第60講、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（教師版）

②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點(diǎn)的切線方程是；過圓上一點(diǎn)的切線方程是．題型四：切點(diǎn)弦問題例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點(diǎn)作圓：得兩條切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形面積最小時(shí)直線方程為.【答案】【解析】如圖，由題可知，，由對(duì)稱性可知，所以求四邊形的最小面積即求的最小值設(shè)，，則當(dāng)，即時(shí)，，四邊形的最小面積為所以所以以為直徑的圓的方程為：則為以圓和以為直徑的圓的公共弦如圖所示兩圓方程作差得：所以直線方程為故答案為：例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，如圖所示，根據(jù)圓的切線長公式，可得，則，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，則，則.故答案為：.例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，過切點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)M在橢圓上，所以，由切點(diǎn)弦方程，所以，由于，當(dāng)時(shí)，上述不等式取等號(hào)，取得最大值3，此時(shí)面積取得最小值．故選：B.變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為，即與圓相離；設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則有，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得：，又由，則有，變形可得，則有，可得，故直線恒過定點(diǎn)，設(shè)，由于，故點(diǎn)在內(nèi)，則時(shí)，C到直線的距離最大，其最大值為,故選∶B變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心在直線上，即有，設(shè)點(diǎn)，則，故以為直徑的圓的方程為：，將和相減，即可得直線的方程，即，則直線恒過定點(diǎn)，故選：C變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)M在拋物線：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【解析】解析：如圖，連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，于是得四邊形面積為面積的2倍，從而得，即，設(shè)點(diǎn)，而，則，即，所以，即，得，所以的取值范圍為．故選BC．變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接、，圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，則，所以，，所以，，此時(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，且圓關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)、也關(guān)于軸對(duì)稱，則軸，在中，，，，則，所以，，因此，直線的方程為.故選：C.【解題方法總結(jié)】過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個(gè)取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓C：的圓心，半徑R點(diǎn)C到直線的距離為圓C上恰好存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則故選：B例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線的距離，即，解得，故選A.變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.圓可變?yōu)椋瑘A心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】到已知直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與有4個(gè)公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得的取值范圍．作出到直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為，又圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，兩條平行線與圓有4個(gè)公共點(diǎn)，即它們都與圓相交．由此可得圓的半徑，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【解題方法總結(jié)】臨界法題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓運(yùn)動(dòng)，若對(duì)任意點(diǎn)，在直線上均存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由題可知，圓心為點(diǎn)，半徑為1，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點(diǎn)到直線的距離為，所以長度的最小值為.故選：D例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長的最小值為.【答案】/【解析】由圓知圓心，半徑，因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，所以，所以，所以越小，越小，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時(shí)，，，故的周長的最小值為.故答案為：.例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線平分正方形的周長，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.

【答案】【解析】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設(shè)的中心為點(diǎn)，由可知，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，以為直徑的圓的方程為，設(shè)為圓心，可知坐標(biāo)為，當(dāng)最小時(shí)，，，三點(diǎn)共線，可知此時(shí)直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是.【答案】【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值，點(diǎn)P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為.【答案】【解析】曲線表示的是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.【答案】5【解析】由題意圓與直線相切，圓心為，半徑為，函數(shù)過定點(diǎn)如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，，四邊形OEMF為矩形，已知，，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，則四邊形ABCD的面積為：，從而：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即取等號(hào)，故四邊形ABCD的面積最大值是5，故答案為：5.變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是．【答案】【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，，，，的幾何意義表示的是點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的2倍，點(diǎn)在單位圓內(nèi)，點(diǎn)在單位圓外，則點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的最小值即為和兩點(diǎn)間距離，所求最小值為.故答案為：.變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為.【答案】【解析】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，原題意等價(jià)于取到最小值，當(dāng)直線時(shí)，，此時(shí)最小.的直線方程為：，與聯(lián)立，解得：，即，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，點(diǎn)A為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線與相切于點(diǎn)P，若，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，，連接，所以，且，所以，，所以求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點(diǎn)和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，故答案為：.變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測）若直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則|PM|的最大值為．【答案】【解析】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當(dāng)點(diǎn)在如下圖位置時(shí)，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，，因?yàn)?，為圓上兩點(diǎn)，所以點(diǎn)為過點(diǎn)的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)楸硎军c(diǎn)，到直線的距離和，表示表示點(diǎn)到直線的距離，分別過點(diǎn)作與直線垂直，垂足為，則，所以，因?yàn)?，直線過點(diǎn)，所以，所以，所以，化簡可得，即點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以，所以，所以，故答案為：.變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小值時(shí)，直線l的一般式方程是.