第56講、立體幾何解答題（解析版）

第56講立體幾何解答題必考題型全歸納題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意，在正四棱臺中，，所以上底面積，下底面積，設(shè)正四棱臺的高為，則.連接，則，所以，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，由于線面角的取值范圍是，所以.（2）連接，設(shè)正四棱臺上下底面的中心分別為，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)線段上存在一點，滿足，，，則，，若，則，即，解得，舍去，所以在線段上不存在一點，使得.例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.【解析】（1）在三棱臺中，為中點，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.例3．（2024·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺中，，，，為棱，的中點，棱上存在一點，使得平面．

(1)求；(2)當(dāng)正四棱臺的體積最大時，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）作交于，再作交于，連接．因為平面，所以平面．又平面平面，所以．又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，即為棱的四等分點，故也為棱的四等分點，所以．（2）由（1）易知為的四等分點，所以點在點的正上方，所以底面．設(shè)，則，所以，所以該四棱臺的體積，而．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，．以為原點，，分別為軸、軸，過平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由得令，則．設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為．變式1．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）證明：由三棱臺知：，在梯形中，取的中點，連接，因，故，四邊形是平行四邊形，∴，，所以，，即，因，所以，又因，所以，又因，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）取的中點，的中點，連接，，則，因，所以，由條件知：四邊形是等腰梯形，所以，平面平面平面,平面平面∴平面，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則在等腰梯形中，由平面幾何知識可得：，∴，，，，設(shè)平面的法向量，則由得，令，得，，所以，又平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則．變式2．（2024·安徽·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，圓錐的高為，是底面圓的直徑，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點是母線上一動點.

(1)證明：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.【解析】（1）連接，由題意知四邊形為菱形，故，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，又平面，故平面平面；（2）以為原點，的中垂線為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，顯然不合題意，則，則，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，，則設(shè)平面的法向量為，則令，，則，從而，解得或3，因為，故.此時二面角的余弦值為滿足題意.從而.變式3．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）設(shè)圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，有，即，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則.變式4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點為線段上動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）如圖，設(shè)交于點，連接，由已知可得，又，所以四邊形為菱形，所以，∵，，，∴，∴，∴，又，所以，因為為的中點，∴，．由余弦定理可得，∴，所以，即，又平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）由已知平面，平面，所以，又，，平面，∴平面，又平面，∴．由（1）知，，平面，所以平面，∴，又點為的中點，所以．以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，設(shè)，則，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以為平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，構(gòu)建，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴時，取到最大值4．此時，取到最大值1.另由，知，當(dāng)時，，此時平面，設(shè)直線與平面所成的角為，因為，當(dāng)時，取到最大值1．變式5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面⊙O的內(nèi)接正三角形，．(1)劣弧上是否存在點D，使得平面？若存在，求出劣弧的長度；若不存在，請說明理由．(2)求平面和平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖過點O作AB的平行線OD交劣弧于點D，連接，，因為，平面，平面，則平面，同理可證平面，，且平面，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面故存在點D滿足題意．因為為底面⊙O的內(nèi)接正三角形，所以，即，又因為，所以⊙O的半徑為，所以劣弧的長度為；（2）如圖取BC的中點為M，連接MA，以MB為x軸，MA為y軸，過M作OO1平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又因為，設(shè)AB中點為N．故，，，，，，易知平面，所以平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，又因為，，故即令得所以平面和平面夾角的余弦值為．故平面和平面夾角的正弦值為．題型二：立體幾何存在性問題例4．（2024·全國·高三對口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對角線折起到的位置，如圖2所示，使得點P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點E，F(xiàn)分別為線段，的中點．

(1)求證：平面//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點M，使得M到點四點的距離相等？請說明理由．【解析】（1）在中，，所以在中，，，所以為等邊三角形，因為點P在平面上的正投影H恰好落在線段上，所以平面，又平面，所以，所以為線段的中點，又點E，F(xiàn)分別為線段，的中點，所以，由，平面，平面，所以平面，由，平面，平面，所以平面，由平面，，所以平面//平面；（2）在平面內(nèi)過作的垂線如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，設(shè)平面的法向量為因為，，所以有，即，令，則，，所以為平面的一個法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為；（3）存在，點為線段的中點，理由如下：因為在直角三角形中，，在直角三角形中，，又所以點到四個點的距離相等，所以點為所找的點，即線段的中點為所求.例5．（2024·上海長寧·上海市延安中學(xué)校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.【解析】（1），故，，則，故，又，平面，，故平面，平面，故，（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，且平面，故平面，如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，取得到，則，解得，不滿足題意.綜上所述：不存在點，使二面角的大小為.例6．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.【解析】（1）因為，，所以，所以，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為，，∴，又∵，，平面，∴平面，∴、、兩兩垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以.則，，，，平面的一個法向量為，，設(shè)，，，設(shè)平面法向量為，則，所以，取，則，，故為平面的一個法向量，所以，解得，符合題意即，∴.變式6．（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為，所以不可能為四邊形的對稱軸，則為四邊形的對稱軸，所以垂直平分，所以．平面平面所以平面．所以到平面的距離．（2）存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為．過作平面，所以兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系由（1）得平面平面，因為所以．設(shè)，，，設(shè)平面的法向量，，所以令，則，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，．所以或，所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為或．變式7．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離.【解析】（1）因為點在下底面的投影為的中點，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點）上存在一點使，則，則；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點到平面距離為.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點．

