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文檔簡介
課時3圓周運動
以基礎(chǔ)梳理
一、描述圓周運動的物理量
1.線速度:描述物體圓周運動的快慢,v卷=等。
2.角速度:描述物體轉(zhuǎn)動的快慢,3卷=等。
3.周期和頻率:描述物體轉(zhuǎn)動的快慢,丁=三,T=i
Vf
2
4.向心加速度:描述線速度方向變化的快慢,an=wr=—=?v=^r0
---------------------rT2
5.向心力:作用效果產(chǎn)生向心加速度,Fn=mano
二、勻速圓周運動和非勻速圓周運動的比較
項目勻速圓周運動非勻速圓周運動
定義線速度大小不變的圓周運動線速度大小變化的圓周運動
運動F向、a向、v均大小不變,方F向、a向、v大小、方向均發(fā)生
特點向變化,3不變變化,3發(fā)生變化
向心力F^=F合由F合沿半徑方向的分力提供
三、離心運動
1.定義:做圓周運動的物體,在合力突然消失或者不足以提供圓周運
動所需的向心力的情況下,就做逐漸遠離圓心的運動。
2.原因:做圓周運動的物體,由于本身的慣性,總有沿著圓周切線方向
飛出去的傾向。
3.供需關(guān)系與運動
F=0
F<ma)2rCyL!:\
\I
F=ma)2r\.y
如圖所示,F為實際提供的向心力,則
(1)當F=m32r時,物體做勻速圓周運動;
⑵當F=0時,物體沿切線方向飛出;
⑶當F〈m32r時,物體逐漸遠離圓心;
(4)當F>i1132r時,物體逐漸靠近圓心。
夯實考點
級融圓周運動的運動學特征
1.對公式v=wr的理解
當r一定時,v與3成正比;
當3一定時,v與r成正比;
當v一定時,3與r成反比。
2
2.對a=—32r=av的理解
r
在V一定時,a與r成反比;
在3一定時,a與r成正比。
說明:(1)在討論V、3、r之間的關(guān)系時,應(yīng)運用控制變量法。
⑵常見的傳動方式
傳動
圖示特點
裝置
齒輪兩齒輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等VA=VB,角速
度.=唐,轉(zhuǎn)動方向相反
傳動°BrA
皮帶兩輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等VA=VB,角速度
四,轉(zhuǎn)動方向相同
傳動°BrA
鏈條兩輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等vA=vB,角速度
—~~~>轉(zhuǎn)動方向相同
傳動rA
同軸扇葉上的兩點A、B角速度大小相等3A=G)B,線速度
叢=與,轉(zhuǎn)動方向相同
轉(zhuǎn)動vr
人BB
[典例1](2018?浙江4月選考卷)A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓
周運動(如圖),在相同時間內(nèi),它們通過的路程之比是4:3,運動方向
改變的角度之比是3:2,則它們(A)
A.線速度大小之比為4:3
B.角速度大小之比為3:4
C.圓周運動的半徑之比為2:1
D.向心加速度大小之比為1:2
解析:圓周運動中線速度定義為單位時間內(nèi)的圓弧長,即v=p則線速
度之比為4:3,A正確;角速度定義為單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度,即3=*
且運動方向改變角度等于轉(zhuǎn)動角度,則角速度之比為3:2,B錯誤;根
據(jù)線速度和角速度的關(guān)系得,R),則半徑之比為8:9,C錯誤;根據(jù)向
O)
心加速度公式得,a=v3,則向心加速度之比為2:1,D錯誤。
[備用1](2021?廣東卷)由于高度限制,車庫出入口采用如圖所示的
曲桿道閘。道閘由轉(zhuǎn)動桿0P與橫桿PQ鏈接而成,P、Q為橫桿的兩個
端點。在道閘抬起過程中,桿PQ始終保持水平。桿0P繞。點從與水
平方向成30°勻速轉(zhuǎn)動到60°的過程中,下列說法正確的是(A)
A.P點的線速度大小不變
B.P點的加速度方向不變
C.Q點在豎直方向做勻速運動
D.Q點在水平方向做勻速運動
解析:由于桿OP勻速轉(zhuǎn)動,P點到圓心的距離不變,故P點的線速度大
小不變,A正確;P點的加速度為向心加速度,始終指向圓心,方向時刻
變化,B錯誤;設(shè)OP=L,PQ=b,可知Q點到0點所在水平線的距離
y=l.sin(30°+3t),故Q點在豎直方向的運動不是勻速運動,C錯
誤;Q點到。點的水平距離x=b+Lcos(30°+31),故Q點在水平方向
的運動也不是勻速運動,D錯誤。
級超圓周運動的動力學分析
1.對向心力的三點提醒
(1)向心力是按效果命名的,不是物體實際受到的力,受力分析時,不
能在受力示意圖上畫出向心力。
(2)向心力可以由某種性質(zhì)的力單獨提供,也可以由幾個不同性質(zhì)的
力共同提供。
(3)向心力只產(chǎn)生向心加速度,與物體的實際加速度不一定相同。
2.解決圓周運動問題的主要步驟
(1)確定研究對象。
⑵確定運動的軌道平面,確定軌道圓心位置。
(3)受力分析,找出指向圓心方向的合力(不要把向心力作為某一性質(zhì)
力進行分析)。
(4)運動情況分析(分析線速度、角速度等相關(guān)物理量)。
