直線與圓的方程20類題型匯 總（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)直線與圓的方程20類題型匯總TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識點梳理模塊一：直線方程【題型1】求直線方程【題型2】由兩直線的平行垂直關(guān)系求參數(shù)（易錯）【題型3】三角形的三線問題【題型4】直線與已知線段相交求斜率范圍本號資料全*部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第六感【題型5】光的反射問題模塊二直線與圓【題型6】求圓的方程【題型7】圓的切線性質(zhì)以及求切線方程【題型8】已知直線方程求弦長和已知弦長求直線方程【題型9】直線與圓的位置關(guān)系【題型10】圓與圓的位置關(guān)系：公切線，公共弦【題型11】直線與圓的綜合問題【題型12】與基本不等式結(jié)合，乘“1”法求最值【題型13】阿波羅尼斯圓【題型14】直線與圓的雙切線模型模塊三：直線與圓的最值問題【題型15】定點到含參直線距離最短問題【題型16】過定點的弦長最短【題型17】點圓型最值【題型18】直線與圓上的點距離最值【題型19】由直線與圓心的距離求參數(shù)的范圍【題型20】三角換元求最值知識點梳理一、直線的5種方程斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當時，記為）垂直k1·k2=-1（當時，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當時，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當時，記為）二、兩點關(guān)于某直線對稱三、其它公式兩點距離公式：斜率的2個公式：點到直線距離公式：四、阿波羅尼斯圓定義：已知平面上兩點A，B，則所有滿足，的動點P的軌跡是一個以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓模塊一：直線方程【題型1】求直線方程（2023上·廣東深圳·高二翠園中學(xué)?？计谥校┻^點且在軸，軸上截距相等的直線方程為【答案】和【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.【詳解】當直線經(jīng)過原點時，此時直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當直線在軸，軸均不為0時，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為（2023上·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為.【答案】【詳解】因為直線與直線和的交點分別為，設(shè)，因為點是線段的中點，由中點公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形滿足.(1)求直線的方程；(2)求點的坐標.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由圖知，則直線的傾斜角為，直線的斜率，點，所以直線的方程為，即.（2）因為，則直線的方程為，而，則直線的傾斜角為，斜率，直線的方程為，由解得，即點，又，則有直線斜率，因此直線的方程為，即，由解得，即點【題型2】由兩直線的平行垂直關(guān)系求參數(shù)（易錯）本號資料全部來源于微信#公眾號：#數(shù)學(xué)第六感若直線和直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由題知兩直線平行，直接列出()即可求得【詳解】直線和直線平行，可得，得.（多選）已知直線，直線，則下列命題正確的有（

）A．直線恒過點B．直線的方向向量為，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個驗證直線過的定點、方向向量和垂直平行所需的條件.本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六#感【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項錯誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當時，與重合，C選項錯誤；若，則有，即，D選項正確【題型3】三角形的三線問題（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（

）A．邊BC與直線平行B．邊BC上的高所在的直線的方程為C．過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為D．過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)【答案】BD【分析】由直線斜率判斷A，求出相應(yīng)的直線方程判斷BC，求出邊中點坐標判斷D．【詳解】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為，過原點時方程為，C錯；過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點，坐標為，D正確【題型4】直線與已知線段相交求斜率范圍（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：設(shè)直線交線段于點，設(shè)直線的斜率為，且，，當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.已知點，.若直線與線段AB恒相交，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由直線方程，令，解得，故直線過定點，如下圖：則直線的斜率，直線的斜率，由圖可知：.【題型5】點，直線的對稱，光的反射相關(guān)問題匯總直線l:x+2y?1=0關(guān)于點(1,?1)對稱的直線l'的方程為（

A．2x?y?5=0 B．x+2y?3=0 C．x+2y+3=0 D．2x?y?1=0【解題思路】根據(jù)直線關(guān)于直線外一點(1,?1)的對稱直線互相平行可知其斜率，再取l上一點求其關(guān)于點(1,?1)的對稱點，即可求出l'的方程【解答過程】由題意得l'//l，故設(shè)在l上取點A(1,0)，則點A(1,0)關(guān)于點(1,?1)的對稱點是A'所以1+2×(?2)+c=0，即c=3，故直線l'的方程為x+2y+3=0點P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對稱點Q的坐標為（