(1)求證：∥；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）因為//，平面，平面，所以//平面，又因為平面，平面平面直線l，所以∥.（2）取的中點，連接，由題意可得：//，且，則為平行四邊形，可得//，且平面PAD，則平面PAD，由平面PAD，則，又因為△PAD為等邊三角形，則為的中點，可得，，平面，則平面，如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，由題意可知：平面PAD的法向量，可得，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值.（3）由（2）可得：，設(shè)，，則，可得，解得，即，可得，若∥平面AEF，則，可得，解得，所以存在點，使得∥平面AEF，此時.變式9．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，若已知，，點P在底面ABC的射影為點H，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點M，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為點P在底面ABC的射影為點H，所以平面，又平面，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，所以點為的垂心，所以，因為，，平面，，所以平面，又平面，所以；（2）延長交于點，由（1）可得，又，所以點為線段的中點，所以，同理可得，所以為等邊三角形，又，所以，如圖，以點為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)存在點M，使得BM與平面所成角的余弦值為，且，則，設(shè)平面的法向量為，，則，所以，令，可得，所以為平面的一個法向量，所以，設(shè)直線BM與平面所成角為，則，又，所以，故，所以或，又，所以.所以在線段PC上存在點M，使得BM與平面PAB所成角的余弦值為，且.變式10．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為矩形，，為等腰直角三角形，平面平面，為中點.(1)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為.若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）法1：取中點，記為，連接，，，因為為等腰直角三角形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因為，，所以，則，，，假設(shè)存在，由，即，又，所以，又，，又，又，.法2：取中點，記為，連接，，，因為為等腰直角三角形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因為，，所以，如圖以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)線段上存在，使得它到平面的距離為，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，到平面的距離，解得或（舍去），則，；（2）法1：由（1）可知平面，易得，，則，，過點作，交于點，連結(jié)，則，為二面角的一個平面角，在中，可得，同理可得，又，，，即二面角的正弦值為；法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，所以，，，設(shè)為平面法向量，所以，則，設(shè)為平面法向量，則，令，則，設(shè)二面角為，顯然為銳角，則，所以，即二面角的正弦值為.變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為分別為的中點，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，.而平面，平面，所以，平面.（2）取的中點記為，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，.由（1）可知，在底面內(nèi)過點作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，所以的面積.設(shè)點到平面的距離為，則由已知可得，于是.因為，所以平面.取的中點記為，連接，則.因為，所以.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè).于是，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個法向量，所以.又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設(shè)存在點滿足題設(shè)，則，即，所以.當(dāng)時，，此時有；當(dāng)時，，此時有.綜上所述，這樣的點存在，且有.變式12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：面；(2)線段上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為底面為菱形，所以，又，面，所以面，面，所以.又，所以.結(jié)合，面，得面.（2）取線段的中點，結(jié)合題設(shè)及（1）的結(jié)論，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，假設(shè)存在符合條件，設(shè)即，即，所以.設(shè)平面的法向量，,則，令，則，即.注意到，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即.題設(shè)知，即，所以，得（舍）或.綜上，時符合條件，此時點為線段的靠近點的四等分點.題型三：立體幾何折疊問題例7．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：連接OB，因為為等腰直角三角形，，，所以，因為O為AC邊的中點，所以，在等邊三角形中，，因為O為AC邊的中點，所以，則，又，所以，即，因為，平面，平面，所以平面．（2）方法一：因為是等腰直角三角形，，為邊中點，所以，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角為，因為，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為．例8．（2024·廣東深圳·?？级＃┤鐖D1所示，等邊的邊長為，是邊上的高，，分別是，邊的中點．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；(2)折疊后若，求二面角的余弦值.【解析】（1）在等邊的邊長為，是邊上的高，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為和分別是和的中點，所以，所以，（2）取的中點，連接，取和的中點分別為和，連接，，，因為，，的中點分別為，，，所以，，因為，所以為等邊三角形，又為的中點，所以，所以，又平面，平面，平面，所以，又因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，平面，所以，則二面角的平面角為，所以，又，解得，顯然為銳角，所以，即二面角的余弦值為．例9．（2024·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形中，對角線分別交于點，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱(1)若點在棱上，且，證明：∥平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）在三棱柱中過作交于，連接，則，所以四點共面，且平面平面，因為，所以，又是正方形，所以，，，又，則，所以四邊形平行四邊形，，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，所以，而與都垂直，則分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由得，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量是，由，取得，又，則，，設(shè)平面的一個法向量是，由，取得，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值是．變式13．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）證明：取SB的中點為N，連接MN，CN，如圖所示：在圖甲中，∵C，D分別為SB，SA上的中點，∴，，又∵M(jìn)，N分別為SA，SB的中點，∴，，∴MNCD為平行四邊形，∴，又∵平面SBC，平面SBC，∴平面SBC.