(5)列方程求解(根據(jù)牛頓運動定律列方程)。
考向1水平面內(nèi)的圓周運動
1.運動實例:圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、汽車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速
圓周運動等。
2.問題特點:軌跡平面在水平面內(nèi),向心力水平,豎直方向的合力為零。
3.常見水平面內(nèi)的圓周運動模型
[典例2](多選)如圖所示,用長為L的輕繩(輕繩不可伸長)連接的甲、
乙兩物塊(均可視為質(zhì)點)放置在水平圓盤上,甲、乙連線的延長線過
圓盤的圓心。,甲與圓心。的距離也為L。甲、乙兩物體的質(zhì)量均為
m,與圓盤間的動摩擦因數(shù)均為U,物塊與圓盤間的最大靜摩擦力等于
滑動摩擦力,甲、乙始終相對圓盤靜止,重力加速度為g,則下列說法
中正確的是(BC)
A.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為蜉
72L
B.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為陣
73L
C.輕繩最大彈力為]Umg
D.輕繩最大彈力為Limg
解析:當3較小時,甲、乙均由靜摩擦力充當向心力,a增大,由
F=m32r可知,物塊受到的靜摩擦力也增大,而r,=L,r乙=2L,r水r乙,
所以乙受到的靜摩擦力先達到最大,此后3繼續(xù)增大,要保證乙不滑
動,輕繩產(chǎn)生彈力并增大,甲受到的靜摩擦力繼續(xù)增大,直到甲受到的
靜摩擦力也達到最大,此時3最大,輕繩彈力FT也最大;對甲、乙整體
2
有2Pmg=m3T+m,2L,解得w=I—,對甲有pmg-FT=in?L,解得
,\/3L
Fiqumg,故B、C正確。
[備用2]如圖所示為一種叫作“魔盤”的娛樂設(shè)施,當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動很慢
時,人會隨著“魔盤”一起轉(zhuǎn)動,當“魔盤”轉(zhuǎn)動到一定速度時,人會
“貼”在“魔盤”豎直壁上,而不會滑下。若“魔盤”半徑為r,人與
“魔盤”豎直壁間的動摩擦因數(shù)為P,在人“貼”在“魔盤”豎直壁
上,隨“魔盤”一起轉(zhuǎn)動過程中,則下列說法正確的是(D)
A.人隨“魔盤”轉(zhuǎn)動過程中受重力、彈力、摩擦力和向心力作用
B.如果轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的摩擦力變大
C.如果轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的彈力不變
D.“魔盤”的轉(zhuǎn)速一定不小于高器
解析:人隨“魔盤”轉(zhuǎn)動過程中受重力、彈力、摩擦力,故A錯誤;人
在豎直方向受到重力和摩擦力,二力平衡,則知轉(zhuǎn)速變大時一,人與器壁
2
之間的摩擦力不變,故B錯誤;如果轉(zhuǎn)速變大,由F=mr(2nn),知人與
器壁之間的彈力變大,故C錯誤;人"貼”在“魔盤"上時丁有
mgWf-FN=mr(2nn)又fraa=nR,解得轉(zhuǎn)速器,故“魔盤”
的轉(zhuǎn)速一定大于;回,故D正確。
考向2豎直平面內(nèi)的圓周運動
1.運動類型:物體在豎直平面內(nèi)的圓周運動有勻速圓周運動和變速圓
周運動兩種。只有重力做功的豎直平面內(nèi)的圓周運動一定是變速圓周
運動,遵守機械能守恒定律。
2.問題特點:一般情況下,豎直平面內(nèi)的圓周運動受力問題只涉及最
高點和最低點兩種情形,但豎直平面內(nèi)的圓周運動問題,涉及知識面
比較廣,既有臨界問題,又有能量守恒的問題。
3.常見模型
項目輕繩模型輕桿模型
葡飛Lj
常見類型
均是方支撐的小球
均是沒有支撐的小球
過最高
v2
由mg=m;得
點的由小球能運動即可得v『0
v臨力i?
臨界條件
(1)當v=0時,&=mg,R為支持
(1)v^^/gr,Fx+mg=my,力,沿半徑背離圓心
繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN(2)當0<v<A/grHt,mg-FN=niy,FN
討論分析(2)V〈J5E在到達最高點背離圓心且隨v的增大而減小
前小球已經(jīng)脫離了圓(3)當時,FN=0
軌道(4)當v>J而時,F(xiàn)N+mg=m『,F、指
向圓心并隨V的增大而增大
[典例3]如圖所示,雜技演員正在表演“水流星”節(jié)目,手持系有水桶
的輕繩一端,使盛有水的水桶在豎直面內(nèi)做圓周運動,若要使桶中的
水不灑出,則在最低點時水對桶底的壓力大小至少是水的重力的
(D)
A.2倍B.4倍C.5倍D.6倍
解析:設(shè)桶中水的質(zhì)量為m,經(jīng)過最低點時速度大小為vi,水桶恰好能
通過最高點時桶中的水不灑出,則在最高點時水對桶的壓力為零,即
?2
mg=m—,由最高點運動到最低點過程中機械能守恒,則有mg?2R+
R
刎24叫2,在最低點,根據(jù)牛頓第二定律得FN-mg=m^-,聯(lián)立以上各式
解得FN=6mg,根據(jù)牛頓第三定律可知,水對桶底的壓力大小至少為6mg,
