拋物線中的?？级?jí)結(jié)論與模型【7類題型】（學(xué)生版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)拋物線中的常考二級(jí)結(jié)論與模型近兩年新高考中拋物線較多出現(xiàn)在多選題，從備考出發(fā)需要加深對(duì)拋物線常考二級(jí)結(jié)論和模型的研究，解題思路和解題步驟相對(duì)固定，在沖刺階段的教學(xué)過程中盡量淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟，研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．近3年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新高考II卷，第10題拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)拋物線解析式，焦點(diǎn)坐標(biāo)拋物線與圓2022年新高考I卷，第11題直線與拋物線的位置關(guān)系判斷直線與拋物線是否相切，距離公式與弦長(zhǎng)公式2022年新高考II卷，第10題拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)綜合含參拋物線的運(yùn)算2021年新高考I卷，第14題已知斜率，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式2020年新高考，第13題由垂直關(guān)系求拋物線的準(zhǔn)線方程利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系總覽總覽題型解讀【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用 7【題型2】聯(lián)立韋達(dá)化處理（選填?？迹?14【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型） 26【題型4】拋物線與圓 36【題型5】過焦點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線相交 42【題型6】中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法） 48【題型7】最值與范圍 53模塊一模塊一高考真題再現(xiàn)1．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形2．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）本號(hào)資料全部來#源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．4．（2020·山東·高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=．5．（2021·全國(guó)·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為.模塊二模塊二高考模擬·新題速遞【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用如圖，過拋物線焦點(diǎn)F的直角與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線與x軸夾角為θ，則較長(zhǎng)的焦半徑，較短的焦半徑，焦點(diǎn)弦，補(bǔ)充：

【證明】：別過，作x軸的垂線，垂直為H，M，易知AHTP，BMTQ為矩形在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得2024·湖南衡陽(yáng)·二模已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則．2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（

）A． B．1 C．2 D．4（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為.（多選）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．2024屆·遼寧大連統(tǒng)考（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則中點(diǎn)到軸的距離為4B．弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線C．若，則直線的斜率D．的最小值等于9(多選)如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【題型2】聯(lián)立韋達(dá)化處理（選填?？迹┮弧⒁阎本€經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)則,.二、過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式①拋物線的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，則有.②一般地，如果直線恒過定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么本號(hào)資料全部來源于微*信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感.③若恒過定點(diǎn).④以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.⑤若的中點(diǎn)為，則(梯形中位線)⑥為定值.三、一般弦長(zhǎng)設(shè)為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.（多選）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則的最大值為8B．若AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的傾斜角為C．設(shè)，則的最小值為D．若，則直線AB過定點(diǎn)2024·江蘇南通·二模設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過A的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．2024·江蘇·一模在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)在上，則的值為；的值為.2024·廣東湛江·一模（多選）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)F，則C．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D．若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為.（多選）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點(diǎn)（A在軸的上方，在軸的下方），過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為（多選）已知點(diǎn)是拋物線，直線經(jīng)過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則下面說法正確的是（

）A． B．直線的斜率是C． D．設(shè)原點(diǎn)為，則的面積為2024·福建·模擬預(yù)測(cè)（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)D，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)M在y軸上的射影為點(diǎn)N，，則（）A． B．∠ADB是銳角C．是銳角三角形 D．四邊形DFMN是菱形2024·湖南常德·三模（多選）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)B．C．若直線的斜率存在，則斜率為D．若，則（多選）已知拋物線：的的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為已知拋物線.其焦點(diǎn)為F，若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型）一、阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF⊥AB性質(zhì)2：MA⊥MB性質(zhì)3：MN∥x軸性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對(duì)于點(diǎn)A，B:①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M③過焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)④過焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對(duì)稱軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質(zhì)3】若P點(diǎn)軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則定點(diǎn).設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.【性質(zhì)5】，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交C于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點(diǎn)，若交軸于點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上 B．C． D．若，則的值為2024屆嘉興市統(tǒng)考已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，則直線的斜率．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）（多選）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦過點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點(diǎn)處的切線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值為4（多選）已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點(diǎn)，且，，若過點(diǎn)、分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點(diǎn)（多選）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當(dāng)時(shí)， D．2024屆·廣東省四校第一次聯(lián)考過向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是.（多選）已知拋物線，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點(diǎn)【題型4】拋物線與圓設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切（多選）已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切B．直線過焦點(diǎn)時(shí)，的最小值為6C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為，且，則直線過定點(diǎn)D．與拋物線分別相切于兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，若直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長(zhǎng)的最小值為.C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.D．過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.【題型5】過焦點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線相交一、結(jié)合銳角三角函數(shù)與相似二、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F作斜率為的直線分別交拋物線C和準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，Q，若點(diǎn)P在第一象限，則.（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù).過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若，則已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則．本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)*：數(shù)#學(xué)第六感（2023·廣東茂名·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則，．

【題型6】中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則證明：設(shè),,代入拋物線方程得，，將兩式相減，可得，整理可得已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為.已知拋物線的一條弦恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是2024屆·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三下學(xué)期月考（七）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)A，B，交E的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，，點(diǎn)D為垂足．若F是AC的中點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C． D．3（多選）已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與軸交于點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．是定值C．是定值 D．【題型7】最值與范圍一、圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．二、與拋物線焦半徑有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法本號(hào)資*料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決（2024·河北邯鄲·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．13