第63講、直線與圓的綜合（教師版）

第63講直線與圓的綜合必考題型全歸納題型一：距離的創(chuàng)新定義例1．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，P為內(nèi)一點，記，則的最小值為，此時.【答案】【解析】設(shè)為坐標原點，由，知，且為銳角三角形，因此，費馬點F在線段上，設(shè)，則為頂角是120°的等腰三角形，故，所以；在中，由正弦定理，得，即，解得，即此時.故答案為：；例2．（2024·全國·高三專題練習）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常見的方法，設(shè)點、坐標分別為，，則閔氏距離.若點、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，設(shè)，因為點A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當且僅當時等號成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.例3．（2024·全國·高三專題練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最?。F(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，則，即為點到和點三個點的距離之和，則△ABC為等腰三角形，如圖，由費馬點的性質(zhì)可得，需滿足：點P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，因為|OA|＝|OB|＝2，則，所以點坐標為時，距離之和最小，最小距離之和為.故選：B.變式1．（2024·全國·高三專題練習）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個命題：①若，則；②若，其中，則；③若，其中，則；④若，其中，則的最小值為.其中所有真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①：，故①正確.對于②：，故②錯誤.對于③：，不妨設(shè)，，且均為非負數(shù)，所以故③正確.對于④：構(gòu)造函數(shù)，則，的最小值即兩曲線動點間的最小距離，設(shè)與直線平行的切線方程為，聯(lián)立得：，令得，，所以切線方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.故選C.變式2．（2024·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，因為，，，所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取的中點，連接，與交于點，連接，故，，因為，所以，故，則，故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，因為，所以，同理得：，，，故的最小值為.故選：B變式3．（2024·全國·高三專題練習）點是內(nèi)部或邊界上的點，若到三個頂點距離之和最小，則稱點是的費馬點（該問題是十七世紀法國數(shù)學家費馬提出）.若，，時，點是的費馬點，且已知在軸上，則的大小等于.【答案】【解析】先證明：若到三個頂點距離之和最小，則如圖將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，則≌，，所以是等邊三角形，，，當四點共線時取得最小值，此時，同理可得所以命題得證.點是的費馬點，且已知在軸上，，，所以，所以=.故答案為：變式4．（2024·全國·高三專題練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為．【答案】【解析】∵，∴的幾何意義為點到兩定點與的距離之和，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則為，要求的最小值，可轉(zhuǎn)化為的最小值，利用對稱思想可知，即的最小值為,故答案為.題型二：切比雪夫距離例4．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”．又設(shè)點P及l(fā)上任意一點Q，稱d（P，Q）的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個命題：①對任意三點A，B，C，都有；②已知點P（3，1）和直線，則；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形．其中正確的序號為．【答案】①②③【解析】其中①③的討論見后文．②設(shè)點Q是直線上一點，且，則．由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，此時的范圍是，無最值．故P，Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．綜上，①②③正確．例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”．若點P到點（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點P的軌跡長度之和為．【答案】16【解析】由前文知點P的軌跡是邊長為4的正方形，則軌跡長度之和為16．例6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:①對任意三點，都有②已知點和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；其中真命題的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【解析】①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；若，或，對調(diào)，可得；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，由矩形或矩形，；則對任意的三點，，，都有，故①正確；②設(shè)點是直線上一點，且，可得，，由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最值；綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；③由題，到原點的“切比雪夫距離”的距離為1的點滿足，即或，顯然點的軌跡為正方形，故③正確；故選：D變式5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作.（1）求證：對任意三點、、，都有；（2）已知點和直線，求；（3）定點，動點滿足（），請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.【解析】（1）證明：設(shè)，則，同理可得，所以，（2）設(shè)為直線上一點，則，由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最大值，綜上可得，兩點的最小值為，所以；（3）設(shè)軌跡上動點為，則，等價于或，所以點的軌跡是以為中心，邊長為的正方形，所以點所在的曲線所圍成圖形的面積為變式6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：①對任意三點、、，都有；②已知點和直線，則；③定義，動點滿足，則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4；其中真命題的個數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由新定義表示出三點兩兩之間的“切比雪夫距離”，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷①，由新定義計算出，判斷②，根據(jù)新定義求出的軌跡方程，確定其軌跡，求得軌跡圍成的圖形面積判斷③．①設(shè)，則，，顯然，同理，∴，①正確；②設(shè)是直線上任一點，則，，易知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴時，，②錯；③由得，易知此曲線關(guān)于軸，軸，原點都對稱，它是以為頂點的正方形，其轉(zhuǎn)成圖形面積為，③錯．故選：B．變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(2,1)和直線,則③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，、，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，則；若,或,對調(diào)，可得；若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，由矩形或矩形，；則對任意的三點，，，都有；故①正確；②設(shè)點直線一點，且，可得，由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，故②錯誤；③定點、，動點滿足，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點，故③正確；真命題的個數(shù)是2，故選：C．變式8．（2024·全國·高三專題練習）在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（