A．?3,5 B．?1,?4 C．4,1 D．2,3【解題思路】利用中點和斜率來求得Q點坐標.【解答過程】設(shè)點P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對稱點的坐標為a,b則b?0a?2×1=?1a+22?b2直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對稱的直線方程為（

）A．2x+3y?4=0 B．2x?3y+4=0C．2x?3y?4=0 D．3x+2y?4=0【解題思路】利用對稱性質(zhì)可得原直線上的點關(guān)于y軸的對稱點，代入對稱點，即可得到答案.【解答過程】設(shè)點Px,y是所求直線上任意一點，則P關(guān)于y軸的對稱點為P?x,y，且在直線2x+3y+4=0上，代入可得?2x+3y+4=0，即一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0 C．3x+y+4?23=0 【解題思路】根據(jù)對稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點A'2,?4【解答過程】點A2,4關(guān)于x軸的對稱點為A又反射光線傾斜角為180°?60°=∴反射光線所在直線方程為：y+4=?3x?2，即唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為B3,4，若將軍從點A?2,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y=x，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

A．5 B．35 C．4 D．【解題思路】求出點A關(guān)于直線y=x的對稱點A'的坐標，數(shù)形結(jié)合可得出“將軍飲馬”的最短總路程為A'【解答過程】點A?2,0關(guān)于直線y=x的對稱點為A在直線y=x上任取一點M，由對稱性可知AM=A所以，AM+BM當且僅當點M為線段A'M與直線故“將軍飲馬”的最短總路程為35點P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對稱點Q的坐標為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【解題思路】根據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感【解答過程】設(shè)點P(2,0)關(guān)于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為(a,b)，則{b?0a?2×(?1)=?1a+22+求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項.【解答過程】設(shè)對稱直線方程為x+2y+c=0，1+11+22=c?11+所以所求直線方程為x+2y+3=0.一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點P?4,8和Q?3,6，然后被直線y=x?3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y?3=0 B．2x+y?15=0本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感C．x?2y?5=0 D．x+2y+3=0【解題思路】首先根據(jù)兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線y=x?3的交點，再根據(jù)反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，結(jié)合點關(guān)于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.【解答過程】入射光線所在的直線方程為y?68?6=x?聯(lián)立方程組x?y?3=0,2x+y=0,解得x=1,y=?2,即入射點的坐標為設(shè)P關(guān)于直線y=x?3對稱的點為P'則a?42?b+82?3=0,因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和P'點，所以反射光線所在直線的斜率為?7?所以反射光線所在的直線方程為y+2=?12x?1“將軍飲馬”問題，在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．1453 B．37 C．1353 D【解題思路】先求點B(?2,0)關(guān)于直線x+y=4對稱的點C(a,b)，再根據(jù)兩點之間線段最短，即可得解.【解答過程】如圖，設(shè)B(?2,0)關(guān)于直線x+y=4對稱的點為C(a,b)，則有a?22+b2=4b依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為AC，此時AC=已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C，根據(jù)方向向量的直線斜率為，結(jié)合反射的性質(zhì)可得，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線，，且.(1)求與之間的距離；(2)一束光線從出發(fā)經(jīng)反射后平行于軸射出，求入射光線所在的直線方程.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由可得：，解得：或當時，，，此時與重合，舍去當時，，，此時，符合題意故與之間的距離為.（2）設(shè)關(guān)于的對稱點為，則解得：，∴聯(lián)立，解得：，∴入射點為.故入射光線所在的直線方程為，即模塊二直線與圓【題型6】求圓的方程矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，所在直線的方程為.(1)求邊所在直線的方程；(2)求經(jīng)過，，三點的圓的方程.【答案】(1),(2)【詳解】（1）由，得，則，因為矩形ABCD兩條對角線相交于M，所以C與A關(guān)于點M對稱，設(shè)，所以，得，則，因為邊所在直線的方程為，斜率為，與垂直，所以直線的斜率為，則邊所在直線的方程為，即；（2）由，解得，故點的坐標為，設(shè)所求圓的方程為，且，則，得，則所求圓的方程為：（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知：圓過點，，，是直線上的任意一點，直線與圓交于、兩點.（1）求圓的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為，依題意可得，．所以圓的方程為：．（2）聯(lián)立或，不妨設(shè)，，則，∴．故的最小值為（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，．(1)求線段的垂直平分線的直線方程；(2)若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點，求該圓的方程．【答案】(1),(2)【詳解】（1）因為，，所以的中點為，斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，即的直線方程為，化簡得.（2）聯(lián)立解得，，即圓心為，所以圓的半徑，所以所求圓的標準方程為（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，.(1)求直線BC的方程；(2)求的外接圓M的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）過點作軸，垂足為，由題意可得：，則，故點，延長交軸于點，由題意可得：，則為等邊三角形，可得，即點，則直線的斜率，所以直線BC的方程為，即.（2）由（1）可得：，設(shè)的外接圓M的方程為，則，解得，故的外接圓M的方程為，即.（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，已知圓C的圓心在上，且圓C與x軸相切，直線，．(1)若直線與圓C相切，求a的值；(2)若直線與圓C相交于A，B兩點，將圓C分成的兩段弧的弧長之比為，且，求圓C的方程．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）由題意設(shè)圓心，，分析可得，且，進而求解即可；（2）結(jié)合題設(shè)和圓的性質(zhì)可得圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，進而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，進而結(jié)合斜率關(guān)系列出方程求解即可.【詳解】（1）因為圓心C在直線l上，可設(shè)圓心，．因為圓C與x軸相切，所以，又因為直線與圓C相切，所以，即，解得.（2）因為A，B把圓C分成的兩段弧長之比為，所以弦AB所對劣弧圓心角為，所以圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，則，即，解得或，又因為，所以AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，所以，當時，，圓C方程為；當時，，圓C方程為.綜上所述，圓C方程為或.