（2）∵，∴，，，∴平面SBC，又平面ABCD，平面平面ABCD，因為S點在底面的投影H在線段BC上，∴平面ABCD，∴.SC與平面ABCD所成角的平面角為，，過H作，則HP，HB，HS兩兩互相垂直，以H為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，易知為平面SBC的一個法向量；設(shè)為平面ADS的一個法向量，則有，可取，設(shè)平面ADS與平面SBC所成銳二面角的大小為，則，所以平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形BCDE中，，，A為DE的中點，且，，將沿AB折起，使得點E到達(dá)P處（P與D不重合），記PD的中點為M，如圖2．(1)在折疊過程中，PB是否始終與平面ACM平行？請說明理由；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時，求CD與平面ACM所成角的正弦值．【解析】（1）在折疊過程中，PB始終與平面ACM平行.理由如下：由已知可得：，所以，即四邊形為正方形，連接與于點，連接，又為的中點，所以，因為平面ACM，平面ACM，所以平面ACM（2）要使四棱錐P-ABCD的體積最大，只需點到平面的距離最大，即平面，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACM的法向量為，則，令，得，則，設(shè)CD與平面ACM所成角為，所以.即CD與平面ACM所成角的正弦值為.變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點F到平面的距離．【解析】（1）上存在一點P，使得平面，此時，理由如下：當(dāng)時，，如圖，過點P作交于點M，連接，則，∵，∴，∴，又，，∴，故四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.綜上，存在點P，使得平面，.（2）設(shè)，則，故，∴當(dāng)時，有最大值，且最大值為3，∴此時，，，，∴，，在中，由余弦定理得，，，設(shè)F到平面的距離為h，，．綜上，三棱錐的最大值為3，此時點F到平面的距離為.變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點在平面內(nèi)的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.（1）若點F為的中點，求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【解析】（1）如圖，設(shè)D點在平面內(nèi)的射影為O，連接，連接.∵，∴，∴在等腰中，O為的中點.∵F為中點，∴.又平面，平面，∴平面.取的中點H，連接，則易知，又平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，又平面，平面，∴平面，又.∴平面平面.又平面，∴平面.（2）連接，由（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，從而.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，得，取，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，得，取，則，從而.∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．變式17．（2024·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.（1）證明：；（2）若為棱的中點，求點到平面的距離.【解析】（1）證明：∵是等腰直角三角形，為斜邊，∴.∵平面平面，平面平面，平面∴平面，∵平面，∴；（2）由（1）知，平面，由題意可得，，，則，，∵為棱的中點，∴，∴，在中，，，，∴，即，則的面積為，設(shè)點到平面的距離為∵，∴，∴.變式18．（2024·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃┤鐖D1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點，滿足，為的中點，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點（端點除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.題型四：立體幾何作圖問題例10．（2024·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知正四棱錐中，O為底面ABCD的中心，如圖所示．(1)作出過點O與平面PAD平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫出簡要作圖過程及理由；(2)設(shè)PD的中點為G，，求AG與平面PAB所成角的正弦值．【解析】（1）如圖所示，取PC中點E，DC的中點F，連接EF，F(xiàn)O，并延長FO交AB于M，截面EFN交側(cè)棱PB于N，則，連接AC，O為AC的中點，所以，又，，截面EFMN，截面EFMN，平面PAD，平面PAD，所以平面平面EFMN．所以平面EFMN為所求截面．（2）不妨設(shè)四棱錐的所有棱長均為2，以O(shè)為原點，過O點且分別與AB，BC平行的直線為x軸、y軸，OP為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系（圖）．可得，，，．則，，，設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，即，取，則，設(shè)AG與平面PAB所成角為，則，所以AG與平面PAB所成角的正弦值為．例11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，，且.(1)試在平面內(nèi)過點作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）只需要在平面內(nèi)過點作的平行線，即可使?jié)M足題意.理由如下：平面，且平面平面平面所以又∵在平行六面體中，∴，得證.（2）連接AC交BD于O，連接，如圖，由題意易知，，在中，，同理：在中，，∴為等腰三角形，即，又，∴，在中，，∴，又∵，∴平面，如圖建系：以為z軸，OC為x軸，OD為y軸.，，，，，∵，∴，，易知平面與平面重合，則平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，∴，設(shè)平面與平面所成角的平面角為，.平面與平面所成角的銳二面角的余弦值為.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內(nèi)過點作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求點到平面的距離.【解析】（1）在平面內(nèi)過點作的平行線，則直線l即為所作.連接，如圖，因平面，平面，平面平面，則，平行六面體的對角面是平行四邊形，即，所以.（2）連，連接，如圖，菱形中，，則，，，在中，，同理，在中，，即為等腰三角形，有，且，在中，，則，而平面，于是得平面，對角面為平行四邊形，即，又平面，平面，則平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，因，在中，，同理，等腰底邊上的高，，，設(shè)點到平面的距離為，由得，，則，所以點到平面的距離.變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點.（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.【解析】（1）因為面面，為等邊三角形，設(shè)中點為，所以又因為面面面FAB，則平面，以為坐標(biāo)原點，分別以方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，則則，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為則取得，所以設(shè)平面的一個法向量為則取得，所以所以則二面角的余弦值為；（2），如圖所示：變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點分別是線段上的中點，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.【解析】（Ⅰ）在中，因為點分別是線段上的中點，所以因為平面，平面.所以平面.（Ⅱ）因為底面是邊長為2的菱形，所以，因為平面，所以，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可得，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由可得，令，可得因為.所以直線與平面的成角的正弦值為（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.法2：記平面與直線的交點為，設(shè)，則由，可得.所以即為點.所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.變式21．（2024·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，因為，所以，又，所以，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，取的中點，連接，∵分別為的中點，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由已知可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.變式22．（2024·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形.