選項D正確。
[備用3]如圖所示,質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中,盒子的
邊長略大于球的直徑。某同學拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的
勻速圓周運動,已知重力加速度為g,空氣阻力不計,要使在最高點時
盒子與小球之間恰好無作用力,則下列說法正確的是(D)
A.在最高點小球的速度水平,小球既不超重也不失重
B.小球經(jīng)過與圓心等高的位置時,處于超重狀態(tài)
C.盒子在最低點時對小球彈力大小等于2mg,方向向下
D.該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于2n
解析:在最高點小球的加速度為g,處于完全失重狀態(tài),選項A錯誤;小
球經(jīng)過與圓心等高的位置時,豎直加速度為零,既不超重也不失重,選
項B錯誤;在最高點有mg=mg解得該盒子做勻速圓周運動的速度
v二病,該盒子做勻速圓周運動的周期為丁=誓=2nJI選項D正確;
在最低點時,盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球做
圓周運動的向心力,由F-mg=m力解得F=2mg,盒子對小球的彈力方向
R
向上,選項C錯誤。
考向3圓錐擺模型
[典例4]公園里的“飛天秋千”游戲開始前,座椅由鋼絲繩豎直懸吊
在半空。秋千勻速轉(zhuǎn)動時.,繩與豎直方向成某一角度。,其簡化模型
如圖所示。若保持運動角速度不變,要使夾角9變大,可將(A)
A.鋼絲繩變長B.鋼絲繩變短
C.座椅質(zhì)量增大D.座椅質(zhì)量減小
解析:由題意知,座椅做圓周運動的向心力由合外力提供,即mgtan
0=m(學)2(人山0+r),與質(zhì)量無關(guān),選項C、D錯誤;當周期不變時,
要使9增大,可增大1,即鋼絲繩變長,選項A正確,B錯誤。
[備用4](2021?河北卷)(多選)如圖,矩形金屬框MNQP豎直放置,其
中MN、PQ足夠長,且PQ桿光滑。一根輕彈簧一端固定在M點,另一端
連接一個質(zhì)量為m的小球,小球穿過PQ桿。金屬框繞MN軸分別以角
速度3和3'勻速轉(zhuǎn)動時一,小球均相對PQ桿靜止。若3'>3,則與
以3勻速轉(zhuǎn)動時相比,以s'勻速轉(zhuǎn)動時(BD)
Nl------------IQ
A.小球的高度一定降低
B.彈簧彈力的大小一定不變
C.小球?qū)U壓力的大小一定變大
D.小球所受合外力的大小一定變大
解析:設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,形變量為X,彈簧與豎直方向的夾角為
。,MN、PQ間的距離為L,對小球受力分析有kxcos9-mg=0,即豎直
方向受力為0,水平方向有kxsin。土FN=OI32L,當金屬框以3'繞MN
軸轉(zhuǎn)動時一,假設(shè)小球的位置升高,則kx減小,cos9減小,小球受力不
能平衡;假設(shè)小球的位置降低,則kx增大,cos9增大,小球受力同樣
不能平衡,則小球的位置不會變化,彈簧彈力的大小一定不變,故A錯
2
誤,B正確;小球?qū)U的壓力大小Fffi=FN=mwL-kxsin8或F壓=人=
kxsin9-mo'L,所以當角速度變大時壓力大小不一定變大,故C錯誤;
當角速度變大時小球受到的合外力大小一定變大,故D正確。
生活中的圓周運動
1.鐵路彎道的特點
當外軌比內(nèi)軌高時,鐵軌對火車的支持力不再是豎直向上,而是和重
力的合力提供向心力,可以減輕軌道和輪緣的擠壓。最佳情況是向心
力恰好由支持力和重力的合力提供,鐵軌的內(nèi)、外軌均不受到側(cè)向擠
壓的力。
(1)受力分析:如圖所示,火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓
心,成為使火車拐彎的向心力。
⑵動力學方程:根據(jù)牛頓第二定律得mgtan。初等其中r是轉(zhuǎn)彎處
軌道的半徑,V。是使內(nèi)、外軌均不受力的最佳速度。
(3)結(jié)論:解上述方程可知見2=rgtan9
可見,最佳情況是由v。、r、。共同決定的。
當火車實際速度為v時,可有三種可能:
當v=v°時,內(nèi)、外軌均不受側(cè)向擠壓的力;
當v>v0時,外軌受到側(cè)向擠壓的力(這時向心力增大,外軌提供一部
分力);
當V〈v。時,內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力(這時向心力減小,內(nèi)軌提供一部
分力)。
2.拱形橋的最高點與最低點
⑴如果汽車在拱形橋上,如圖甲以某一速度v通過拱形橋的最高點
”2
時,滿足mg-F^m—o
r
結(jié)論:①汽車對橋面的壓力小于汽車受到的重力mgo
②汽車行駛的速度越大,汽車對橋面的壓力越小。
③當速度不斷增大時,壓力會不斷減小,當達到某一速度時,汽車對橋
面完全沒有壓力,汽車“飄離”橋面。
mg
甲乙
(2)如果是凹形橋,如圖乙所示,以某一速度v通過凹形橋的最低點時,
、V2
滿足F-mg=m—o
2r
3.離心現(xiàn)象的受力特點
(1)離心運動的實質(zhì)是物體逐漸遠離圓心的物理現(xiàn)象,它的本質(zhì)是物