（2023上·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┮阎獔A的圓心坐標為，且圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于兩點，點為的中點.(1)求圓的標準方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用點到直線距離公式求出圓C的半徑；（2）求出點P的運動軌跡，再確定的最大值.【詳解】（1）由題意知點到直線的距離為，也是圓C的半徑，本號資料全部*來源于微#信公眾號：數(shù)學(xué)第六感圓的半徑為，則圓的標準方程為；（2）依題意作上圖，為弦的中點，由垂徑定理知：，又過定點A，點的軌跡為以為直徑的圓，圓心為A，C的中點，半徑為，；

綜上，圓的標準方程為，的最大值為已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)中點坐標公式可得，代入圓的方程，整理即可得到的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，則由已知可得.又是線段的中點，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的軌跡方程是.已知直線與圓交于A，B兩點，.(1)求實數(shù)a的值；(2)若點P在圓C上運動，O為坐標原點，動點M滿足，求動點M的軌跡方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意得圓心到直線的距離，再列式求解即可.（2）設(shè)，，由可得，結(jié)合點在圓上，即可得動點的軌跡方程．【詳解】（1）圓，即，，則圓心，半徑，記為圓心到直線的距離，由，得，而，因此，所以.（2）設(shè)，，由，得，解得，由點在圓上，得，于是，所以動點的軌跡方程為.

已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；（2）設(shè)點，，由得，代入圓的方程即得解.【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為【題型7】圓的切線性質(zhì)以及求切線方程（多選）過點作圓：的切線，切點分別為，則下列說法正確的是（

