第59講、圓的方程（學(xué)生版）

第59講圓的方程知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．知識(shí)點(diǎn)二：基本性質(zhì)、定理與公式1、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．必考題型全歸納題型一：求圓多種方程的形式例1．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．變式1．（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．變式2．（2024·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．變式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．變式6．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．變式7．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．變式8．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】（1）求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn)．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．題型二：直線系方程和圓系方程例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0例5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．變式9．（2024·安徽銅陵·高二銅陵一中校考期中）經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為.變式10．（2024·高二校考課時(shí)練習(xí)）過兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.變式11．（2024·浙江杭州·高二?？计谀┮阎粋€(gè)圓經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.變式12．（2024·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為變式13．（2024·浙江紹興·高二統(tǒng)考期中）已知圓過直線和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上．則圓的方程為．【解題方法總結(jié)】求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線系方程為：簡記為：當(dāng)時(shí)，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．變式15．（1977·福建·高考真題）動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．變式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知圓C：.(1)若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求點(diǎn)P的軌跡方程.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足：且，．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.變式21．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

變式22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．【解題方法總結(jié)】要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件例10．（2024·河南·高三階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例11．（2024·上海奉賢·高三?？茧A段練習(xí)）已知：圓的方程為，點(diǎn)不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（

）A．方程表示的曲線不存在B．方程表示與同心且半徑不同的圓C．方程表示與相交的圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，方程表示與相離的圓例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若圓：過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R變式27．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若，使曲線是圓，則（

）A． B． C．或 D．【解題方法總結(jié)】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷例13．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例15．（2024·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3變式28．（2024·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定變式29．（2024·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．變式30．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外【解題方法總結(jié)】在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約．題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例16．（2024·高二校考單元測試）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例17．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考開學(xué)考試）直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式31．（2024·全國·高二專題練習(xí)）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式32．（2024·高二單元測試）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式33．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┣€，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式34．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是(

)A． B． C． D．2變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式37．（2024·湖北·高三校聯(lián)考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤．題型七：與圓有關(guān)的對稱問題例19．（2024·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱，則．例20．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知圓關(guān)于直線對稱，圓交于、兩點(diǎn)，則例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的最小值是．變式38．（2024·北京·高三人大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為．變式39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的最小值是．變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．變式41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對稱，則圓與圓的位置關(guān)系為．變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓關(guān)于直線和直線都對稱，則D＋E的值為．變式43．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，.【解題方法總結(jié)】（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱（2）