第78講、參數(shù)范圍與最值（學生版）

第78講參數(shù)范圍與最值知識梳理1、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．2、求參數(shù)范圍問題的常用方法構建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進一步找到自變量范圍，進而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導數(shù)進行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可以從以下幾個方面考慮：①利用判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍．②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關系．③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．必考題型全歸納題型一：弦長最值問題例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┮阎獔A的任意一條切線l與橢圓都有兩個不同交點A，B（O是坐標原點）（1）求圓O半徑r的取值范圍；（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A在軸上滑動，點B在軸上滑動，A、B兩點間距離為．點P滿足，且點P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設M，N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點F為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）在橢圓）中，，過點與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓的右焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于兩點，求的最大值.變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．(1)若，求證：；(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.(1)求橢圓的的標準方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.變式3．（2024·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.題型二：三角形面積最值問題例4．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點分別為、，為橢圓上異于、的動點，設直線、的斜率分別為、，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)設動直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.例5．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預測）如圖，分別是矩形四邊的中點，，.(1)求直線與直線交點的軌跡方程；(2)過點任作直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線的交點為，直線與直線的交點為，求面積的最小值.例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；（2）求直線的方程；（3）求三角形面積的最大值．變式5．（2024·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習）已知拋物線為拋物線上四點，點在軸左側，滿足.(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標；(2)設線段的中點為.證明：直線與軸垂直；(3)設圓，若點為圓上動點，設的面積為，求的最大值.變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.(1)求的準線方程；(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.題型三：四邊形面積最值問題例7．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線，作直線l的平行線，動點P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動點P的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．例8．（2024·全國·高三專題練習）O為坐標原點橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，切．(1)求的方程；(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點，當直線與交于P，Q兩點時，求四邊形面積的最小值．例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.(1)求的方程;(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.變式7．（2024·山西朔州·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設經(jīng)過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.變式8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，P是橢圓C上異于左、右頂點的動點，的最小值為2，且橢圓C的離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l過與橢圓C相交于A，B兩點，A，B兩點異于左、右頂點，直線過交橢圓C于M，N兩點，，求四邊形面積的最小值．變式9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）平面內(nèi)動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點和，求四邊形面積的最小值.題型四：弦長的取值范圍問題例10．（2024·河北·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的中心在原點，點在橢圓上，且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)動直線交橢圓于，兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段上一點，圓的半徑為，且，求的范圍.例11．（2024·浙江·模擬預測）已知橢圓，點，斜率不為0的直線與橢圓交于點，與圓相切且切點為為中點.(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.變式12．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點在運動過程中，總滿足關系式：.(1)點的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設圓，直線與圓O相切且與點的軌跡交于不同兩點，當且時，求弦長的取值范圍.變式13．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點是雙曲線的頂點，的焦點到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點，.(1)求證：(2)若直線l與相交于P，Q兩點，求的取值范圍.變式14．（2024·陜西咸陽·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，且.(1)求雙曲線的標準方程;(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與雙曲線的漸近線分別交于兩點，求的取值范圍.變式15．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線的漸近線方程為，點，分別為雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于第一象限的點，且的周長為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左支、右支分別交于，兩點，與直線，分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．題型五：三角形面積的取值范圍問題例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知雙曲線，其左、右焦點分別為、，上有一點P滿足，．(1)求b；(2)過作直線l交于B、C，取BC中點D，連接OD交雙曲線于E、H，當BD與EH的夾角為時，求的取值范圍．例14．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學校考階段練習）橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，上頂點為，點到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過點的直線交雙曲線右支于點，，點在上，求面積的取值范圍.例15．（2024·浙江金華·模擬預測）P是雙曲線右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．(1)記P，Q的縱坐標分別為，求的值；(2)記的面積分別為，當時，求的取值范圍．變式16．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.(1)求C的方程；(2)過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.變式17．（2024·四川南充·模擬預測）如圖所示，以原點為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設為大圓上任意一點，連接交小圓于點，設，過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點．

(1)求動點的軌跡的方程；(2)點分別是軌跡上兩點，且，求面積的取值范圍．變式18．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.(1)求C的方程；(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.題型六：四邊形面積的取值范圍問題例16．（2024·四川成都·高三石室中學?？奸_學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點，為橢圓上一點.(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.例17．（2024·河北·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓上.直線與橢圓交于兩點.且，其中為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)若過原點的直線與橢圓交于兩點，且過的中點.求四邊形面積的取值范圍.例18．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為，O是坐標原點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點，求四邊形面積的取值范圍.變式19．（2024·遼寧遼陽·高三遼陽縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側．①求四邊形面積的取值范圍；②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．變式20．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.(1)求的方程；(2)若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題例19．（2024·吉林長春·長春市第八中學?？寄M預測）已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．例20．（2024·安徽合肥·合肥市廬陽高級中學?？寄M預測）已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.(1)是上一動點，求的范圍；(2)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.例21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經(jīng)過點，一個焦點的坐標為.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：經(jīng)過點，一個焦點的坐標為.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.變式22．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？茧A段練習）已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點的坐標為.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，求·的取值范圍.題型八：參數(shù)的取值范圍例22．（2024·全國·高三專題練習）已知曲線表示焦點在軸上的橢圓.（1）求的取值范圍；（2）設，過點的直線交橢圓于不同的兩點，（在，之間），且滿足，求的取值范圍.例23．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率，且經(jīng)過拋物線的焦點．若過點的直線斜率不等于零與橢圓交于不同的兩點E、在B、F之間，求橢圓的標準方程；求直線l斜率的取值范圍；若與面積之比為，求的取值范圍．例24．（2024·廣東廣州·高二執(zhí)信中學?？计谀┮阎行脑谧鴺嗽c，焦點在x軸上的橢圓過點，且它的離心率（I）求橢圓的標準方程；（II）與圓相切的直線交橢圓于、兩點，若橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍變式23．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.變式24．（2024·天津河西·天津市新華中學?？家荒＃┰O橢圓的左頂點為，右頂點為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程