）A．B．四邊形的外接圓方程為C．直線方程為D．三角形的面積為【答案】BCD【詳解】對于，由題意可得：，由勾股定理可得，，故選項錯誤；對于，由題意知，，則為所求圓的直徑，所以線段的中點為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為，故選項正確；對于，由題意，其中一個切點的坐標為，不妨設(shè)為點，則，又，所以，所以直線的方程為，故選項正確；對于，因為，且直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點坐標為，則，，故的面積為，所以的面積為，故選項正確（2023上·高二華中師大一附中期末）（多選）設(shè)圓，直線為上的動點，過點作圓的兩條切線，切點為為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形的最大值為C．滿足的點有兩個D．的面積最大值為【答案】AC【詳解】圓心到直線的距離，所以，因為圓的半徑為，根據(jù)切線長公式可得，當時取得等號，所以的取值范圍為，A正確；因為，所以四邊形的面積等于，四邊形的最小值為，故B錯誤；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因為，整理得，則有，所以滿足條件的點有兩個，C正確；因為所以當，即，面積有最大值為，此時四邊形為正方形，則，滿足要求，故D錯誤（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)過點作圓的切線，求該切線的方程.【答案】(1)，(2)或.【詳解】（1）由題意，，圓心在線段的垂直平分線，即上.由，解得，即，從而，所以圓的標準方程為.（2）i.當切線的斜率不存在時，即，滿足題意；ii.當切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，則，解得，所以切線方程為.綜上所述，該切線方程為或.【題型8】已知直線方程求弦長和已知弦長求直線方程（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，△ABC的三個頂點坐標分別為，，．(1)求BC邊上的中線AD的所在直線方程；(2)求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）∵，∴BC邊的中點D的坐標為，∴中線AD的斜率為，∴中線AD的直線方程為：，即（2）設(shè)△ABC的外接圓O的方程為，∵A、B、C三點在圓上，∴解得：∴外接圓O的方程為，即，其中圓心O為，半徑,又圓心O到直線l的距離為,∴被截得的弦長的一半為（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓.(1)判斷與的位置關(guān)系；(2)若過點的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.【答案】(1)外切，(2)或【分析】（1）計算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直線驗證即可；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用勾股定理結(jié)合點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為，所以圓與圓外切.（2）解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為，由題意可得，即，解得或，經(jīng)檢驗，或均符合題意.所以直線的方程為或（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過和兩點．(1)求圓的方程；(2)過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的斜率．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)出圓的方程，代入已知點，列方程組求解即可；（2）設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線的斜率.本號資料全部*來源于微信公眾號：*數(shù)學(xué)第六感【詳解】（1）由圓的圓心在軸上，設(shè)圓的方程為，，解得，所以圓的方程為；（2）由（1）得圓的標準方程為，圓心，半徑，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感直線被圓截得的弦長為，則，解得或.【題型9】直線與圓的位置關(guān)系（2023上·廣東深圳·高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹫A上到直線的距離為1的點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】C【詳解】化為，得圓心坐標為，半徑為圓心到直線的距離直線與圓相交.注意到，可知圓上有3個點到直線的距離為1.（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知點在圓：上，直線，則（