體慣性的表現(xiàn),總是有沿著圓周切線飛出去的趨勢,之所以沒有飛出
去是因為受到向心力作用,一旦作為向心力的合外力消失,物體就會
沿切線方向飛出去。
(2)物體做離心運動不是因為物體受到離心力的作用,而是由于外力
不能提供足夠的向心力,所謂的“離心力”實際并不存在。
考向1車輛轉(zhuǎn)彎問題
[典例5]如圖所示為賽車場的一個水平U形彎道,轉(zhuǎn)彎處為圓心在0
點的半圓,內(nèi)、外半徑分別為r和2ro一輛質(zhì)量為m的賽車從AB線
經(jīng)彎道到達A'B,線,有如圖所示的①②③三條路線,其中路線③是
以0'為圓心的半圓,00'=r,賽車沿圓弧路線行駛時,路面對輪胎的
最大徑向靜摩擦力為Fg。選擇路線,賽車以不打滑的最大速率通過彎
道(所選路線內(nèi)賽車速率不變,發(fā)動機功率足夠大),則以下說法錯誤
的是(B)
A.選擇路線①,賽車經(jīng)過的路程最短
B.選擇路線②,賽車的速率最小
C.選擇路線③,賽車所用的時間最短
D.在①②③三條路線上,賽車的向心加速度大小相等
解析:選擇路線①,經(jīng)歷的路程s,=2r+nr,選擇路線②,經(jīng)歷的路程
S2=2nr+2r,選擇路線③,經(jīng)歷的路程s3=2nr,可知選擇路線①賽車
經(jīng)過的路程最短,故A說法正確;根據(jù)F網(wǎng)初藝得,v=乒,選擇路線①,
rym
軌道半徑最小,則速率最小,故B說法錯誤;根據(jù)v=a知,通過
7m
①②③三條路線的最大速率之比為1:V2:V2,根據(jù)可知,選擇
V
路線③,賽車所用時間最短,故C說法正確;由牛頓第二定律有F.*ma,
賽車的向心加速度大小相等,故D說法正確。
[備用5]鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。彎道處要求
外軌比內(nèi)軌高,其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān),還與火車在
彎道上的行駛速度v有關(guān)。下列說法正確的是(A)
A.速率v一定時,r越小,要求h越大
B.速率v一定時,r越大,要求h越大
C.半徑r一定時,v越小,要求h越大
D.半徑r一定時,v越大,要求h越小
解析:火車轉(zhuǎn)彎時,圓周平面在水平面內(nèi),火車以設(shè)計速率行駛時,向
心力剛好由重力mg與軌道支持力FN的合力來提供,如圖所示,則有
mgtan。=",且tan。弋sin。上,其中L為軌間距,是定值,有
rL
mg>—,通過分析可知A正確。
Lr
考向2離心運動
[典例6]賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時一,常常在彎道處沖出跑道,對其原
因的分析以下說法正確的是(C)
A.賽車行駛到彎道時,運動員未能及時轉(zhuǎn)動方向盤
B.賽車行駛到彎道時,運動員沒有及時加速
C.賽車行駛到彎道時,運動員沒有及時減速
D.賽車行駛到彎道附近提前轉(zhuǎn)彎
解析:賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時,需要的向心力是由賽車與地面間的
?2
摩擦力提供的。由F初亍知,當v較大時,賽車需要的向心力也較大,
當摩擦力不足以提供其所需的向心力時,賽車將沖出跑道。因此在r
不變時可減小行駛速度;賽車行駛到彎道附近提前轉(zhuǎn)彎可增大轉(zhuǎn)彎半
徑,則所需向心力減小。
[備用6]如圖所示,洗衣機的甩干筒在轉(zhuǎn)動時有一衣物附在筒壁上,則
此時(D)
A.衣物受到重力、筒壁的彈力、摩擦力和向心力
B.衣物隨筒壁做圓周運動的向心力是由摩擦力提供的
C.筒壁的彈力隨筒的轉(zhuǎn)速的增大而減小
D.水與衣物間的附著力小于水做圓周運動所需的向心力,水從筒壁小
孔甩出
州國組合曲線運動的分析與求解
平拋運動與圓周運動的組合題,用平拋運動的規(guī)律求解平拋運動問題,
用牛頓運動定律求解圓周運動問題,關(guān)鍵是找到兩者的速度關(guān)系。若
先做圓周運動后做平拋運動,則圓周運動的末速度等于平拋運動的水
平初速度;若物體平拋后進入圓軌道,圓周運動的初速度等于平拋運
動的末速度在圓周切線方向的分速度。
[典例7]如圖所示,質(zhì)量為m=0.2kg的小球(可視為質(zhì)點)從水平桌面
端點A以初速度v。水平拋出,桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道PNM,
其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧,MN為其豎
直直徑。P點到桌面的豎直距離也為R。小球飛離桌面后恰由P點無
2
碰撞地落入圓軌道,g取10m/so
(1)求小球在A點的初速度V。及AP間水平距離x;
⑵求小球到達圓軌道最低點N時對N點的壓力;
⑶判斷小球能否到達圓軌道最高點Mo
解析:(1)小球由A點做平拋運動,在P點恰好沿圓軌道的切線進入軌
道,則小球在P點的豎直分速度為
vy=votan45°=v0,
由平拋運動規(guī)律得Vy=gt,R=£t,x=v0t,
解得v0=4m/s,x=l.6mo
(2)小球在P點的速度為
v=v22
Vo+vy=4V2m/s,
