高中物理：課時3 圓周運動

課時3圓周運動

以基礎(chǔ)梳理

一、描述圓周運動的物理量

1.線速度:描述物體圓周運動的快慢,v卷=等。

2.角速度:描述物體轉(zhuǎn)動的快慢，3卷=等。

3.周期和頻率:描述物體轉(zhuǎn)動的快慢,丁=三,T=i

Vf

2

4.向心加速度:描述線速度方向變化的快慢,an=wr=—=?v=^r0

---------------------rT2

5.向心力:作用效果產(chǎn)生向心加速度,Fn=mano

二、勻速圓周運動和非勻速圓周運動的比較

項目勻速圓周運動非勻速圓周運動

定義線速度大小不變的圓周運動線速度大小變化的圓周運動

運動F向、a向、v均大小不變，方F向、a向、v大小、方向均發(fā)生

特點向變化，3不變變化，3發(fā)生變化

向心力F^=F合由F合沿半徑方向的分力提供

三、離心運動

1.定義:做圓周運動的物體,在合力突然消失或者不足以提供圓周運

動所需的向心力的情況下,就做逐漸遠離圓心的運動。

2.原因:做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向

飛出去的傾向。

3.供需關(guān)系與運動

F=0

F<ma)2rCyL!：\

\I

F=ma)2r\.y

如圖所示,F為實際提供的向心力，則

(1)當F=m32r時,物體做勻速圓周運動；

⑵當F=0時,物體沿切線方向飛出；

⑶當F〈m32r時,物體逐漸遠離圓心；

(4)當F>i1132r時,物體逐漸靠近圓心。

夯實考點

級融圓周運動的運動學特征

1.對公式v=wr的理解

當r一定時,v與3成正比；

當3一定時,v與r成正比；

當v一定時，3與r成反比。

2

2.對a=—32r=av的理解

r

在V一定時,a與r成反比；

在3一定時,a與r成正比。

說明：(1)在討論V、3、r之間的關(guān)系時，應(yīng)運用控制變量法。

⑵常見的傳動方式

傳動

圖示特點

裝置

齒輪兩齒輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等VA=VB,角速

度.=唐,轉(zhuǎn)動方向相反

傳動°BrA

皮帶兩輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等VA=VB,角速度

四,轉(zhuǎn)動方向相同

傳動°BrA

鏈條兩輪邊緣的兩點A、B線速度大小相等vA=vB,角速度

—~~~＞轉(zhuǎn)動方向相同

傳動rA

同軸扇葉上的兩點A、B角速度大小相等3A=G）B,線速度

叢=與,轉(zhuǎn)動方向相同

轉(zhuǎn)動vr

人BB

[典例1]（2018?浙江4月選考卷）A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓

周運動（如圖），在相同時間內(nèi)，它們通過的路程之比是4:3,運動方向

改變的角度之比是3：2,則它們（A）

A.線速度大小之比為4：3

B.角速度大小之比為3：4

C.圓周運動的半徑之比為2：1

D.向心加速度大小之比為1：2

解析：圓周運動中線速度定義為單位時間內(nèi)的圓弧長，即v=p則線速

度之比為4：3,A正確;角速度定義為單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，即3=*

且運動方向改變角度等于轉(zhuǎn)動角度，則角速度之比為3:2,B錯誤;根

據(jù)線速度和角速度的關(guān)系得,R）,則半徑之比為8：9,C錯誤;根據(jù)向

O）

心加速度公式得,a=v3,則向心加速度之比為2：1,D錯誤。

[備用1](2021?廣東卷)由于高度限制，車庫出入口采用如圖所示的

曲桿道閘。道閘由轉(zhuǎn)動桿0P與橫桿PQ鏈接而成,P、Q為橫桿的兩個

端點。在道閘抬起過程中，桿PQ始終保持水平。桿0P繞。點從與水

平方向成30°勻速轉(zhuǎn)動到60°的過程中，下列說法正確的是(A)

A.P點的線速度大小不變

B.P點的加速度方向不變

C.Q點在豎直方向做勻速運動

D.Q點在水平方向做勻速運動

解析：由于桿OP勻速轉(zhuǎn)動,P點到圓心的距離不變,故P點的線速度大

小不變,A正確;P點的加速度為向心加速度,始終指向圓心，方向時刻

變化,B錯誤；設(shè)OP=L,PQ=b,可知Q點到0點所在水平線的距離

y=l.sin(30°+3t),故Q點在豎直方向的運動不是勻速運動,C錯

誤;Q點到。點的水平距離x=b+Lcos(30°+31),故Q點在水平方向

的運動也不是勻速運動,D錯誤。

級超圓周運動的動力學分析

1.對向心力的三點提醒

(1)向心力是按效果命名的，不是物體實際受到的力，受力分析時,不

能在受力示意圖上畫出向心力。

(2)向心力可以由某種性質(zhì)的力單獨提供,也可以由幾個不同性質(zhì)的

力共同提供。

（3）向心力只產(chǎn)生向心加速度,與物體的實際加速度不一定相同。

2.解決圓周運動問題的主要步驟

（1）確定研究對象。

⑵確定運動的軌道平面,確定軌道圓心位置。

（3）受力分析，找出指向圓心方向的合力（不要把向心力作為某一性質(zhì)