(1)（如圖1）若點為內(nèi)任一點，作出與面的交點（作出圖象并寫出簡單的作圖過程，不需證明）；(2)（如圖2）若面面，求二面角的余弦值.【解析】（1）作圖步驟①連接并延長交于點②連接交于點，連接③連接交于點④點即為所求.（2）連結(jié)，交于點，連結(jié)，側(cè)面為菱形，，且為的中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為與，由，取，得；由，取，得．，變式23．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）是邊長為2的正三角形，P在平面上滿足，將沿AC翻折，使點P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．(1)作平面，使得，且，說明作圖方法并證明；(2)點M滿足，求二面角的余弦值．【解析】（1）記BC中點為O，連接AO，，平面即為平面，證明如下：因為為正三角形，O為BC中點，所以，又，平面，平面，所以平面（2）由(1)可知,因為平面,以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的法向量為，則,取,則,,設(shè)平面的法向最為,則，取，則，由已知可得.由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱平面，點在棱上，且，點是在棱上的動點（不為端點）.（如圖所示）(1)若是棱中點，（i）畫出的重心（保留作圖痕跡），指出點與線段的關(guān)系，并說明理由；（ii）求證：平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點在何處時，直線與平面所成角的正弦值取最大值.【解析】（1）（i）設(shè)與交點為，連接與交于點，因為為中點，為中點，所以與交點為重心，所以,又因為為的邊的中線，所以點也為的重心，即重心在上.（ii）連接并延長交于點，連接，因為為重心，所以,又因為,所以，又因為平面,平面,所以平面；（2）因為四邊形為正方形，所以,平面，平面，所以，所以以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示坐標(biāo)系，所以設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，，化簡得，取則，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以當(dāng)時，即點在線段靠近的三等分點處時，直線與平面所成角的正弦值取最大值為.題型五：立體幾何建系繁瑣問題例13．（2024·福建福州·福建省福州格致中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.【解析】（1）連接交于，因為，，，所以，故又因為為菱形對角線交點，即是線段的中點，所以又四邊形為菱形，故而，所以平面方法二：因為，所以點在平面內(nèi)的射影在為的平分線，又四邊形為菱形，故為的平分線，則直線故平面平面，而平面平面，又四邊形為菱形，故所以平面（2）延長交于點，平面即為平面，平面即平面由（1）得平面平面，平面平面，所以過做，則平面，故即為直線與平面所成角（若研究直線與平面所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變）因為四棱臺中，所以，由菱形有，且∠ABC=，所以，作，因為，則，，所以，則，，，故.法二：延長交于點，平面即為平面，平面即平面，設(shè)直線與平面所成角為過作，垂足為，因為，所以建系，以為軸，作軸，設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以例14．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，M，N分別為的中點，．(1)證明：平面；(2)若，三棱錐的體積為2，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以為的中位線，則，且，又為的中點，所以，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，又因為平面，且平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，可得平面，因為平面，所以，又因為，直線與直線相交，且平面，所以平面，因為平面，所以，設(shè)，連接，則，，，，所以，所以，則，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則則，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．例15．（2024·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．(1)證明：平面；(2)若，設(shè)為棱上的點，且滿足，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．【解析】（1）證明：過點作交與點，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面；（2）過點作交于點，連接，平面平面，平面平面，平面，平面，又因為平面，所以．平面，到平面的距離相等，且，四邊形是平行四邊形，,，又平面，平面，平面，.由得.由，得，，，又，令，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)與所成角為，則，即當(dāng)幾何體體積最大時，與所成角的余弦值為．變式25．（2024·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點，為上一點，過和的平面交于，交于．（1）證明：平面；（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）因為側(cè)面是矩形，分別為的中點，所以，，從而，又是正三角形，是中點，所以，因為，平面，所以平面，平面，平面，平面平面，所以，而，所以，所以平面，平面，所以平面；（2），連接，平面，平面平面，平面，所以，又由三棱柱的性質(zhì)得，所以是平行四邊形，所以，是的中心，則，所以，所以，設(shè)，則，，由三棱柱性質(zhì)知四邊形是等腰梯形，如圖，，作于，則，又，所以，．由（1）知是平面的一個法向量，而是與的夾角，所以直線與平面所成角的正弦值等于．變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中校考三模）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點，過和的平面交于，交于.（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積.【解析】（1）因為，分別為，的中點，所以，又，所以，在等邊中，為中點，則.又因為側(cè)面為矩形，所以.因為，，由，平面，所以平面，又因為，且平面，平面，所以平面，又因為平面，且平面平面，所以.又因為平面，所以平面，因為平面所以平面平面.