小球從P點到N點,由動能定理得
22
mgR(l-cos45°)=|mvw-1mv,
小球在N點,由牛頓第二定律得
解得小球所受支持力Fx^ll.17N,
由牛頓第三定律得,小球?qū)點的壓力為FJ=11.17N,方向豎直向下。
⑶假設(shè)小球能夠到達M點,對小球由P點到M點由動能定理得
-mgR(1+cos45°)=1mv'
解得v'=V16-872m/s,
小球能夠完成圓周運動,在M點應(yīng)有
2.__
即VM2癡於孤m/s,
由V,<VM知,小球不能到達圓軌道最高點Mo
答案:(l)4m/s1.6m
(2)11.17N方向豎直向下
⑶見解析
[備用7]如圖所示,磁性小球在鐵質(zhì)圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落,好像軌
道對它施加了魔性一樣,小球旋轉(zhuǎn)一周后在C點脫離軌道,投入左邊
內(nèi)軌的某點上,已知豎直圓弧軌道由半徑為2R的左半圓軌道AB和半
徑為R的右半圓軌道BC無縫對接,A、B點處于豎直線上,可看成質(zhì)點、
質(zhì)量為m的小球沿軌道外側(cè)做圓周運動,已知小球受軌道的磁性引力
始終指向圓心且大小恒為F,不計摩擦和空氣阻力,重力加速度為go
(1)若小球在A點的速度為圖瓦求小球在該點對軌道的彈力;
(2)若磁性引力F可調(diào)整,要使小球能完成完整的圓周運動,求二的最
mg
小值;
⑶若小球從最高點開始沿軌道外側(cè)運動,最后從c點拋出落到左側(cè)
圓軌道上(球脫離軌道后與軌道的引力消失),問小球能否落在與右邊
小圓圓心等高處?如果不能,求出小球的落點與0點的最短豎直距離。
解析:(1)設(shè)在A點軌道對小球向上的彈力大小為口
由牛頓第二定律得
F+mg-F=m—,
NZK
代入數(shù)據(jù)得F=FN,由牛頓第三定律得,小球在A點對軌道的彈力大小為
F,方向豎直向下。
⑵要使小球能完成完整的運動,只需在B點不脫軌即可。
當vA=0時,到達B處速度最小,由動能定理得
17
mg,4R=-mvfi-0,
當小球處于軌道最低點B時,由牛頓第二定律得
FB-mg-FN=m^,
所以FB=9mg+FN,
當F=0時,磁性引力最小,故二的最小值為9o
Nmg
⑶小球能沿軌道運動到C點,設(shè)vA=0,則從A到C的過程中有
2
mg,2R=-mvc-0,
得Vc=2JgR。
若小球落到與右邊小圓圓心等高處,設(shè)從C點以速度V。平拋,則
豎直方向有y=R=1gt2,
水平方向有x=J(2R)2-R2=bR=v°t,
得水平速度'后警
因為Vo<Vc,故小球不可能落在與右邊小圓圓心等高處。
當Vc=2痂時,落點與0點的豎直距離最近,
水平方向有X=Vct,
豎直方向有y=1gt2,
且x2+y2=4R2,
得y=(2V5-4)R,
故小球的落點與。點的豎直距離最小為
h=R-y=(5-2V5)Ro
答案:(1)F,方向豎直向下(2)9(3)(5-2V5)R
(°〃〃/〃/〃課堂訓練)教而福用
1.(圓周運動中各物理量的關(guān)系)修正帶的結(jié)構(gòu)如圖所示,包括上下蓋
座,大、小齒輪,壓嘴座等部件,大、小齒輪分別嵌合于固定的軸孔中,
大、小齒輪相互吻合,a、b點分別位于大、小齒輪的邊緣,c點位于大
齒輪的半徑中點。當修正帶在使用的某個時刻(A)
A.b、c兩點的角速度相同B.a、b兩點的角速度相同
C.a、b兩點的線速度相同D.b點的向心加速度最大
解析:a、b兩點齒輪傳動,線速度大小相同,va=vb,因ra<rb,由v=ar得
3a>3b,由得a>a;b>c兩點同軸轉(zhuǎn)動,兩點角速度大小相
Vnanb
2
等,3b=3c,因rb>rc,由an=?r得,anb>anco綜合得,選項A正確。
2.(圓周運動的動力學分析)(多選)如圖所示,兩個質(zhì)量均為m的小木
塊a和b(可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸00'的距離為l,b
與轉(zhuǎn)軸的距離為21。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k
倍,重力加速度大小為g,若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動,
用3表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度。下列說法正確的是(AC)
°:ab
jnn
A.b一定比a先開始滑動
B.a、b所受的摩擦力始終相等
C.3=騰是b開始滑動的臨界角速度
D.當3=舊時,a所受摩擦力的大小為kmg
解析:a與b所受的最大摩擦力相等,而b需要的向心力較大,所以b
先滑動,A項正確;在未滑動之前,a、b各自受到的摩擦力提供其向心
力,因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力,B項錯誤;b處于臨界狀
態(tài)時有kmg=m32?21,解得3=J”,C項正確;同理可得a的臨界角速
度為3'=照,3=再小于a的臨界角速度,a所受摩擦力
2
F=Fn=mal=|kmg,D項錯誤。
3.(豎直平面內(nèi)的圓周運動)一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球,以另一