）①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(3,1)和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；設(shè)點是直線上一點，且，可得，，由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點的“切比雪夫距離”等于的點設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點、，動點滿足，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足，，，即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點．故④正確；綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，故選:.題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題例7．（2024·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【解析】設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，即點在正方形的邊上運動，因為，由圖可知：當取到最小值，即最大，點有如下兩種可能：①點為點A，則，可得；②點在線段上運動時，此時與同向，不妨取，則；因為，所以的最大值為.故選：B.例8．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標系中，定義兩點間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點，若，則的最小值與最大值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，．令，作出所表示的平面區(qū)域如圖中實線所示，則，而表示點到原點的距離的平方，結(jié)合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，故選：B．例9．（2024·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數(shù)學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，所以點不是的“好點”；對于B，設(shè)，則，，所以，所以點是的“好點”；對于C，設(shè)，則，所以點不是的“好點”；對于D，設(shè)，則，所以點不是的“好點”.故選：B.變式9．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數(shù)學家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內(nèi)，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意：，兩點的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個選項可以判斷只有C選項符合題意.故選：C．變式10．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”是19世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)之間，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點，滿足的點M軌跡圍成的圖形面積為（

）A．2 B．1 C．4 D．【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以，當時，則當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當，，所以點M的軌跡如圖所示，是一個邊長為的正方形，所以點M軌跡圍成的圖形面積為，故選：A題型四：圓的包絡(luò)線問題例10．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)直線系M：，則下列命題中是真命題的個數(shù)是（

）①存在一個直線與所有直線相交；②M中所有直線均經(jīng)過一個定點；③對于任意實數(shù)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)直線系M：，可得到直線M的距離，所以所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線，對于①：因為直線系為圓的任意切線，所以不存在一個直線與所有直線相交，故①錯誤；對于②：因為直線系為圓的任意切線，所以該直線系不過定點，故②錯誤；對于③：對于任意實數(shù)，作圓的外切正n邊形，其所有邊都為圓的切線，即為直線系中的直線，故③正確；對于④：如圖所示：正和正面積不相等，故④錯誤；故選：B例11．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)直線系（），則下列命題中是真命題的個數(shù)是（）①存在一個圓與所有直線相交；②存在一個圓與所有直線不相交；③存在一個圓與所有直線相切；④中所有直線均經(jīng)過一個定點；⑤不存在定點不在中的任一條直線上；⑥對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根據(jù)直線系（）得到，所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線．對于①，可取圓心為，半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；對于②，可取圓心為，半徑為的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；對于③，可取圓心為，半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確；對于④，所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，所以④錯誤；對于⑤，存在不在中的任一條直線上，所以⑤錯誤；對于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在中的直線上，所以⑥正確；對于⑦，可以在圓的三等分點做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過另外兩個點中點時，也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯誤；故①②③⑥正確，④⑤⑦錯，所以真命題的個數(shù)為4個．故選：B．例12．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)直線系，對于下列四個結(jié)論：（1）當直線垂直于軸時，或；（2）當時，直線傾斜角為；（3）中所有直線均經(jīng)過一個定點；（4）存在定點不在中任意一條直線上．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【解析】，（1）當直線垂直于軸時，則，解得或或，故（1）錯誤；（2）當時，直線方程為：，斜率，即，傾斜角，故（2）正確；（3）由直線系可令，消去可得，故直線系表示圓的切線的集合，故（3）不正確．（4）因為對任意，存在定點不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；故選：D．變式11．（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·高二校考開學考試）設(shè)有一組圓：（）.下列四個命題中真命題的是A．存在一條定直線與所有的圓均相切B．存在一條定直線與所有的圓均相交C．存在一條定直線與所有的圓均不相交D．所有的圓均不經(jīng)過原點【答案】BD【解析】圓心為，半徑為，，，，，，圓與圓是內(nèi)含關(guān)系，因此不可能有直線與這兩個圓都相切，從而A錯誤；易知圓心在直線上，此直線與所有圓都相交，B正確；若取無窮大，則所有直線都與圓相交，C錯；將代入圓方程得，即，等式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，因此方程無整數(shù)解，即原點不在任一圓上，D正確．故選：BD．變式12．（多選題）（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線，下面五個命題，其中正確的是（