（2）過作垂線，垂足為，畫出圖形，如圖.因為平面，平面，平面平面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為為的中心，所以，因為平面平面，平面平面=，平面，所以平面，又因為在等邊中，，得，由（1）知，四邊形為梯形，所以四邊形的面積為，所以，，，所以，所以.變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）如圖，在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點，是的中點.(1)證明：平面；(2)若側(cè)棱與底面所成的角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）證明：連接，因為在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，所以，，因為分別是，的中點所以，，，所以，四邊形，均為平行四邊形，所以，，，因為菱形中，，所以，，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，平面，平面，因為平面，所以，平面平面，因為是的中點，平面，所以平面.（2）過點作，垂足為，連接，因為平面底面，平面底面，平面，所以，底面，因為，底面，所以因為，側(cè)棱與底面所成的角為60°，所以，，因為，所以，即為中點，因為底面為菱形，，所以，，所以，以為坐標(biāo)原點，以為軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令得，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令得，所以，,所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐中，平面，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在一點M，使得平面？若存在，請指出點M的位置；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為，BC⊥AB，所以AD⊥AB．又因為，，所以．因為平面，平面，平面，所以．又，所以．以A為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，可得平面的一個法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．另如圖，連接AC．因為，BC⊥AB，所以AD⊥AB．因為，，所以．因為BC⊥AB，所以．因為平面，平面，平面，平面，所以．因為，所以，．所以，．設(shè)點C到平面的距離為h，由，得，即，解得．設(shè)直線與平面所成的角為，，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（2）不存在點M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點M（如圖）．可設(shè)，，所以，所以．又由（1）知為平面的一個法向量，所以，即，無解．所以線段PB上不存在滿足條件的點M．另不存在點M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點M，由平面，平面，平面，得，且，因為平面，平面，所以．因為，且，平面，平面，所以平面．又平面，所以．若存在滿足條件的點M，則點M必與點B重合．又與不垂直，所以線段上不存在滿足條件的點M．變式29．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的底面為等邊三角形，，點D，E分別為AC，的中點，，．(1)求點到平面BDE的距離；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）連接，，設(shè)與DE交于點F，由可知，側(cè)面為菱形，所以，因為點D，E分別為AC，的中點，所以，則，因為，所以，則，又，所以為等邊三角形，由為等邊三角形，，得，連接，則，，又，，所以，則，易知，因為，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面BDE，平面BDE，所以平面BDE，所以為點到平面BDE的距離，又，故點到平面BDE的距離為．（2）由（1）可知，兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點，直線DB，DC，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，,，由（1）知平面BDE的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，于是，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個四棱錐與的公共底面是邊長為4的正方形，頂點，在底面的同側(cè)，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點，與交于點E，與交于點F.(1)求證：點E為線段的中點；(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.【解析】（1）連接，，如圖，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以四邊形是矩形，所以，，又，分別為AB，CD的中點，所以，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又對角線，所以點E為線段的中點.（2）連接，交EF于點N，過點作于M，由題意知，故，又，，，平面，所以平面，故，又，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，由（1）同理可得點F為線段的中點，所以，，在中，，則，所以，因為，所以.變式31．（2024·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.（i）證明：平面平面；（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.【解析】（1）因為“鱉臑”是由四個直角三角形組成的四面體，又平面，所以，，；即，為直角三角形；若，由，平面，可得：平面；所以，即，為直角三角形；滿足四個面都是直角三角形；同理，可得或或，都能滿足四個面都是直角三角形；故可填：或或或；（2）（i）證明：∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（ii）由題意知，在平面中，直線與直線相交.如圖所示，設(shè)，連結(jié)，則即為.∵平面，平面，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，.∴即為二面角的一個平面角.在中，，，，∴，又，∴，∴，∴，∴二面角的大小為.變式32．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，四面體ABCD中，等邊三角形，，且.

