D變式53．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個(gè)交點(diǎn)為A，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由題意可知，且為銳角，故，而，故，將代入中，得，結(jié)合整理得，即，解得或,由于雙曲線離心率，故舍去，故，故選：D題型十八：利用焦半徑的取值范圍例52．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.【答案】【解析】依題意，點(diǎn)在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，