）A．直線與圓相交 B．直線與圓相離本號資#料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感C．點到直線距離最大值為 D．點到直線距離最小值為#本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【答案】BC【詳解】解：圓：，即，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，又點在圓上，所以點到直線距離最大值為，點到直線距離最小值為，故正確的有B、C（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1，請寫出滿足上述條件的一條直線方程.（寫出一個正確答案即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】圓的圓心為，半徑為2，若要使圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離應(yīng)該為1，則直線可以為：，此時由圓得圓心為：，半徑為2，則如圖所示：由圖可知圓上只有點到直線的距離為1，故答案為：（答案不唯一）.（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知圓被直線所截得的兩段圓弧的弧長之比為，且圓上恰有三個不同的點到直線的距離為，則直線被圓所截得的弦長為.【答案】【詳解】設(shè)圓的半徑為，因為圓被直線所截得的兩段圓弧的弧長之比為，則劣弧所對的圓心角為，所以，圓心到直線的距離為，將直線平移，使得平移后的直線與直線之間的距離為，如下圖所示：假設(shè)平移后的直線為、，則這兩條直線一條與圓相切，一條與圓相交，不妨設(shè)直線與圓相切，則直線與之間的距離為，可得，所以，直線截圓所得弦長為.（2023·湖南·衡陽市八中高二期末）已知圓的圓心為，且有一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，若直線與交于兩點，，則實數(shù)．【答案】或【詳解】圓的一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，該圓一定過原點，半徑為，又圓心為，故圓的方程為圓心到直線的距離為即，解得或．（2023上·浙江臺州·高二期末）從①②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答該題．①經(jīng)過點；②圓心C在直線上．已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點，且___________．(1)求該圓的標準方程；(2)若過點的直線與該圓有交點，求直線的斜率的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，，(2)【詳解】（1）若選①：令圓方程為，則，解得．圓方程為，標準方程為．若選②：圓過，，中點為，則垂直平分線為，即，故圓心在上，又知圓心在直線上，，解得圓心．可得半徑為，圓的標準方程為．（2）因為直線l與圓有交點，所以圓心到直線l的距離小于等于半徑．當直線l的斜率不存在時，不符合題意，當直線l的斜率存在時，令直線，即．圓心到直線的距離，解得所以直線l的斜率取值范圍為．已知圓心為，且經(jīng)過點的圓.(1)求此圓C的方程；(2)直線與圓相交于、兩點.若為等邊三角形，求直線的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】（1）因為圓心為，所以圓的方程設(shè)為，該圓過，所以有，所以圓C的方程為；（2）由（1）可知該圓的半徑為因為為等邊三角形，且邊長為，所以該等邊三角形的高為，所以圓心到直線的距離為，即，所以直線的方程為或【題型10】圓與圓的位置關(guān)系：公切線，公共弦（2023上·浙江臺州·高二期末）已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為．【答案】【分析】利用兩圓相減即可得出兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】依題意，①②①②得：，故公共弦方程為：設(shè)圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷出兩圓的位置關(guān)系，從而得解．【詳解】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線（長沙雅禮中學(xué)月考）（多選）圓和圓的交點為A，B，則有（

）A．公共弦AB所在直線方程為B．公共弦AB的長為C．線段AB中垂線方程為D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為【答案】AC【分析】A選項，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；B選項，求出一個圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計算即可；C選項，線段AB的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點斜式求解即可；D選項，求出到公共弦的距離，加上半徑即可求出最值.【詳解】因為圓：和圓：的交點為A，B，作差得，所以圓與圓的公共弦AB所在的直線方程為，故A正確；因為圓心，，所在直線斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，即，故C正確；圓：的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以P到直線AB的距離的最大值為，圓與圓的公共弦AB的長為，故B,D錯誤（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知圓，寫出滿足條件“過點且與圓相外切”的一個圓的標準方程為.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)滿足條件的圓的標準方程為（），由點在圓上及外切關(guān)系可得方程組，化簡取值即可得其中一個符合的結(jié)果.【詳解】設(shè)滿足條件的圓的標準方程為（），則有，即，兩式相減化簡得.不妨取，則，故滿足條件的圓的標準方程為【題型11】直線與圓的綜合問題（2023上·廣東深圳·高二校考期末）已知圓C：，直線l：，則下列說法正確的是（

）A．當時，直線的傾斜角為B．當時，直線與圓相交所得弦長為C．圓與圓：相外切D．當，時，過直線上任意一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則弦長度的最小值為【答案】ACD【詳解】因為圓：，化為標準方程：.對于，當時，直線l：可化為，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選項正確；對于，當時，直線的方程為：，圓心到直線的距離，由垂徑定理可得：弦長為，故選項錯誤；對于，圓與圓的圓心距，因為，所以兩圓相外切，故選項正確；對于，當，時，直線的方程為：，設(shè)直線上任意一點，過圓外一點引圓的切線，設(shè)切點坐標為，因為，所以切點的軌跡是以的中點為圓心，以為直徑的圓上，因為，，所以切點的軌跡方程為：，也即，又因為圓：，兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程，，則圓心到直線的距離，由垂徑定理可知：，要使弦長度最小，則最大，當時，取最大值，此時弦長，故選項正確（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）（多選）設(shè)為實數(shù)，若方程表示圓，則（