(1)記AC中點為M，若面面ABD，求證：面ADC；(2)當(dāng)二面角的大小為時，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.【解析】（1）為等邊三角形，中點為，，又面面，面面，面,由，得面,面，,又，平面，面.（2）在中，過作的垂線,與的延長線交于點,連結(jié),，，面，面，是二面角的平面角，,過作交于點,連結(jié),作交于點,連結(jié),由面，面，得,又，面，面,面，面面，面面，面，所以面，即面，所以直線與平面所成角即為，由題意:，,則，面，面，，，，直線與平面所成角的正弦值為.變式33．（2024·河北衡水·高二校考開學(xué)考試）已知四面體，，，且平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大?。窘馕觥浚?）證明：，，，，取中點，則，，平面，平面，平面，；（2）過點作交延長線于，連結(jié)，平面平面，平面平面，，平面，平面，為與平面所成角，，，，，，在中，，直線與平面所成角的大小為題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點P是AC的中點，連接BP，DP證明：平面平面BDP；若，，求三棱錐的體積．【解析】證明：如圖所示，因為是等邊三角形，，所以≌，可得，又因為點P是AC的中點，則，，又，平面PBD，平面PBD，所以平面平面BDP；設(shè)，在中，，則；在等邊中，，在等腰中，；在中，由，得；由余弦定理得，即，解得；所以的面積為，所以三棱錐的體積為．例17．（2024·高二?？紗卧獪y試）如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是的中點,連接．（1）證明:平面平面;（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．【解析】解:（1）證明:因為是等邊三角形,,所以,可得．因為點是的中點,則,,因為,平面PBD,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面．（2）如圖,作,垂足為連接．因為,所以為二面角A-BD-C的平面角．由已知二面角為,知．在等腰三角形中,由余弦定理可得．因為是等邊三角形,則,所以．在中,有,得,因為,所以．又,所以．則,．以為坐標(biāo)原點,以向量的方向分別為軸,軸的正方向,以過點垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,向量,平面的一個法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為．例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是，的中點，，，且二面角的大小為.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：作于點連接，∵，，，∴，∴，即，，又，∴平面，又平面，∴.（2）∵二面角的大小為，∴平面平面，平面平面，，∴平面.以點為原點，,,所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵,∴.∴，即.∴，，，.∴,，設(shè)平面的法向量，由，得令，得.易知為平面的一個法向量.設(shè)二面角為，為銳角，則.變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為30°時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）過點作，垂足為，連結(jié)，.在中，由，得，.在中，由余弦定理得，即，又，所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，為直線與底面所成角，則，所以.以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，由于，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，令得.顯然平面的一個法向量為，所以，即平面與平面所成二面角的余弦值為.變式35．（2024·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，二面角的余弦值為，求m．【解析】（1）證明：因為是正三角形，所以因為，公共邊，所以≌,所以，因為是直角三角形，所以，取的中點，連接，則,因為是正三角形，所以，所以為二面角的平面角，在中，，因為，所以,所以，所以平面平面ABC；（2）由（1）可得，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)等邊的邊長為2，則，則，因為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為二面角的余弦值為，所以，化簡得，，解得或，如圖，過作于，連接，則由（1）可得，因為，所以平面，所以平面平面，所以二面角為直角二面角，因為，所以,所以,得，所以，所以,所以當(dāng)時，二面角為鈍角，所以舍去，所以變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，已知，，(1)求證：；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.【解析】（1）∵，，.∴，∴，取的中點，連接，，則，.又∵，平面，平面，∴平面，又平面，∴.（2）過作于點，則平面，又∵平面平面，平面平面，∴平面.過作于點，連接.∵平面，平面，∴又，平面，∴平面，平面∴，根據(jù)二面角的定義，∴為二面角的平面角.連接，∵，由于，∴.∵，，∴，.∵，，∴，根據(jù)等面積法：.∴，顯然是銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系易得：，故二面角的余弦值為.題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系例19．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長方體，平面與平面所成角為.(1)若，求直線與平面所成角的余弦值（用表示）；(2)將矩形沿旋轉(zhuǎn)度角得到矩形，設(shè)平面與平面所成角為，請證明：.【解析】（1）∵平面，平面，∴，故平面與平面所成角為，設(shè)，則，如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，若，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，∵，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴，故直線與平面所成角的余弦值.（2）如圖1，延長交平面于點，連接，由題意可知：，∵，平面，∴平面，又∵，故平面，如圖2，在三棱錐中，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)，則，即，因為在長方體中，面，所以與面的夾角為，又，所以與平面的夾角與與面的夾角相同，即為，則，∵，則，故，解得，故，由題意可得：平面的法向量為，∵，∴平面與平面的夾角余弦值為，注意到平面與平面的夾角，即平面與平面的夾角，故.例20．（2024·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的大小.【解析】（1）取AD中點為O，AB中點為F，連接OS，OF，DF，，，平面平面，且平面平面，平面，，在四邊形ABCD中，，，四邊形ABCD為直角梯形，，，，，四邊形BCDF為正方形，且，在中，，在中，，，，，平面SAD，平面SAD，平面SAD，平面SAD，；（2）、F為AD、AB的中點，，且，由（1）知，，以O(shè)為原點，OA、OF、OS分別為x、y、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)，，則，設(shè)，則，則，則，則，設(shè)平面SAD的一個法向量為，則，令，則，設(shè)平面ADE的一個法向量為，則，令，則，二面角的余弦值為，，，即，，，，解得：，故.例21．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設(shè)二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．