力進行分析）。

（4）運動情況分析（分析線速度、角速度等相關(guān)物理量）。

（5）列方程求解（根據(jù)牛頓運動定律列方程）。

考向1水平面內(nèi)的圓周運動

1.運動實例：圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、汽車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速

圓周運動等。

2.問題特點：軌跡平面在水平面內(nèi)，向心力水平,豎直方向的合力為零。

3.常見水平面內(nèi)的圓周運動模型

［典例2］（多選）如圖所示,用長為L的輕繩（輕繩不可伸長）連接的甲、

乙兩物塊（均可視為質(zhì)點）放置在水平圓盤上，甲、乙連線的延長線過

圓盤的圓心。，甲與圓心。的距離也為L。甲、乙兩物體的質(zhì)量均為

m,與圓盤間的動摩擦因數(shù)均為U,物塊與圓盤間的最大靜摩擦力等于

滑動摩擦力，甲、乙始終相對圓盤靜止,重力加速度為g,則下列說法

中正確的是（BC）

A.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為蜉

72L

B.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為陣

73L

C.輕繩最大彈力為］Umg

D.輕繩最大彈力為Limg

解析：當3較小時，甲、乙均由靜摩擦力充當向心力，a增大，由

F=m32r可知,物塊受到的靜摩擦力也增大,而r,=L,r乙=2L,r水r乙,

所以乙受到的靜摩擦力先達到最大，此后3繼續(xù)增大,要保證乙不滑

動,輕繩產(chǎn)生彈力并增大，甲受到的靜摩擦力繼續(xù)增大,直到甲受到的

靜摩擦力也達到最大,此時3最大,輕繩彈力FT也最大;對甲、乙整體

2

有2Pmg=m3T+m,2L,解得w=I—,對甲有pmg-FT=in?L,解得

,\/3L

Fiqumg,故B、C正確。

［備用2］如圖所示為一種叫作“魔盤”的娛樂設(shè)施，當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動很慢

時，人會隨著“魔盤”一起轉(zhuǎn)動，當“魔盤”轉(zhuǎn)動到一定速度時，人會

“貼”在“魔盤”豎直壁上,而不會滑下。若“魔盤”半徑為r,人與

“魔盤”豎直壁間的動摩擦因數(shù)為P,在人“貼”在“魔盤”豎直壁

上，隨“魔盤”一起轉(zhuǎn)動過程中，則下列說法正確的是（D）

A.人隨“魔盤”轉(zhuǎn)動過程中受重力、彈力、摩擦力和向心力作用

B.如果轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的摩擦力變大

C.如果轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的彈力不變

D.“魔盤”的轉(zhuǎn)速一定不小于高器

解析:人隨“魔盤”轉(zhuǎn)動過程中受重力、彈力、摩擦力，故A錯誤;人

在豎直方向受到重力和摩擦力，二力平衡,則知轉(zhuǎn)速變大時一，人與器壁

2

之間的摩擦力不變，故B錯誤;如果轉(zhuǎn)速變大，由F=mr(2nn),知人與

器壁之間的彈力變大，故C錯誤；人"貼”在“魔盤"上時丁有

mgWf-FN=mr(2nn)又fraa=nR,解得轉(zhuǎn)速器，故“魔盤”

的轉(zhuǎn)速一定大于;回，故D正確。

考向2豎直平面內(nèi)的圓周運動

1.運動類型:物體在豎直平面內(nèi)的圓周運動有勻速圓周運動和變速圓

周運動兩種。只有重力做功的豎直平面內(nèi)的圓周運動一定是變速圓周

運動，遵守機械能守恒定律。

2.問題特點：一般情況下,豎直平面內(nèi)的圓周運動受力問題只涉及最

高點和最低點兩種情形，但豎直平面內(nèi)的圓周運動問題,涉及知識面

比較廣，既有臨界問題,又有能量守恒的問題。

3.常見模型

項目輕繩模型輕桿模型

葡飛Lj

常見類型

均是方支撐的小球

均是沒有支撐的小球

過最高

v2

由mg=m；得

點的由小球能運動即可得v『0

v臨力i?