）A．B．該圓必過定點C．若直線被該圓截得的弦長為2，則或D．當時，該圓上的點到直線的距離的最小值為【答案】BCD【詳解】對A，，由方程表示圓，則有，A錯；對B，將代入方程，符合，B對；對C，圓心為，則圓心到直線的距離為，故直線被該圓截得的弦長為或，C對；對D，，則圓半徑為1，圓心到直線的距離為，故該圓上的點到直線的距離的最小值為，D對在平面直角坐標系中，已知圓，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，已知直線關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根據(jù)題目意思畫出圖像，結(jié)合圖像和條件關(guān)于直線對稱得到，再求出，最后根據(jù)二倍角公式求解即可.【詳解】如圖所示，，設(shè)直線分別交軸于點，連接，因為是圓的兩條切線，所以≌，所以，又因為直線關(guān)于直線對稱，所以，所以，即，所以為點到直線的距離，即，又且，所以，所以，所以【題型12】與基本不等式結(jié)合，乘“1”法求最值（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若直線（，）平分圓，則的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】直線平分圓，得到a,b關(guān)系，再根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】解：直線平分圓，則直線過圓心，即，所以(當且僅當時，取等號)若直線（，）平分圓，則的最小值是________【答案】2【詳解】由題意可知，直線過圓過圓心，即，所以，即a=2b時，等號成立，的最小值是2．【題型13】阿波羅尼斯圓（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知，，為平面內(nèi)的一個動點，且滿足，求點的軌跡方程.【答案】(1),(2)【分析】(1)首先設(shè)點，利用兩點間距離表示，化簡求軌跡方程；【詳解】（1）由題意可設(shè)點的坐標為，由及兩點間的距離公式可得，整理得.（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點距離之比是常數(shù)的點的軌跡是圓.若兩定點，動點滿足，點的軌跡圍成區(qū)域的面積為，面積的最大值為.【答案】【分析】設(shè)出，利用兩點間距離公式列出方程，求出的軌跡方程，從而得到的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，求出點的軌跡圍成區(qū)域的面積，數(shù)形結(jié)合得到點到軸的距離的最大值，從而求出面積的最大值.本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學(xué)*第六感【詳解】設(shè)，則，，化簡得：，的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡圍成區(qū)域的面積為；設(shè)點到軸的距離為，則，故面積的最大值為.兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立坐標系，由題意可得點M的軌跡方程，進而可得M點的軌跡長．【詳解】以點A為坐標原點，直線AB為x軸，建立直角坐標系，如圖，

則，設(shè)點，由，得，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點的軌跡長為.已知平面內(nèi)兩定點，，點滿足，則動點的軌跡方程為；若平面內(nèi)兩動點，（）滿足，則的最大值為.【答案】【分析】設(shè)，用兩點間距離公式表示，化簡可得動點的軌跡方程；使用向量垂直表示，由幾何意義求解的最大值即可.【詳解】設(shè)動點，則，，∵點滿足，∴，化簡，整理得.∴動點的軌跡方程為.若平面內(nèi)兩動點，（）滿足，則，∴，，∴，∴，∵，∴，∴的幾何意義為點到原點的距離，∵動點的軌跡為圓心為，半徑為的圓，∴如圖，當點位于處時，到原點距離最大值為，即的最大值為.故答案為：，.（2023上·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，，，P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線上的動點，拋物線C的焦點為F，則的最小值為．【答案】2【分析】設(shè)點坐標，根據(jù)題意寫出關(guān)于與的關(guān)系式化簡即可；利用拋物線的定義可知等于Q到拋物線準線的距離，進而轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，即可求得.【詳解】設(shè)，則，即，化簡得．②拋物線的準線為，因為等于Q到拋物線準線的距離，所以的最小值轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，又P是阿氏圓上的任一點，所以點到準線的距離的最小，最小值為2．本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感即的最小值為2.故答案為：①；②2故直線過定點，點到直線的距離最大值為，D正確.已知N為拋物線上的任意一點，M為圓上的一點，，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，由圖中幾何關(guān)系取線段中點，中點，連接，可證得所以，即，可得，即可將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)當、、三點不共線時，，當、、三點共線時，，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值即為的最小值，再根據(jù)兩點間距離公式求出的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對稱，且圓的圓心坐標為，半徑為.因為，圓下方與軸交點坐標為，取線段中點，中點，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因為、分別為和的中點，所以，，所以，又因為，，所以，所以，因為，所以，所以，當且僅當、、三點共線時取到等號，此時點為線段與圓的交點.本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感所以的最小值即為的最小值.因為N為拋物線上的任意一點，設(shè)，，因為，則，當時，，即的最小值為【題型14】直線與圓的雙切線模型已知直線與圓，過直線上的任意一點作圓的切線，切點分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由題意可知，當點到圓心的距離最小時，最大.利用點到直線距離公式.【詳解】由題意可知，當點到圓心的距離最小時，最大.圓心原點到直線的距離為.所以點到圓心的距離最小值為.所以，的最大值為.（2023四川外國語附屬學(xué)校月考）已知是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，當直線AB與l平行時，（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)跟定條件，利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合面積法求解作答.【詳解】