【解析】（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因為，所以為直角三角形，，在中，因為，所以，所以所以CE的長為；（2）在平面ABCD內(nèi)過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，則，，以點M為坐標(biāo)原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AD的中點為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點P作，垂足為F，因為平面平面，所以平面，由已知可得，則，設(shè)．因為，所以，因為，，為線段的中點，所以，所以，所以，所以．設(shè)平面PAD的法向量，則令，則．設(shè)平面的法向量，因為，則令．則，所以為平面的一個法向量．設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點，設(shè)平面與平面的交線為.(1)證明∥平面BCM(2)已知，為上的點，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.(3)在（2）的條件下，求二面角的正弦值.【解析】（1）在正方形中，，因為平面，平面，所以∥平面，又因為平面，平面平面，所以，因為平面，平面，所以∥平面（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則有，，，，，設(shè)，則有，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則因為與平面所成角的正弦值為是，所以，解得.所以.（3）由（2）可知平面的一個法向量為因為是線段的中點，所以于是，，設(shè)平面的法向量則，即.令，得，，，所以二面角的正弦值為.變式38．（2024·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，直線平面，直線平行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點在平面上，，，，，分別是與的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）連接，底面為平行四邊形，是的中點，是的中點，，是的中點，是的中點，，，，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四邊形，平面底面，，，四邊形為矩形，且底面，，過作，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由，，，知，、、、、、，、、，設(shè)平面的法向量為，則,取，，，即，設(shè)平面的法向量為則,取，，，即，二面角的平面角的余弦.變式39．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)側(cè)棱SC上是否存在一點P（P不在端點處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：因為底面ABCD為正方形，，所以，又因為側(cè)面SAD為等邊三角形，所以.，所以，即，又,所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）如圖：取的中點為，連接，因為側(cè)面為等邊三角形，所以，又由（1）可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，所以，，，設(shè).，所以，所以.設(shè)平面SAC的法向量為，由于，所以.令，則，，所以，所以.因為直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于.所以，解得或（舍）故存在，當(dāng)點P為SC的中點時，使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于.變式40．（2024·吉林長春·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，底面，，.點在側(cè)棱上，°.（1）證明：是側(cè)棱的中點；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，.，則，.又，故，即，解得，即.所以為側(cè)棱，的中點.（2）由，，得的中點.又，，，，，所以，.因此等于二面角的平面角..變式41．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）連接，底面，底面，，且與底面所成的角為，即.在等邊△ABC中，易求得.在△AOD中，由余弦定理，得，.又又，平面，又平面，，又，平面.（2）如下圖所示，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則故由（1）可知可得點的坐標(biāo)為，平面的一個法向量是.設(shè)平面的法向量，由得令則則，易知所求的二面角為鈍二面角，二面角的平面角的余弦角值是.變式42．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐P-ABC所有棱長都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點，分別在平面PAC，平面PAB內(nèi)，線段，都經(jīng)過線段PO的中點D．(1)證明：平面ABC；(2)求直線AP與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，延長交AB于點，連接，延長交AC于點，分別連接，，．是平面與平面的交線，，，∵三棱錐P-ABC所有棱長都相等，∴O為正△ABC的重心，且，分別是AB，AC中點．∴．作交于點E，則．∵D是PO中點，∴．∴．同理，．∴．∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC．（2）根據(jù)條件得，，PO⊥AC．分別以過O平行于CA的直線為x軸，以直線OB為y軸，以直線OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．設(shè)，則，，，．是的中點，，由（1）知，即,設(shè)，則，易得：，同理得：．∴，，．設(shè)是平面的一個法向量，則，，∴，，∴，不妨取，解得：，．．所以直線AP與平面所成角的正弦值為．變式43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）過作于，因為平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.又平面，平面，，又，平面，平面，.（2）連結(jié)并延長交于，連結(jié)，以為原點，分別以，所在的直線為，軸，以過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，平面，平面，，同理，又，平面，，又是的重心，是的中點，，由（1）知，，，，，，解得，，設(shè)，則，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面平面，菱形平面，，為平面內(nèi)一動點.(1)若平面，間的距離為，設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，，求動點在平面內(nèi)的射影的一個軌跡方程；(2)若點在平面內(nèi)的射影為，證明：直線與平面所成的角與的大小無關(guān).【解析】（1）如圖①，連接，，，，設(shè)，的交點為，點在平面內(nèi)的射影為，連接，，，圖①因為點在平面內(nèi)的射影為點，所以平面，所以，在平面的射影分別為，，所以，，所以，所以，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.以，的交點為坐標(biāo)原點，若以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是.若以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是.（2）取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，所以，，因為平面為菱形，所以，所以，，兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系.圖②設(shè)，，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即兩式相減得，即，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以只與有關(guān).又，所以只與有關(guān)，所以直線與平面所成的角與的大小無關(guān).題型八：空間中的點不好求例22．