【答案】【解析】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)垂直直線時(shí)，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校校考階段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【解析】根據(jù)題意，圓即，圓心的坐標(biāo)為，半徑，直線，即，恒過定點(diǎn)，又由圓的方程為，則點(diǎn)在圓內(nèi)，分析可得：當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，此時(shí)，則的最小值為；故答案為：.變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知分別是圓，圓上動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】3【解析】，，，，，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即.所以圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓：因?yàn)?，，所?故答案為：3變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．【答案】【解析】解法一：因?yàn)椋粤睿?，則，，故，其中，，因?yàn)?，所以，所以，故的取值范圍為．解法二：因?yàn)閳A心到直線的距離，所以圓心上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，又因?yàn)?，所以的取值范圍是．故答案為：．變?3．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點(diǎn)，若，則的最大值為.【答案】4【解析】由，得為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，且，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，表示兩點(diǎn)到直線的距離之和，兩點(diǎn)到直線的距離之和等于中點(diǎn)到直線的距離的2倍，點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)直線的距離的最大值為，所以的最大值為，所以的最大值為.故答案為：4.變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)校考期中）已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．【答案】【解析】，即，圓心為，半徑，，即最小時(shí)，面積最小.，故四邊形面積的最小值為.故答案為：變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，即．點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時(shí)最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4【答案】C【解析】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸正半軸相切于點(diǎn).設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.因?yàn)闉?，所以，即為等邊三角形，所以，即或，解得?故選：C.變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點(diǎn)為（在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的面積為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)BP為圓的一條位于AB下方的切線時(shí)滿足最大，由題意可得，不妨設(shè)，則A到BP的距離為，或（舍去）.則，此時(shí)到BP的距離為，所以的面積為故選：A變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦最大時(shí)，最大，此時(shí)弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為4，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，所以點(diǎn)到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；如圖所示，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，點(diǎn)位于時(shí)最小，位于時(shí)最大），連接，，可知，，，由勾股定理可得，故選項(xiàng)CD正確．故選：B．變式50．（2024·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)校考期末）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對(duì)定點(diǎn)、和在直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的外接圓相切時(shí)，最大．若，，是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)對(duì)線段的視角最大時(shí)，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,解得，，設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，，，的外接圓的方程為．故選：．【解題方法總結(jié)】直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．題型七：圓與圓的位置關(guān)系例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知直線，則原點(diǎn)到直線l的距離為，由直線l與圓相切，則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，因?yàn)閳A和圓外切，所以這兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由已知可得，圓心，半徑.由點(diǎn)到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因?yàn)椋?，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】C【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關(guān)系是相交.故選:C.變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因?yàn)?，所?所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設(shè)P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，因?yàn)?，所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.故選：B.變式54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】分別以為圓心，以為半徑作圓，因?yàn)椋詢蓤A外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，故選：C變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由，得點(diǎn)P在圓上，故點(diǎn)P在圓上，又點(diǎn)P在圓C上，所以，兩圓有交點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為4.故選：C.變式56．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【解析】因?yàn)閳AC1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設(shè)可知，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)等號(hào)成立．故選：D.【解題方法總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型八：兩圓的公共弦問題例22．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【解析】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方程為.【答案】【解析】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，將與作差得，整理得，即直線PQ的方程為.故答案為：.例24．（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則【答案】【解析】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.變式57．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長為．【答案】【解析】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長為.故答案為：.變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則.【答案】【解析】將圓與圓的方程相減，即得的方程為，則的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，故，故答案為：變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點(diǎn)，則.【答案】【解析】因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.【解題方法總結(jié)】兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．題型九：兩圓的公切線問題例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個(gè)滿足條件的直線l的方程：.【答案】或或（填其中一個(gè)即可）【解析】設(shè)，，連接MN，則.以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，顯然公切線的方程為.當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為，則有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切線方程為或.綜上，直線l的方程為或或.故答案為：或或例26．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個(gè)答案均可【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程