第78講、參數(shù)范圍與最值（學(xué)生版）

第78講參數(shù)范圍與最值知識(shí)梳理1、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．2、求參數(shù)范圍問題的常用方法構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進(jìn)一步找到自變量范圍，進(jìn)而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時(shí)，還可以從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．必考題型全歸納題型一：弦長最值問題例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┮阎獔A的任意一條切線l與橢圓都有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求圓O半徑r的取值范圍；（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在軸上滑動(dòng)，點(diǎn)B在軸上滑動(dòng)，A、B兩點(diǎn)間距離為．點(diǎn)P滿足，且點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)M，N是C上的不同兩點(diǎn)，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點(diǎn)F為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個(gè)最大值，若沒有，請說明理由．例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）在橢圓）中，，過點(diǎn)與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.變式3．（2024·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.題型二：三角形面積最值問題例4．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由.例5．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測）如圖，分別是矩形四邊的中點(diǎn)，，.(1)求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)任作直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為，求面積的最小值.例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，求證：過點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為；(3)若點(diǎn)M為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作該橢圓的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為，求△的面積的最小值．變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；（2）求直線的方程；（3）求三角形面積的最大值．變式5．（2024·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）已知拋物線為拋物線上四點(diǎn)，點(diǎn)在軸左側(cè)，滿足.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為.證明：直線與軸垂直；(3)設(shè)圓，若點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最大值.變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點(diǎn)作的切線與軸交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，求與面積之比的最大值.題型三：四邊形面積最值問題例7．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線，作直線l的平行線，動(dòng)點(diǎn)P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交E于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）O為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，切．(1)求的方程；(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值．例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.變式7．（2024·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.變式8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為2，且橢圓C的離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)異于左、右頂點(diǎn)，直線過交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，，求四邊形面積的最小值．變式9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點(diǎn)和，求四邊形面積的最小值.題型四：弦長的取值范圍問題例10．（2024·河北·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段上一點(diǎn)，圓的半徑為，且，求的范圍.例11．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.變式12．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設(shè)圓，直線與圓O相切且與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求弦長的取值范圍.變式13．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求證：(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.變式14．（2024·陜西咸陽·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.變式15．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)，且的周長為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左支、右支分別交于，兩點(diǎn)，與直線，分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．題型五：三角形面積的取值范圍問題例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線，其左、右焦點(diǎn)分別為、，上有一點(diǎn)P滿足，．(1)求b；(2)過作直線l交于B、C，取BC中點(diǎn)D，連接OD交雙曲線于E、H，當(dāng)BD與EH的夾角為時(shí)，求的取值范圍．例14．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，求面積的取值范圍.例15．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）P是雙曲線右支上一點(diǎn)，A，B是雙曲線的左右頂點(diǎn)，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點(diǎn)為Q，PA與BQ的交點(diǎn)為C．(1)記P，Q的縱坐標(biāo)分別為，求的值；(2)記的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．變式16．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.變式17．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖所示，以原點(diǎn)為圓心，分別以2和1為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為大圓上任意一點(diǎn)，連接交小圓于點(diǎn)，設(shè)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)分別是軌跡上兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．變式18．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)不過原點(diǎn)O的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.題型六：四邊形面積的取值范圍問題例16．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓：（）左、右焦點(diǎn)分別為，，且為拋物線的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點(diǎn)，且都在軸上方，滿足.（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.例17．（2024·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.直線與橢圓交于兩點(diǎn).且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且過的中點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.例18．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為P，離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.變式19．（2024·遼寧遼陽·高三遼陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點(diǎn)作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設(shè)直線與兩漸近線分別交于，兩點(diǎn)，是否存在直線使，為線段的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．變式20．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與相交，所得弦長為.(1)求的方程；(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題例19．（2024·吉林長春·長春市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）若，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；（2）若過點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線斜率；若不能，說明理由．例20．（2024·安徽合肥·合肥市廬陽高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.(1)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；(2)過的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.變式22．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的取值范圍.題型八：參數(shù)的取值范圍例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，（在，之間），且滿足，求的取值范圍.例23．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線斜率不等于零與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E、在B、F之間，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線l斜率的取值范圍；若與面積之比為，求的取值范圍．例24．（2024·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？计谀┮阎行脑谧鴺?biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn)，且它的離心率（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）與圓相切的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓：的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.變式24．（2024·天津河西·天津市新華中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程