）A．對任意實數(shù)與，直線和圓有公共點B．對任意實數(shù)與，直線與圓都相離C．存在實數(shù)與，直線和圓相離D．對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切【答案】AD【解析】AB選項，由題意知圓的圓心為，半徑為，直線的方程可以寫作，過定點，因為點在圓上，所以直線與圓相切或相交，任意實數(shù)與，直線和圓有公共點，A正確，B錯誤；C選項，由以上分析知不存在實數(shù)與，直線和圓相離，C錯誤；D選項，當直線與圓相切時，點恰好為直線與圓的切點，故直線與直線垂直，①當時，直線與軸垂直，則，即，解得，存在，使得直線與圓相切；②當時，若直線與直線垂直，則，直線的斜率為，所以，即，此時對任意的，均存在實數(shù)，使得，則直線與直線垂直，綜上所述，對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切，D正確．故選：AD．變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有（）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由于直線和圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，（其中），故，或，正弦值為的只有在軸正半軸，正弦值為可以在第三或者第四象限，故有種可能，所以選.題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題例13．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）公元前世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點的坐標為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關(guān)于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.例14．（2024·高二單元測試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點到，的距離之比為，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，化簡得，即點的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，則點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即，點到直線的距離最小值為.故選：A例15．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由已知過定點，過定點，因為，，所以，即，所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.變式14．（2024·全國·高二專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，當點不共線時，，又，因此∽，則有，當點共線時，有，則，因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C變式15．（2024·高二單元測試）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】設(shè)動點，由，得，整理得，又點是圓：上有且僅有的一點，所以兩圓相切.圓的圓心坐標為，半徑為2，圓C：的圓心坐標為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，，得，當兩圓內(nèi)切時，，，得．故選：A.變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內(nèi)的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，∵，∴，∴，∴，∴P點軌跡為阿氏圓．在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)，所以，整理得：，所以點P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，因為平面，，，，所以，因為，所以，因為平面平面，，所以二面角的平面角為，由圖可知，當PB與圓相切時，最大，余弦值最小，此時，故.故選：B．變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點為的中點，點為的中點.若點、是空間中的兩動點，且，，則（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】建立直角坐標系如圖所示，，底面為等邊三角形，且.所以O(shè)D=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),點為的中點，所以E（，，0）點為的中點，F(xiàn)（-，-，0），設(shè)M（x,y,z）,，所以，所以點M在以（0,0,0）為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個球上，且，所以MN為球的直徑，=.故選B.變式18．（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標原點，則的最小值是．【答案】【解析】如圖所示：取點，設(shè)，則，在和中，，所以和相似，且相似比為，所以，則，而，即的最小值為，所以.故答案為：.變式19．（2024·全國·高三專題練習）點為圓：上一動點，為圓：上一動點，為坐標原點，則的最小值為.【答案】9【解析】為圓：上一動點，為圓：上一動點，為坐標原點，取，則，故答案為：9變式20．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，點在線段上，且，點是正方體表面上的一動點，點是空間兩動點，若且，則的最小值為.【答案】【解析】如圖,建立如圖所示的空間直角坐標系則,，設(shè)由題設(shè)即也即由此可知點都是在球心為,半徑為2的球面上又,故點是球的直徑的兩個端點所以，所以而在正方體的表面上,故當點在正方體的頂點上時,此時的值最小為故答案為：.題型六：圓中的垂直問題例16．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則．【答案】【解析】由直線，可得斜率，因為且直線過點，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長.故答案為：.例17．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】記兩個切點為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標準方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點：直線和圓的位置關(guān)系.例18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為．【答案】20【解析】設(shè)圓心到AC，BD的距離分別為m，n．因為AC，BD相互垂直，所以，由垂徑定理得，則，由，得，當且僅當時等號成立，故．故答案為：20變式21．（2024·全國·高三專題練習）過定點作兩條相互垂直的直線、，設(shè)原點到直線、的距離分別為、，則的最大值是．【答案】【解析】如圖所示：作交于點，作交于點，可得四邊形為矩形，，故可設(shè)，，其中，當取最大值1時，取最大值.故答案為：變式22．（2024·全國·高三專題練習）過點作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點，則四邊形面積的最大值為．【答案】23【解析】圓，圓心坐標，半徑，設(shè)圓心到、的距離分別為、，，則四邊形的面積為當且僅當時取等號，四邊形面積的最大值為23．故答案為：23．變式23．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為.【答案】【解析】設(shè)：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.題型七：圓的存在性問題例19．（2024·河南·河南省實驗中學?？寄M預(yù)測）已知圓和兩點，.若圓上存在點，使得，則的最大值為．【答案】11【解析】由題意可得：圓的圓心，半徑，∵，則點在以為直徑的圓上（不能是兩點），以為直徑的圓的圓心為，半徑，注意到圓心到y(tǒng)軸的距離為，即y軸與圓相離，由題意可得：圓與圓有公共點（由于y軸與圓相離，公共點不可能為），且,則，即，解得，故的最大值為11.故答案為：11.例20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知動圓的方程為，則圓心的軌跡方程為．若對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，則滿足條件的圓心的軌跡長度為．【答案】【解析】設(shè)圓心的坐標為，故①，②，①×2＋②得：，故圓心的軌跡方程為；如圖所示，取圓上一點P，要使最大，則過點P作圓O的切線，連接并延長交圓M于點，則點離圓O的距離最大，故要使得對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，則只需要過點作圓的切線，切點為，若此時即可，當時，，此時，圓心到直線的距離為，由勾股定理得：圓心的軌跡長度為.故答案為：，例21．（2024·上海普陀·高三上海市晉元高級中學?？茧A段練習）設(shè)點的坐標為，若在圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】當時，點都在圓上，易知在圓上存在點，使得.當時，要使圓上存在點使得，則的最大值大于或等于時一定存在，而當與圓相切時，取得最大值，此時，則，即，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，若直線上存在點P使得，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，因為，所以，整理得：，直線上存在點P使得等價于直線與圓有交點，所以，解得：.故答案為：.變式25．（2024·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，，．若