等式與不等式的性質(zhì)9種常見考點(diǎn)全面練（精練56題）（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)等式與不等式的性質(zhì)9種常見考點(diǎn)全面練（精練56題）考點(diǎn)1用不等式表示不等關(guān)系1．（2023·云南昆明·一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時認(rèn)定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是.【答案】【分析】根據(jù)題目所給已知條件列出不等關(guān)系式.【詳解】依題意，.故答案為：2．（21-22高一上·浙江·期末）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的判斷用不等式表示【答案】【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)可得答案.【詳解】若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好了，用不等式表示為：，因?yàn)?，所以成?故答案為：.3．（2021·江西撫州·模擬預(yù)測）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校計(jì)劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（

）個A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個，根據(jù)題意列出不等式可分別求出范圍，即可求出.【詳解】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個，且，，，為正整數(shù)，則由題意得，，，，可得，所以，，，即至少有個.故選：B.4．（2020·河北衡水·模擬預(yù)測）我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)買大竹子，每根單價為，可得，由，解不等式組即可求解.【詳解】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價為，購買小竹子，每根單價為，所以，即，即，因?yàn)椋?，根?jù)選項(xiàng)，，所以買大竹子根，每根元.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理能力以及分析能力，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)2由已知條件判斷所給不等式是否正確5．（2024·北京·三模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，正切函數(shù)的性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，，其中，但的符號不確定，所以A不正確；對于B中，例如，此時，所以B不正確；對于C中，由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，可得，所以C正確；對于D中，例如，此時，所以D不正確.故選：C.6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A：當(dāng)、，滿足，但是，故A錯誤；對于B：當(dāng)、，滿足，但是，故B錯誤；本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)學(xué)第六感對于C：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，若，則，故C正確對于D：當(dāng)、，滿足，但是，故D錯誤.故選：C7．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.【詳解】對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯誤；對于C，，則，C正確.故選：C8．【多選】（2024·湖南長沙·二模）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A,D項(xiàng)正確；通過舉反例可說明B,C項(xiàng)錯誤.【詳解】對于A，由和不等式性質(zhì)可得，故A正確；對于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯誤；對于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，則，又因則，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．9．【多選】（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較；對于B，舉反例判斷即可；對于C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可判斷；對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較.【詳解】設(shè)，則，在單調(diào)遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時取得最小值，即，C正確；設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以由得，即，D正確.故選：ACD10．【多選】（2024·福建廈門·三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對A、B：借助不等式的性質(zhì)即可得；對C：借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得；對D：借助基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】對A：由，則，故A正確；對B：由，則，故B錯誤；對C：由在上單調(diào)遞增，故，故C錯誤；對D：由，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選：AD.11．【多選】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則（

）本*號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】設(shè)，由對數(shù)運(yùn)算及單調(diào)性判斷ACD，特值法判斷B.【詳解】因?yàn)?，設(shè)對A，知，易知.選項(xiàng)A正確.對C，因?yàn)?，，，所以，，，于是，選項(xiàng)C正確.對D，若，則，即，則.由知.選項(xiàng)D正確.對B，取，則，由知，知，所以，即，，此時，選項(xiàng)B錯誤.故選：ACD.12．【多選】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.【分析】由，得，所以，A正確．因?yàn)?，所以，所?，所以，B正確．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，C正確．因?yàn)?，所以，D錯誤．故選：ABC．13．【多選】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，則【答案】ABD【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷A，可以得出且，結(jié)合基本不等式即可判斷B，由不等式性質(zhì)得，由此即可判斷C，由基本不等式得，進(jìn)一步注意到，由此即可判斷D.【詳解】對于A，由及，得，所以，A正確．對于B，由及，得，所以．同理可得．又，所以，所以，B正確．對于C，由及，得，所以，得，所以，得，C錯誤．對于D，由，得．由，得．因?yàn)?，所以，所以，D正確．故選：ABD．14．【多選】（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．當(dāng)最小時，【答案】BCD【分析】根據(jù)反例可判斷A的正誤，再利用不等式的基本性質(zhì)，以及基本不等式和絕對值的幾何意義可判斷BCD的正誤.