連接，由切圓于A，B知，，因為直線AB與l平行，則，，而圓半徑為1，于是，由四邊形面積，得，所以.過直線上的點P作圓的兩條切線，，當直線，關(guān)于直線對稱時，兩切點間的距離為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】由兩條切線關(guān)于直線對稱，可確定與直線互相垂直，即可求得得長，再結(jié)合直角三角函數(shù)和垂徑定理，即可求解.【詳解】依題意，設(shè)兩切點分別為、，并連接交于點，作出示意圖：

當直線，關(guān)于直線對稱時，則兩條直線，與直線的夾角相等，且與直線互相垂直，的長為圓心到直線的距離，即，又圓的半徑，在中，，故，結(jié)合垂徑定理得，即兩切點間的距離為（多選）已知圓，過直線上一點P作圓O的兩條切線，切點分別為，則（

）A．若點，則直線AB的方程為B．面積的最小值為C．直線AB過定點D．以線段AB為直徑的圓可能不經(jīng)過點O【答案】ABCD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)、三角形的面積、直線過定點、圓的方程等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，則直線的方程為，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，即，由，兩式相減得，所以A選項正確.

B選項，到直線的距離為，而，所以的最小值為，所以三角形面積的最小值為，所以B選項正確.

C選項，設(shè)，，線段的中點坐標為，所以以為直徑的圓的方程為，，由，兩式相減得，由，解得，所以直線過定點，C選項正確.D選項，由A選項，由，解得或，即，，即此時以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點，D選項正確.故選：ABCD21．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知圓：，過直線：上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A．若點，則直線的方程為B．面積的最小值為C．直線過定點D．以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點【答案】BCD【分析】對A：計算出過、、三點的圓的方程，再兩圓方程相減即可得到；對B：當最小時，的面積會有最小值；對C：設(shè)出點坐標，再計算出直線的方程，求定點即可得到；對D：可尋找特殊點，如A選項中，計算發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過點即可得到.【詳解】A選項，若，則直線的方程為，，以P為圓心，4為半徑的圓的方程為，即，

由，兩式相減得，，故A錯誤；B選項，到直線：的距離為，而，所以的最小值為，所以面積的最小值為，故B正確；C選項，設(shè)，，線段的中點坐標為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得：，由，兩式相減得，即，由，解得，所以直線過定點，故C正確；D選項，由A選項，由，解得或,即，，，即此時以線段為直徑的圓不經(jīng)過點，故D正確．22．（2023上·河南·高二漯河高中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知圓O：，過點M作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且直線恒過定點，則（

）A．點M的軌跡方程為B．的最小值為C．圓O上的點到直線AB的距離的最大值為D．【答案】CD【分析】設(shè)，以O(shè)M為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程求直線的方程，進而確定M的軌跡方程，由直線所過定點、圓的性質(zhì)求最短弦長、圓上點到直線距離的最大值，討論M的位置，結(jié)合圓的切線性質(zhì)研究角的范圍.【詳解】設(shè)，以O(shè)M為直徑的圓的方程為，化簡得，與聯(lián)立，本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)學(xué)第#六感兩式相減得：直線的方程為．直線恒過定點，所以M的軌跡方程為，即，A錯誤．因為，即時弦長最小，所以，B錯誤．因為直線恒過定點，所以圓O上點到直線距離的最大值為，C正確．如圖，圓心O到直線的距離為，記l：，當M運動到時，，，則．當M位于直線l其他位置時，，，，則．綜上，，D正確．