端0為圓心,使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動,如圖所示,則
下列說法正確的是(A)
A
A.小球過最高點時,桿所受到的彈力可以等于零
B.小球過最高點的最小速度是/證
C.小球過最高點時,桿對球的作用力一定隨速度增大而增大
D.小球過最高點時,桿對球的作用力一定隨速度增大而減小
解析:輕桿可對小球產(chǎn)生向上的支持力,小球經(jīng)過最高點的速度可以
為零,當小球過最高點的速度v=J證時,桿所受的彈力等于零,A正
_____2
確,B錯誤;若瓦則桿在最高點對小球的彈力豎直向上,mg-F=m^-,
隨v增大,F減小,若v>J證,則桿在最高點對小球的彈力豎直向
?2
下,mg+F=m3,隨v增大,F增大,選項C、D均錯誤。
4.(圓周運動實例分析)一輛汽車在丘陵地上以不變的速率行駛,地形
如圖所示。由于輪胎已舊,途中爆了胎。你認為在圖中A、B、C、D四
處中,爆胎的可能性最大的一處是(B)
A.A處B.B處C.C處D.D處
解析:在A處,地面對輪胎的彈力大小等于汽車的重力;在B處,汽車做
圓周運動,加速度方向豎直向上,根據(jù)牛頓運動定律知,汽車處于超重
狀態(tài),地面對汽車的彈力大于其重力;在C處,汽車做圓周運動,加速
度方向豎直向下,根據(jù)牛頓運動定律知,汽車處于失重狀態(tài),地面對汽
車的彈力小于其重力;在D處,地面對汽車的彈力大小等于重力垂直
于斜面的分力,也小于重力。則在B處汽車受到地面的彈力最大,最容
易爆胎,故選項B正確。
5.(組合曲線運動)如圖所示,水平傳送帶以5m/s恒定速率順時針轉(zhuǎn)
動,一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊輕輕放在傳送帶上的A點,隨傳送帶運
動到B點,小物塊從C點沿圓弧切線進入豎直固定的光滑半圓弧軌道
(已知B、C在同一豎直線上),之后沿CD軌道做圓周運動,離開D點后
水平拋出。已知圓弧半徑R=0.9m,軌道最低點為D,D點距水平面的
高度h=0.8mo(g取10m/s?,忽略空氣阻力)
\/\h
K
⑴求小物塊剛進入圓軌道時速度的最小值;
⑵若要讓小物塊從D點水平拋出后能垂直撞到傾斜擋板底端E點,
已知擋板固定放在水平面上,擋板傾角。=60°,傳送帶長度SAB=L5m,
求物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)Uo
解析:(1)對小物塊,在C點能夠做圓周運動,由牛頓第二定律得
2
mg.^m—Vc,
解得丫(;與^/^=3m/so
⑵小物塊從D點拋出后,做平拋運動,有h=igt2,
將小物塊在E點的速度進行分解,可得tan。卷,
對小物塊,從C至ljD根據(jù)動能定理有
22
2mgR=|mvD-|mvc,
由于vc=2gm/s<5m/s,所以小物塊在傳送帶上一直加速,從A到B
根據(jù)運動學公式有〃c2=2asAB,
其中a=ug,
解得u=0.4o
答案:(l)3m/s(2)0.4
6.(組合曲線運動)如圖所示,四分之一圓弧軌道的圓心和半圓軌道
的圓心02,與斜面體ABC的豎直面AB在同一豎直面上,兩圓弧軌道銜
接處的距離忽略不計,斜面體ABC的底面BC是水平面,一個視為質(zhì)點、
質(zhì)量m=0.2kg的小球從P點靜止釋放,先后沿兩個圓弧軌道運動,最
后落在斜面體上(不會彈起),不日,一切摩擦,已知AB=9m,BC=12m,
02A=l.1m,四分之一圓弧的半徑和半圓的半徑都是R=0.6m,g取
2
10m/so求:
⑴小球在半圓最低點Q對軌道的壓力;
⑵小球落在斜面上的位置到A點的距離。
2
解析:⑴由機械能守恒定律得,mg?3R=1mv0,
分析小球在Q點受力有卜-1昭=哼-,
A
再由牛頓第三定律知FJ=FN,
聯(lián)立解得FN'=14N,方向豎直向下。
⑵小球離開Q后做平拋運動,如圖,
水平方向上有X=VQ?t,
豎直方向上有y=1gt2,
又由幾何關(guān)系得
QA=02A-R=0.5m,
x=L,cos0,
y=QA+L?sin0,
聯(lián)立解得L=7.5mo
答案:(1)14N方向豎直向下(2)7.5m
課時訓練
阿基礎(chǔ)鞏固
1.(2018?浙江11月選考卷)一質(zhì)量為2.OXIO,kg的汽車在水平公
路上行駛,路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為L4X10!N,當汽車經(jīng)過
半徑為80m的彎道時,下列判斷正確的是(D)
A.汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.4X10'N
C.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時汽車會發(fā)生側(cè)滑
D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0m/s2
解析:汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力,向心力是指向圓心
方向的合力,即由摩擦力充當向心力,A錯誤;當汽車轉(zhuǎn)彎時速度為
?2.