【詳解】對于A中，當(dāng)時，，所以A錯誤；對于B中，由，可得，所以B正確；對于C中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以等號不成立，，所以C正確；對于D中，由的最小值，即為數(shù)軸到和的距離之和最小，當(dāng)且僅當(dāng)時最小，此時，所以D正確.故選：BCD.考點(diǎn)3利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假15．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第*#六感A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由不等式的基本性質(zhì)，賦值法逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，可以取，，，此時，所以A錯誤.對于B：∵，∴，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C：取，時，則，，，則，故C錯誤；對于D：當(dāng)，時，，，則，故D錯誤；故選：B.16．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，故A結(jié)論正確；對于B，當(dāng)時，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；對于C，因?yàn)?，所以，而函?shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；對于D，，因?yàn)椋?，所以，所以，故D結(jié)論錯誤.故選：D.17．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，若，當(dāng)時，不滿足，即A錯誤；對于B，若，則，所以B錯誤；對于C，若，可知，不等式兩邊同時除以，即，可得，即C正確；對于D，若，不妨取，則，可得D錯誤；故選：C18．【多選】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的正實(shí)數(shù)條件，利用不等式性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)的條件推理判斷ABD；令，借助輔助角公式及三角函數(shù)性質(zhì)求解判斷C.【詳解】對于A，由，得，而，則，因此，即，于是，A正確；對于B，由，得，即，又，B正確；對于C，令，則，其中銳角滿足，顯然，因此當(dāng)時，，C正確；對于D，由，得，，，當(dāng)，即時，，即，D錯誤.故選：ABC19．【多選】（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】對A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.【詳解】對A，因?yàn)椋瑒t兩邊同乘得，兩邊同乘得，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，故B錯誤；對C，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；對D，舉例，則，而，此時兩者相等，故D錯誤.故選：AC.20．【多選】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】利用舉反例和不等式得性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)為負(fù)數(shù)時A可能不成立，例如但是錯誤的.因?yàn)楦鶕?jù)不等式性質(zhì)可得正確.因?yàn)?，所以所以即所以故C錯誤.因?yàn)?，所以，所以正確.故選：BD考點(diǎn)4作差法比較代數(shù)式的大小21．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）設(shè)的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為,與的平均數(shù)為.若,則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作差法比較大小,首先將要比較的,用表示,后作差變形,運(yùn)用這個條件,判斷正負(fù)即可比較出大小.【詳解】根據(jù)題意得,,,,對于A選項(xiàng),對于B選項(xiàng),對于C選項(xiàng),對于D選項(xiàng),故選：B.22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性確定大小，通過作差，判斷正負(fù)即可確定大小即可.【詳解】設(shè)，則令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，又，得，所以，故選：A23．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，在上遞增；當(dāng)時，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.24．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】做差，利用換底公式，基本不等式，對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.【詳解】所以.故選：C.25．【多選】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合作差比較法，可判定A正確，D不正確；利用不等式的基本性質(zhì)，可得判定B正確；由基本不等式，可判定C正確.【詳解】由不等式，可得且，即，對于A中，由，所以，所以A正確；對于B中，由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，因?yàn)椋缘忍柌怀闪?，?，所以C正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以D錯誤.故選：ABC.26．（2024·北京西城·二模）在數(shù)列中，，．給出下列三個結(jié)論：①存在正整數(shù)，當(dāng)時，；②存在正整數(shù)，當(dāng)時，；③存在正整數(shù)，當(dāng)時，．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出，用差比較法可判定各選項(xiàng).【詳解】對于①：由，，可得，又，當(dāng)時，因?yàn)?，所以時，故①錯誤；對于②：，又，結(jié)合①的結(jié)論時，所以當(dāng)時，，故②正確；對于③：，，所以當(dāng)時，，所以，故③正確；故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出，根據(jù)遞推關(guān)系分析出當(dāng)時，進(jìn)而判定①，利用差比較法結(jié)合結(jié)論①可判定②③.27．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大小；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）因?yàn)?，?gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合分析判斷；（2）構(gòu)建，原題意等價于在內(nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，?gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則有：若，則，即；若，則，即；若，則，即.（2）若恒成立，則，構(gòu)建，原題意等價于在內(nèi)恒成立，則，1.若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，不符合題意；2.若，則有：（?。┤?，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；（ⅱ）若時，令，解得或，①若，即時，當(dāng)時，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，此時，不合題意；②若，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，此時，不合題意；③若，即時，則，由（1）可知：當(dāng)時，，則，可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．