第49講、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（學(xué)生版）

第49講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識梳理知識點1：直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．知識點2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a知識點3：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直知識點4：平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．知識點5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__知識點6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a【解題方法總結(jié)】線線線面面面（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）．（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）．空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定判定判定線∥面線∥線面∥面線⊥面線⊥線面⊥面必考題型全歸納題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定例1．（2024·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則例2．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則例3．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：①若∥，，則∥，②若，，則，③若，，則∥，④若，，，則其中正確的命題是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②變式1．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式2．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的菱形中，對角線交于點，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:①；②平面平面；③平面平面；④三棱錐體積為.其中正確命題序號為（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④變式3．（2024·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)?？既＃┮阎猯，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且【解題方法總結(jié)】此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除．題型二：證明線線垂直例4．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，．證明：；例5．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.證明：；例6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.求證：；變式4．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測）圖1是由直角梯形ABCD和以CD為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個動點，當(dāng)△CDE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面平面ABCD，此時的點E到達(dá)點P的位置，如圖2．求證：；變式5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點，是線段上一點.(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求棱錐的體積.變式6．（2024·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點到達(dá)點的位置，為的中點，如圖2.證明：.【解題方法總結(jié)】題型三：證明線面垂直(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.例7．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，已知，.(1)證明：平面；例8．（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點，，.(1)證明：平面CED；例9．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．(1)證明：平面；變式7．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．(1)證明：平面；變式8．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．(1)求證：平面；變式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.(1)證明：平面；【解題方法總結(jié)】垂直關(guān)系中線面垂直是重點．線垂面哪里找線垂面有何用證明線面垂直常用兩種方法．方法一：線面垂直的判定．線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．方法二：面面垂直的性質(zhì)．面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．題型四：證明面面垂直例10．（2024·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.(1)證明：平面平面；例11．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；例12．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.(1)平面⊥平面ABF變式10．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.(1)證明：平面平面.變式11．（2024·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，.(1)證明：平面平面；變式12．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，為棱的中點．(1)證明：平面平面；(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；(3)求過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．變式13．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.(1)證明：平面平面；變式14．（2024·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.(1)求證：平面平面；【解題方法總結(jié)】主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．題型五：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例13．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；例14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．例15．（2024·天津·耀華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱錐A﹣BCD中，頂點A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點．（1）求證：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD內(nèi)一點，點Q為AE中點，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長．變式15．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，.（1）求證：；（2）在線段上，是否存在點，使得平面？并說明理由.變式16．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.變式17．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．(1)求證：面面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．變式18．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C