20m/s,所需的向心力為F向=m3=lX10'N,沒有超過最大靜摩擦力,
汽車不會發(fā)生側(cè)滑,B、C錯誤;汽車能安全轉(zhuǎn)彎的最大向心加速度為
a=—=7.0m/s2,D正確。
m
2.如圖為車牌自動識別系統(tǒng)的直桿道閘,離地面高為1m的細直桿可
繞0在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。汽車從自動識別線ab處到達直桿處的時
間為3.3s,自動識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.3s;汽車可看成高1.6m
的長方體,其左側(cè)面底邊在aa'直線上,且0到汽車左側(cè)面的水平距
離為0.6m,要使汽車安全通過道閘,直桿轉(zhuǎn)動的角速度至少為
(D)
A.—rad/sB.—rad/s
44
C.—rad/sD.—rad/s
612
解析:設(shè)汽車恰好通過道閘時直桿轉(zhuǎn)過的角度為9,由幾何知識得
tan0=與,=1,解得0=,直桿轉(zhuǎn)動的時間t=t汽車一t反應(yīng)時間二(3.3一
0.64
0.3)s=3s,直桿轉(zhuǎn)動的角速度rad/s,故D正確。
3.(2019?江蘇卷)(多選)如圖所示,摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)
做勻速圓周運動。座艙的質(zhì)量為m,運動半徑為R,角速度大小為3,
重力加速度為g,則座艙(BD)
A.運動周期為任
0)
B.線速度的大小為3R
C.受摩天輪作用力的大小始終為mg
D.所受合力的大小始終為ma2R
解析:座艙的周期T衛(wèi)上,故A錯誤;根據(jù)線速度與角速度的關(guān)
V0)
系,v=3R,故B正確;座艙做勻速圓周運動,摩天輪對座艙的作用力與
重力大小不相等,其合力提供向心力,合力大小為F合=m32R,故C錯
誤,D正確。
4.(2021?溫州期末)如圖所示,某同學表演蕩秋千,已知秋千的兩根
繩長均為10m,該同學和秋千踏板的總質(zhì)量約為60kg。繩的質(zhì)量忽
略不計。該同學蕩到秋千支架的正下方時,速度大小為8m/s,g取
10m/s%此時每根繩子平均承受的拉力約為(B)
A.984NB.500NC.490ND.410N
解析:這是一個“雙重建?!眴栴}。在應(yīng)用牛頓運動定律時.,必須把人
看成質(zhì)點,沒必要考慮各部分速度差異這些次要因素。而在計算圓周
運動半徑時一,則要考慮人身體大小,半徑R明顯小于繩長Lo設(shè)在最低
點時每根繩子平均承受的拉力為FT,該同學做圓周運動的半徑為R,則
由牛頓第二定律得2FT-mg=mj,將R=10m代入得F「=492N,故實際上
每根繩子平均承受的拉力應(yīng)略大于492N,選項B正確。
5.在街頭的理發(fā)店門口,常可以看到這樣一個標志:一個轉(zhuǎn)動的圓筒,
外表有彩色螺旋斜條紋,我們感覺條紋在沿豎直方向運動,但條紋實
際在豎直方向并沒有升降,這是由圓筒的轉(zhuǎn)動而使我們的眼睛產(chǎn)生的
錯覺。如圖所示,假設(shè)圓筒上的條紋是圍繞著圓筒、連續(xù)的一條寬帶,
相鄰兩條紋在沿圓筒軸線方向的距離(即螺距)為L=10cm,圓筒沿逆
時針方向(從俯視方向看),以2r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動,我們感覺到升降
方向和速度大小分別為(D)
A.向上,10cm/sB.向上,20cm/s
C.向下,10cm/sD.向下,20cm/s
解析:本題考查勻速圓周運動問題。彩色螺旋斜條紋是從左下到右上,
且圓筒沿逆時針方向(俯視)轉(zhuǎn)動,人眼觀察某一個空間位置處的彩色
條紋,由于圓筒在轉(zhuǎn)動,經(jīng)過很小的時間間隔At后,左側(cè)條紋代替右
側(cè)條紋,根據(jù)人眼的視覺暫留現(xiàn)象,人眼錯認為原來的點向下移動了
一小段,就會感覺條紋的運動方向向下。由于圓筒每秒轉(zhuǎn)2圈,則轉(zhuǎn)
1圈的時間為0.5s,而螺距為10cm,所以每秒沿豎直方向運動的距
離為20cm,即速度大小為20cm/s,選項D正確。
6.如圖所示,長為L的輕桿,一端固定一個質(zhì)量為m的小球,另一端固
定在水平轉(zhuǎn)軸0上,現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸0在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動,角速度為
以某時刻桿對球的作用力恰好與桿垂直,則此時桿與水平面的夾角
e滿足(A)
A.sin9tane=—
99
ed
C.sin9---zD.tan
a)LCd2L
解析:由題意知,因小球做勻速圓周運動,合外力提供向心力,故小球
受合外力的方向沿桿指向0點,對小球受力分析如圖所示,受重力與
桿的作用力,所以有sin9=—=—,A?o
mgg
7.如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的
角速度3轉(zhuǎn)動,盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保
持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為子(設(shè)最大靜摩擦力等于
滑動摩擦力),盤面與水平面的夾角為30°,g取10m/s?。則3的最大
值是(C)
A.V5rad/sB.V3rad/s
C.1.0rad/sD.0.5rad/s
解析:物體隨圓盤做圓周運動,運動到最低點時最易滑動,剛要滑動時
有最大角速度,根據(jù)牛頓第二定律有Rmgcos300-mgsin30°=mw2r,
解得a=1.0rad/s,選項C正確。
8.由上海飛往洛杉磯的飛機與由洛杉磯返航飛往上海的飛機,若往返
飛行時間相同,且飛經(jīng)太平洋上空時等高勻速飛行,飛行中兩種情況
比較(C)
A.飛機上乘客對座椅的壓力兩種情況相等
B.飛機上乘客對座椅的壓力前者稍大于后者
C.飛機上乘客對座椅的壓力前者稍小于后者
D.飛機上乘客對座椅的壓力可能為零
解析:考慮到地球自西向東轉(zhuǎn)動,而兩次飛行時間相同,則兩次飛行速
?2
度不同,由上海飛往洛杉磯時飛行速度較大,由mg-FN=n£知,v越大FN
R
越小,V遠小于第一宇宙速度,R不可能為零。
9.有一種秋千叫“輪子秋”,即豎起大板車輪柱,下輪壓重物固定,上
輪綁一木梯,在木梯兩端拴上繩子,如圖1,為了理解“輪子秋”的趣
味性,作如圖2所示的簡化圖:水平細桿的a0和0b部分的長度分別為
L和L2,甲、乙兩物體的質(zhì)量分別為叫和m2,系統(tǒng)繞。所在的豎直軸勻
速轉(zhuǎn)動,兩等長細繩與豎直方向的夾角分別為a和B,下列說法正確
的是(D)
圖1圖2
A.若LI=L2,且mi>m2,則a>B
B.若LI=L2,且mi<m2,則a>B
C.若L,>L2,則a可能等于B
D.若LI>L2,則a一定大于B
解析:物體質(zhì)量用m表示,細繩與豎直方向夾角用0表示,細桿一端到
軸心的距離為L,細繩長為x,角速度為3,則mgtan9=mw2(L+x?