28．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知且.(1)若，設(shè)，比較和的大小;(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作差后因式分解即可得；（2）借助基本不等式與三元基本不等式即可得.【詳解】（1），由且，故，故；（2）由，故，又，故，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.考點(diǎn)5作商法比較代數(shù)式的大小29．【多選】（2021·廣東肇慶·一模）下列大小關(guān)系正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B，利用作差法可判斷選項(xiàng)C，利用作商法可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可知，當(dāng)時，因?yàn)椋?，選項(xiàng)A不正確；因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，即所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椋?，所以，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟悉指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，記住同一直角坐標(biāo)系中它們的圖象，當(dāng)時，另外代數(shù)式比較大小可以用作差法與0比較大小，同號的可以利用作商法與1比較大小，變形的過程很靈活，屬于?？碱}型.30．（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小，再作商比較的大小即可得解.【詳解】，，而而，因?yàn)椋?，所以，故，所?故選：B31．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意首先得，進(jìn)一步，從而我們只需要比較的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即可比較.【詳解】，所以，，又因?yàn)?，所以，?故選：B.32．（2022·廣西·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，通過求導(dǎo)可得到，再通過正數(shù)成等比數(shù)列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，故，因?yàn)檎龜?shù)成等比數(shù)列，所以即，故，所以，故，綜上所述，，故選：D33．（2020·福建泉州·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，并對選項(xiàng)化簡，轉(zhuǎn)化，判斷對錯即可.【詳解】解：選項(xiàng)A中，由于，所以成立；故A正確；選項(xiàng)B中，，，與大小不能確定，故B錯誤；選項(xiàng)C中，由于，故C錯誤；選項(xiàng)D中，令，則，故D錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.34．（2023·四川資陽·一模）已知，，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對稱函數(shù)的性質(zhì)及作差（作商）法判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，，對于A：指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故A錯誤；對于B：，，故B錯誤；對于C：顯然，，且，，，，，，故C錯誤；因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，，，故，故D正確，故選：D．35．【多選】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知,,則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】兩式平方再作差,利用基本不等式即可得大小關(guān)系,進(jìn)而得選項(xiàng)A,B正誤,兩式相除,由于,將分子分母同時除以,再利用基本不等式即可求出其范圍.【詳解】解:由題知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,因?yàn)?所以,即,故,即選項(xiàng)A錯誤,選項(xiàng)B正確;因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等,所以可得,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯誤.故選:BC36．【多選】（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由于已知得，即利用基本不等式可判斷A；由，可判斷B；令，，，可判斷C，D．【詳解】由于，且，所以，所以，且，，，A正確；因?yàn)椋矗珺正確；令，，，則，，C，D錯誤．故選；AB．【點(diǎn)睛】本題考查了比較大小，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由已知得出，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.考點(diǎn)6由不等式的性質(zhì)證明不等式37．（2023·全國·模擬預(yù)測）（1）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，求證：．（2）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）（2）根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋琣，b為正實(shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．（2）由（1），得．同理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．38．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知．證明：(1)當(dāng)時，；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合一元二次不等式的解法即可得證；（2）由，得，再結(jié)合基本不等式即可得證.【詳解】（1）證明：由，等式兩邊同時除以，得，當(dāng)時，，所以，所以，得，又，所以；（2）證明：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．39．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足．(1)若，求證：；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)不等性質(zhì)變形證明不等式；（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進(jìn)而得解.【詳解】（1）證明：由，且，得，，故，所以，所以，即；（2）解：由且，得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為．40．（2023·河北衡水·三模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+b2-ab＝3．（1）求a-b的取值范圍；（2）若ab＞0，求證：．【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）證明見解析．