第12講、函數與方程（學生版）

更多資料請+wx：gk230616進資料群下載[在此處鍵入]第12講函數與方程知識梳理一、函數的零點對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.二、方程的根與函數零點的關系方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.三、零點存在性定理如果函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.五、用二分法求函數零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【解題方法總結】函數的零點相關技巧:①若連續(xù)不斷的函數在定義域上是單調函數，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數，其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.③連續(xù)不斷的函數通過零點時，函數值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.必考題型全歸納題型一：求函數的零點或零點所在區(qū)間【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學?？寄M預測）已知函數是奇函數，且，若是函數的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【對點訓練1】（2024·吉林·通化市第一中學校校聯考模擬預測）已知是函數的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【對點訓練2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的零點依次為，則（

）A． B． C． D．【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解題總結】求函數零點的方法：（1）代數法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍【例2】（2024·山西陽泉·統考三模）函數在區(qū)間存在零點．則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）函數的一個零點在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練5】（2024·河北·高三學業(yè)考試）已知函數是R上的奇函數，若函數的零點在區(qū)間內，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練6】（2024·浙江紹興·統考二模）已知函數，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為__________.【對點訓練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學?？茧A段練習）已知函數在上有零點，則實數的取值范圍___________.【解題總結】本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知實數，滿足，，則________.【對點訓練8】（2024·新疆·校聯考二模）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【對點訓練9】（2024·天津濱海新·統考三模）已知函數，若函數在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是________．【對點訓練10】（2024·江蘇·校聯考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對點訓練11】（2024·天津北辰·統考三模）設，對任意實數x，記．若有三個零點，則實數a的取值范圍是________．【對點訓練12】（2024·廣東·統考模擬預測）已知實數m，n滿足，則___________.【解題總結】方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區(qū)間端點處函數值的正負來確定，但是要確定函數零點的個數還需要進一步研究函數在這個區(qū)間的單調性，若在給定區(qū)間上是單調的，則至多有一個零點；如果不是單調的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數的零點問題【例4】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若關于的方程有且只有三個不同的實數解，則正實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，則關于的方程有個不同實數解，則實數滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【對點訓練14】（2024·四川資陽·高三統考期末）定義在R上函數，若函數關于點對稱，且則關于x的方程()有n個不同的實數解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【解題總結】2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎實．題型五：函數的對稱問題【例5】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象上存在點P，函數g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，函數與的圖象關于直線對稱，若無零點，則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象上存在點，函數的圖象上存在點，且，關于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知函數（，為自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解題總結】題型六：函數的零點問題之分段分析法模型【例6】（2024·浙江寧波·高三統考期末）若函數至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練19】（2024·湖北·高三校聯考期中）設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【對點訓練20】（2024·福建廈門·廈門外國語學校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€，使得方程成立．則實數的取值范圍為A． B． C． D．【對點訓練21】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結】分類討論數學思想方法題型七：唯一零點求值問題【例7】（2024·全國·高三專題練習）已知函數有唯一零點，則實數（

）A．1 B． C．2 D．【對點訓練22】（2024·全國·高三專題練習）已知函數有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【對點訓練23】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【對點訓練24】（2024·全國·高三專題練習）已知函數有唯一零點，則負實數A． B． C． D．或【解題總結】利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.（2）分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.（3）轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.題型八：分段函數的零點問題【例8】（2024·天津南開·高三南開中學?？计谀┮阎瘮?，若函數有兩個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練25】（2024·全國·高三專題練習）已知，函數恰有3個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練26】（2024·陜西西安·高三統考期末）已知函數，若函數，則函數的零點個數為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【對點訓練27】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若函數在內恰有5個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結】已知函數零點個數(方程根的個數)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.題型九：零點嵌套問題【例9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【對點訓練28】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【對點訓練29】（2024·遼寧·校聯考二模）已知函數有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【對點訓練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）設定義在R上的函數滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【解題總結】解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.題型十：等高線問題【例10】（2024·全國·高三專題練習）設函數①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數只能是1，2，3，6四個結論中，正確的結論個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學?？茧A段練習）已知函數，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝，若互不相等的實數x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【解題總結】數形結合數學思想方法題型十一：二分法【例11】（2024·遼寧大連·統考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【對點訓練34】（2024·全國·高三專題練習）函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【對