第6講、函數(shù)的概念（教師版）

[在此處鍵入]第6講函數(shù)的概念知識(shí)梳理1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．2、函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．3、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【解題方法總結(jié)】1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．必考題型全歸納題型一：函數(shù)的概念例1．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,,則，則存在時(shí)，，符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，D正確，故選：D例2．（2024·重慶·二模）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，，則，則的范圍要包含，故選：A．例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于一個(gè)，只能有唯一的與之對(duì)應(yīng)，只有D滿足要求故選：D變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè) D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)【答案】B【解析】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，故選：B.【解題方法總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷題型二：同一函數(shù)的判斷例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以定義域相同.又對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以為同一個(gè)函數(shù).故C正確；對(duì)于D：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故D錯(cuò)誤；故選：C例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于，和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【答案】D【解析】對(duì)于A：的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于B：，，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于C：的定義域?yàn)?，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于D：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，故選：D．【解題方法總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2024·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】令，可得，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.【答案】或【解析】由有意義可得，所以或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：或.例9．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【答案】【解析】由可得，即，所以，代入即，解得或（舍），則所以解得所以函數(shù)定義域?yàn)楣蚀鸢笧?變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)有，由得，故選A.【解題方法總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．題型四：抽象函數(shù)定義域例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開____【答案】【解析】令，由得：，所以，即，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在函?shù)中，，解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開______.【答案】【解析】因的定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，即的定義域?yàn)?，于是中有，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____【答案】【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故即.解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.故答案為：.變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】由解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【解題方法總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】的定義域是R，則恒成立，時(shí)，恒成立，時(shí)，則，解得，綜上，．故答案為：．例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為_________．【答案】【解析】依題可知，的解集為，所以，解得．故答案為：．例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故成立；（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)镽,得恒成立,化簡得恒成立,所以由解得:.故答案為:.【解題方法總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．題型六：函數(shù)解析式的求法例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.【解析】(1)設(shè)，，則∵∴，即，(2)∵由勾型函數(shù)的性質(zhì)可得，其值域?yàn)樗?3)由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①∴將x用替換，得，②由①②解得f(x)=3x.例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足【解析】（1）令，則，故，所以；（2）設(shè)，因?yàn)椋?，即，所以，解得，所以；?）因?yàn)棰?，所以②，②①得，所?例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．所以，所以函數(shù)的解析式為．方法二（配湊法）：．因?yàn)?，所以函?shù)的解析式為．（2）將代入，得，因此，解得．（3）令，得，所以，即．變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.【解析】由，令，則，所以，所以.變式8．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為______.【答案】【解析】中，令，解得，令得，故，不妨設(shè)，滿足要求.故答案為：變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_______．【答案】．【解析】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意都有，令，則，在上式中令，則，解得，故，由得，即，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即和，則方程的解集為．故答案為：.【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．題型七：函數(shù)值域的求解例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【解析】（1）分式函數(shù)，定義域?yàn)椋剩?，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，分母，則，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，令得，易見函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時(shí)是遞減的，故時(shí)，故值域?yàn)?；?），故值域?yàn)榍遥唬?），而，，，，即，故值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)?，令，所以，所以，?duì)稱軸方程為，所以時(shí)，函數(shù)，故值域?yàn)椋唬?）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域?yàn)?；?）函數(shù)，定義域?yàn)?，，故，即值域?yàn)?；?）函數(shù)，定義域?yàn)?，故，所有，故值域?yàn)?；?0）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時(shí)，，故值域?yàn)?例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)開_．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以函數(shù)的值域?yàn)?，則的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____【答案】【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，即的值域?yàn)?故答案為：.變式10．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.【答案】/【解析】因?yàn)?，令，則，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】由有意義可得，所以，的定義域?yàn)?，，設(shè)，則，，則.故答案為：．【解題方法總結(jié)】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲担瑥亩蟪龊瘮?shù)的值域．題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考