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．，.(1)證明：BC⊥AD；(2)E為AD上靠近A的四等分點，若三棱錐A-BCD的體積為，求二面角的余弦值．【解析】（1）連結(jié)并延長交于，連結(jié)，因為O恰好為△ABC的外心，所以，又，，所以，所以，即是的角平分線，又，所以由等腰三角形三線合一可得，因為D在面ABC上的投影為O，所以面ABC，又面ABC，所以，又面，所以面，又面，所以，（2）由（1）知，面ABC，過作軸平行于，則軸垂直于面ABC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在中，由（1）與等腰三角形三線合一可知是的中點，又，，則，，設(shè)，則，又，所以，解得，故，因為三棱錐ABCD的體積為，所以，則，則，故，因為E為AD上靠近A的四等分點，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則，故，易得是平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，所以，所以二面角的余弦值為.例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，分別為，的中點，點在上，且為三角形的重心.(1)證明：平面；(2)若，，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：連接，因為，，所以，且，由，得，，則，所以.連接并延長交于點，如圖，因為為的重心，所以.連接，因為，所以.又平面，平面，故平面.（2）連接，因為，所以，又，，平面，，所以平面.連接交于點，則，.又，，平面，，所以平面.連接，平面，則，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面.易得四邊形的面積為，由四棱錐的體積為得，，所以.以為坐標(biāo)原點，以，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則,即,取，可得，由（1）可知，為的中點，則，所以.由（1）知，，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，設(shè)為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.例24．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，平行六面體中，點P在對角線上，，平面平面．(1)求證：O，P，三點共線；(2)若四邊形是邊長為2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．【解析】（1）證明：連交于，連．在平行六面體中，且，所以四邊形是平行四邊形，且，又O，分別為BD，的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，于是，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為，都經(jīng)過點O，所以O(shè)，P，三點共線．（2）由（1）可知，所以．作平面于Q，于E，于F，連，，，則，，由，得，又，平面，所以平面，于是，同理，又，，所以，則，所以點Q在上，且，所以點Q與O重合，于是．以點O為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，于是，又，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，于是可得，不妨令，則，平面的一個法向量為，，又結(jié)合圖形易得二面角為銳角，所以二面角大小的余弦值為．變式45．（2024·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐中，，E為中點，，平面平面，平面.(1)證明：當(dāng)平面平面時，平面(2)當(dāng)時，T為表面上一動點（包括頂點），是否存在正數(shù)m，使得有且僅有5個點T滿足，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）連接，由題意可知：，設(shè)，連接，則平面，平面，則，，平面，故平面.若為直線，此時平面，可得平面平面，符合題意，故平面；若不為直線，∵平面平面，則存在直線平面，使得平面，可得，且平面，平面，故平面，又∵平面，平面平面，則，可得，故平面；綜上所述：平面.（2）不存在，理由如下：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則有，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，設(shè)平面的任一點坐標(biāo)，則，由，解得，可得交線滿足，令，可得交線與軸的交點為，即為點.設(shè)四棱錐表面上任一點，則，，可得，且故，表示點到點的距離的平方，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，∵的體積，表面積，則，可得四棱錐內(nèi)切球的球心坐標(biāo)為，又∵，可得四棱錐的外接球的球心為，顯然既不是內(nèi)切球的球心也不是外接球的球心，故不存在m，使得有且僅有5個點T滿足.變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．(1)若，求證：平面平面；(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：若，則平面、平面為同一個平面，連接，則M是中點，是中點，故是的中位線，所以．因為，所以平面四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，所以平面同理平面，且平面平面，所以，平面平面．（2）假設(shè)存在，使得直線平面．以C為原點，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故．設(shè)是平面的法向量，則，所以，取，得是平面的一個法向量，取中點P，中點Q，連接，則．于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角，于是，所以，且平面，故，同理，所以，因為，，所以．若直線平面，是平面的一個法向量，則．即存在，使得，則，此方程組無解，所以，不存在，使得直線平面．變式47．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD中，，四邊形BDEF為正方形，滿足，連接AE，AF，CE，CF．(1)證明：；(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．【解析】（1）證明：如圖，取CF的中點M，EF的中點N，連接AC，交BD于點O，連接EM，CN，AM，ON．∵菱形ABCD中，，∴△ABD為等邊三角形，∴．∵四邊形BDEF為正方形，∴．又∵，，∴在△ABF中，由余弦定理可得．∴，又M為CF的中點，∴①．∵四邊形ABCD為菱形，∴．又∵四邊形BDEF為正方形，，，則，∴，又，ON、AC在面ONC內(nèi)，故平面ONC．∵，∴平面ONC，NC在面ONC內(nèi)，∴，由N為EF的中點，得．∵，，，．又∵，∴為等邊三角形，∴．又，，∴為等邊三角形．又∵M(jìn)為CF中點，∴②．由①②，且，EM、AM在面AEM內(nèi)，得平面AEM，又AE在面AEM內(nèi)，故．（2）方法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，．點N作NH垂直O(jiān)C于點H，在中，，，可得ON邊上的高為，由等面積法可得OC邊上的高，由勾股定理可得，故，，，，設(shè)平面BDEF的法向量為，則，即，取，平面BDEF的一個法向量為．設(shè)直線AE與平面BDEF所成角為，則，∴直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為．方法二：將原圖補成一個平行六面體，顯然該平行六面體每個面均為有一個角為的菱形．令，，，依題意，，，則，，，由于，，所以A1C與EF、BF都垂直且EF、BF都在面BDEF內(nèi)，故為平面BDEF的一個法向量，設(shè)直線AE與平面BDEF所成角為，，∴直線AE與平面BDEF所成角的正弦值為．題型九：創(chuàng)新定義例25．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點，，，，，均在原正方體的表面上）．(1)由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可