sin0),可得L=(=J-x)sin0,0°W。<90°,當。增大時,
cose減小,2。G增大,sin。增大,故L增大,A、B、C錯誤,D正確。
a)£cos0
何能力提升
10.蛙式電動打夯機是一種結(jié)構(gòu)簡單、操作方便的夯實機械,在建筑施
工中被廣泛采用。本機主要由夯頭架、傳動裝置、前軸裝置、拖盤、
操縱手柄、電器設(shè)備和潤滑系統(tǒng)等組成。如圖1為電動打夯機的實物
圖,圖2是其工作原理的示意圖,在電動機的軸上裝一個偏心飛輪,飛
輪的質(zhì)量為m,其重心離軸心的距離為r,裝置其余部分的質(zhì)量為M,當
電動機轉(zhuǎn)動時,打夯機的底座在地面上跳動將地面筑緊。則為了使機
座跳離地面(A)
B.電動機的最小角速度應(yīng)是回
7mr
C.電動機的最大角速度應(yīng)是叵逼
D.電動機的最大角速度應(yīng)是陛
7mr
解析:當偏心飛輪轉(zhuǎn)至圖中最高點,且偏心飛輪對機座向上拉力Fi=Mg
時,機座對地面的壓力為零,機座將跳離地面。則對于偏心飛輪在最高
點時,機座對偏心飛輪的向下拉力大小為F/=Fb根據(jù)牛頓第二定律
有Fi'+mg=mo)o2r,電動機的最小角速度應(yīng)是
11.(多選)如圖所示,內(nèi)壁光滑的玻璃管內(nèi)用長為L的輕繩懸掛一個
小球,小球的直徑略小于管的內(nèi)徑。當玻璃管繞豎直軸以角速度3勻
速轉(zhuǎn)動時一,小球與玻璃管間恰無壓力。下列說法正確的是(BD)
A.僅增加繩長,小球?qū)⑹艿讲AЧ苄毕蛏戏降膲毫?/p>
B,僅增加繩長,若仍保持小球與玻璃管間無壓力,需減小①
C.僅增加小球質(zhì)量,小球?qū)⑹艿讲AЧ苄毕蛏戏降膲毫?/p>
D.僅增加角速度,小球?qū)⑹艿讲AЧ苄毕蛳路降膲毫?/p>
解析:根據(jù)題意可知,mgtan9=mw-r=nio2Lsin。。僅增加繩長,小
球所需向心力變大,則有離心趨勢會擠壓管壁右側(cè),小球?qū)⑹艿讲A?/p>
管斜向下方的壓力,故A錯誤;僅增加繩長,若仍保持小球與玻璃管間
無壓力,根據(jù)以上分析可知,需減小5故B正確;小球質(zhì)量可以被約
去,增加小球質(zhì)量,小球仍與管壁間無壓力,故C錯誤;僅增加角速度,
小球所需向心力變大,則有離心趨勢會擠壓管壁右側(cè),小球?qū)⑹艿讲?/p>
璃管斜向下方的壓力,故D正確。
12.長為L的細線一端系一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點),另一端固定
在一光滑錐頂上,光滑錐頂角為29,軸線在豎直方向,如圖甲所示。
使小球在水平面內(nèi)做角速度為3的勻速圓周運動,線的張力為F,經(jīng)分
析可得F_G?關(guān)系圖像如圖乙所示,已知重力加速度為g,貝|J(D)
A.a=mgsin9
B.b=g
L
C.圖線1的斜率ki=mLsin0
D.圖線2的斜率k2=mL
解析:當角速度為零時,對小球受力分析,有F=mgcos。=a,故A錯誤;
小球貼著光滑圓錐做勻速圓周運動,當角速度的二次方達到b時,支
持力為零,有mgtan9=mLsin9?①;解得3M)=丁區(qū)1故B錯誤;小
LcosO
球未脫離圓錐時,有Fsin9-F\cos。=mLsin9,3:Feos。
+Rsin0=mg,聯(lián)立解得F=mgcos9+mLsin29,3;可知圖線1的斜
率ki=mLsin2。,故C錯誤;當小球脫離圓錐后,有Fsina=mL
sina?3;即F=mLG)2,則圖線2的斜率kz=mL,故D正確。
13.(2021?臺州質(zhì)量檢測)如圖所示,長為1=0.75m的輕繩一端固定,
另一端系有質(zhì)量為m=0.25kg的小物塊,在豎直平面內(nèi)做圓周運動,
當運動到最低點時,繩突然斷掉,恰好落在傳動帶左端,落至傳送帶后
物塊速度瞬間變?yōu)?,同時傳送帶開始以v0=4m/s向右傳動,物塊最后
恰能從右端水平飛出。已知此時離傳送帶高度為h=l.25m,水平距離
為s=l.5m(如圖),物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)u=0.2,傳送輪半徑
R=0.4m,重力加速度g取10m/s;忽略空氣阻力。求:
kL..X_____________
-
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