已知直線l：x+y-6=0，過直線上一點P作圓x2+y2=4的切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB面積的最小值為，此時四邊形PAOB外接圓的方程為．【答案】2（x-）2+（y-）2=【分析】求出O到直線l的最短距離即可得出四邊形的最小面積，求出此時P的坐標，得出OP的中點坐標，從而得出外接圓方程．【詳解】圓x2+y2=4的半徑為2，圓心為（0，0），由切線性質(zhì)可知OA⊥AP，，又△OAP的面積，∴當OP取得最小值時，△OAP的面積取得最小值，本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感又OP的最小值為O到直線l的距離d=3．∴四邊形PAOB面積的最小值為：．此時，四邊形PAOB外接圓直徑為d=3．∵OP⊥直線l，∴直線OP的方程為x-y=0．聯(lián)立方程組，解得P（3，3），∴OP的中點為，∴四邊形PAOB外接圓的方程為（x-）2+（y-）2=．故答案為，（x-）2+（y-）2=．41．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）已知直線l：與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為C，D兩點，則直線CD恒過定點坐標為；記M是CD的中點，則的最小值為.【答案】【分析】利用圓的性質(zhì)，結(jié)合圖像，把問題轉(zhuǎn)化為跟圓有關(guān)的最值問題進行處理.【詳解】由題意設(shè)點，，，因為，是圓的切線，所以，，所以在以為直徑的圓上，其圓的方程為:，又在圓上，將兩個圓的方程作差得直線的方程為：，即，所以直線恒過定點，又因為，，，，四點共線，所以，即在以為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，如圖所示:所以，所以的最小值為.模塊三：直線與圓的最值問題【題型15】定點到含參直線距離最短問題點到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因為點到直線距離；要求距離的最大值，故需；，當且僅當時等號成立，可得，當時等號成立．方法二：由可知，直線過定點，記，則點到直線距離．點M2,1到直線l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 D【解題思路】由題意，求得直線所過定點，由兩點之間距離公式，可得答案.【解答過程】由直線l:2λ+1x+1?λ令2x?y=0x+y+3=0，解得x=?1點M2,1到直線l距離的最大值為點M2,1到定點?1,?2的距離，則【題型16】過定點的弦長最短（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當弦AB最短時直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線方程，求所過定點，探究弦在垂直時取的最短，結(jié)合垂直直線斜率乘積為，由點斜式方程，可得答案.【詳解】由，，則令，解得，故直線過定點，由，則圓心，半徑，當時，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，故直線為，則若直線與圓分別交于M、N兩點.則弦MN長的最小值為.【答案】4【詳解】由圓可得圓心，半徑為3，直線，即，直線過定點P，又因為，所以點在圓的內(nèi)部，當圓心到直線MN距離最大時，弦長MN最小，此時，此時已知直線：和圓C：.(1)直線恒過一定點M，求出點M坐標；(2)當m為何值時，直線被圓C所截得的弦長最短，求出弦長.【答案】(1)(2)當時，直線被圓C所截得的弦長最短，弦長為【分析】（1）將直線化為，聯(lián)立，即可求解定點坐標；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)知時，直線l被圓C所截得的弦長最短，利用幾何法求解弦長即可.【詳解】（1）由得，因為，所以有，解得，所以直線l恒過一定點，即；（2）由得，所以，半徑，當時，直線l被圓C所截得的弦長最短，本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感所以有即，解得，化為，所以，所以，此時直線l的方程為即，所以點到直線l的距離，因此直線l被圓所截得的弦長最短為.直線被圓截得的最短弦長為.【答案】【分析】求出直線過定點，當時直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，因為，當時直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.

【題型17】點圓型最值設(shè)是圓上任意一點，則的最大值為A．6 B．25 C．26 D．36【答案】D【解答】解：表示圓上的點到點的距離的平方，圓的圓心，半徑為1，圓心到點的距離為，的最大值是．若直線：，：（）相交于點，過作圓的切線，切點為，則的最大值為．【答案】7【分析】根據(jù)已知確定的軌跡為，再由圓切線