【解析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①當(dāng)ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②當(dāng)ab＜0時，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，利用配方法即可容易證明.【詳解】（1）因?yàn)閍2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①當(dāng)ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②當(dāng)ab＜0時，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，則0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)ab＝2時取等號，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的證明，屬于中檔題．41．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，且．（1）請給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．【答案】（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.42．（2023·河南平頂山·一模）（1）解不等式；（2）已知、，求證：【答案】(1)或或(2)見解析【詳解】試題分析：（1）把原不等式化簡為等價不等式，即可額牛街不等式的解集；（Ⅱ）由、是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差比較，即可作出證明．試題解析：（1）原不等式可化為繼續(xù)化為，其等價于．∴原不等式的解為或或．（Ⅱ）由、是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差可得：當(dāng)時，，從而，得；當(dāng)時，，從而，得；所以，．考點(diǎn)7利用不等式求值或取值范圍43．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，所以，故答案為：44．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值排除法逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)椋?，對于A，，,,綜上可得，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：D.45．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故選：D.46．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，變形求解.本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】，兩式相乘得，所以，A正確；由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯誤；因?yàn)?，所以兩式相乘得，C正確；因?yàn)?，所以兩式相乘得，D錯誤．本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)*第六感故選：AC47．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若，，，則的取值范圍為本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)，則，解得：，，則，而由，可得，再由，可得，所以，即，可得.故答案為：.48．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）新高考改革后，生物，化學(xué)，政治，地理采取賦分制度：原始分排名前的同學(xué)賦分分．若原始分的最大值為，最小值為，令為滿足，的一次函數(shù)．對于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分，賦分；小葉原始分，賦分；小林原始分，他的賦分是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由題意設(shè)，再根據(jù)賦分原理，列出和的范圍，并表示，根據(jù)不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，，，，∴，.∴賦分是或.故選：D.考點(diǎn)8糖水不等式49．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，能恰當(dāng)表示這一事實(shí)的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知：在糖水中加入糖后，糖水濃度變大了，所以糖水變甜了.【詳解】原糖水的濃度為，加入糖后糖水的濃度為，加入糖后糖水濃度變大了，所以.故選：D50．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了．將這一事實(shí)表示成一個不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】糖水變甜，表示糖的濃度變大，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】糖水變甜，表示糖的濃度變大，即.故選：B.51．【多選】（2021·江蘇·模擬預(yù)測）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】依題意得到，再根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】對于A，由題意可知，正確；對于B，因?yàn)?，所以，正確；對于C，即，錯誤；對于D，，正確.故選：ABD52．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式.本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【答案】【分析】根據(jù)題中糖水不等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行解題即可.【詳解】空1：因?yàn)椋钥傻茫?；?：由空1可得：，即.故答案為：；53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實(shí)表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；(2)在銳角中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：.【答案】(1)若，則；證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）用作差比較法即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可證明.【詳解】（1）若，則.證明：.因?yàn)?，所以，又，故，因?（2）在銳角三角形中，由（1）得，同理，.以上式子相加得.54．（22-23高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決下列生活中的兩個問題：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實(shí)表示為一個不等式，并證明這個不等式(2)甲每周都要去超市購買某種商品，已知第一周采購時價格是p1，第二周采購時價格是p2.現(xiàn)有兩種采購方案，第一種方案是每次去采購相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購用的錢數(shù)相同.哪種采購方案更經(jīng)濟(jì)，請說明理由.【答案】(1)，證明見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式，然后用作差法證明即可；（2）根據(jù)題意表示出來每種方案的平均價格，然后用作差法比較大小，即可判斷哪種方案經(jīng)濟(jì).【詳解】（1）該不等式為證明：因?yàn)?，所以，于?（2）若按第一種方案采購，每次購買量為，則兩次購買的平均價格為，若