臨界條件

(1)當v=0時,&=mg,R為支持

(1)v^^/gr,Fx+mg=my,力，沿半徑背離圓心

繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN(2)當0<v<A/grHt,mg-FN=niy,FN

討論分析(2)V〈J5E在到達最高點背離圓心且隨v的增大而減小

前小球已經(jīng)脫離了圓(3)當時,FN=0

軌道(4)當v>J而時，F(xiàn)N+mg=m『,F、指

向圓心并隨V的增大而增大

［典例3］如圖所示，雜技演員正在表演“水流星”節(jié)目，手持系有水桶

的輕繩一端，使盛有水的水桶在豎直面內(nèi)做圓周運動，若要使桶中的

水不灑出，則在最低點時水對桶底的壓力大小至少是水的重力的

(D)

A.2倍B.4倍C.5倍D.6倍

解析:設(shè)桶中水的質(zhì)量為m,經(jīng)過最低點時速度大小為vi,水桶恰好能

通過最高點時桶中的水不灑出，則在最高點時水對桶的壓力為零，即

?2

mg=m—,由最高點運動到最低點過程中機械能守恒，則有mg?2R+

R

刎24叫2,在最低點,根據(jù)牛頓第二定律得FN-mg=m^-,聯(lián)立以上各式

解得FN=6mg,根據(jù)牛頓第三定律可知,水對桶底的壓力大小至少為6mg,

選項D正確。

［備用3］如圖所示,質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的

邊長略大于球的直徑。某同學拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的

勻速圓周運動，已知重力加速度為g,空氣阻力不計,要使在最高點時

盒子與小球之間恰好無作用力，則下列說法正確的是（D）

A.在最高點小球的速度水平，小球既不超重也不失重

B.小球經(jīng)過與圓心等高的位置時，處于超重狀態(tài)

C.盒子在最低點時對小球彈力大小等于2mg,方向向下

D.該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于2n

解析:在最高點小球的加速度為g,處于完全失重狀態(tài),選項A錯誤;小

球經(jīng)過與圓心等高的位置時，豎直加速度為零,既不超重也不失重,選

項B錯誤；在最高點有mg=mg解得該盒子做勻速圓周運動的速度

v二病,該盒子做勻速圓周運動的周期為丁=誓=2nJI選項D正確;

在最低點時,盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球做

圓周運動的向心力，由F-mg=m力解得F=2mg,盒子對小球的彈力方向

R

向上,選項C錯誤。

考向3圓錐擺模型

［典例4］公園里的“飛天秋千”游戲開始前，座椅由鋼絲繩豎直懸吊

在半空。秋千勻速轉(zhuǎn)動時.，繩與豎直方向成某一角度。，其簡化模型

如圖所示。若保持運動角速度不變，要使夾角9變大，可將（A）

A.鋼絲繩變長B.鋼絲繩變短

C.座椅質(zhì)量增大D.座椅質(zhì)量減小

解析：由題意知,座椅做圓周運動的向心力由合外力提供，即mgtan

0=m（學）2（人山0+r）,與質(zhì)量無關(guān)，選項C、D錯誤；當周期不變時，

要使9增大,可增大1,即鋼絲繩變長，選項A正確,B錯誤。

［備用4］（2021?河北卷）（多選）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其

中MN、PQ足夠長,且PQ桿光滑。一根輕彈簧一端固定在M點，另一端

連接一個質(zhì)量為m的小球，小球穿過PQ桿。金屬框繞MN軸分別以角

速度3和3'勻速轉(zhuǎn)動時一，小球均相對PQ桿靜止。若3'>3,則與

以3勻速轉(zhuǎn)動時相比，以s'勻速轉(zhuǎn)動時（BD）

Nl------------IQ

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球?qū)U壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

解析:設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,形變量為X,彈簧與豎直方向的夾角為

。，MN、PQ間的距離為L,對小球受力分析有kxcos9-mg=0,即豎直

方向受力為0,水平方向有kxsin。土FN=OI32L,當金屬框以3'繞MN

軸轉(zhuǎn)動時一,假設(shè)小球的位置升高，則kx減小,cos9減小，小球受力不

能平衡;假設(shè)小球的位置降低，則kx增大,cos9增大,小球受力同樣

不能平衡，則小球的位置不會變化,彈簧彈力的大小一定不變，故A錯

2

誤,B正確；小球?qū)U的壓力大小Fffi=FN=mwL-kxsin8或F壓=人=

kxsin9-mo'L,所以當角速度變大時壓力大小不一定變大,故C錯誤;

當角速度變大時小球受到的合外力大小一定變大,故D正確。

生活中的圓周運動

1.鐵路彎道的特點

當外軌比內(nèi)軌高時,鐵軌對火車的支持力不再是豎直向上,而是和重

力的合力提供向心力，可以減輕軌道和輪緣的擠壓。最佳情況是向心

力恰好由支持力和重力的合力提供,鐵軌的內(nèi)、外軌均不受到側(cè)向擠

壓的力。

(1)受力分析:如圖所示，火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓

心,成為使火車拐彎的向心力。

⑵動力學方程:根據(jù)牛頓第二定律得mgtan。初等其中r是轉(zhuǎn)彎處

軌道的半徑,V。是使內(nèi)、外軌均不受力的最佳速度。

(3)結(jié)論:解上述方程可知見2=rgtan9

可見,最佳情況是由v。、r、。共同決定的。

當火車實際速度為v時,可有三種可能：

當v=v°時，內(nèi)、外軌均不受側(cè)向擠壓的力；

當v>v0時，外軌受到側(cè)向擠壓的力(這時向心力增大，外軌提供一部

分力)；

當V〈v。時，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力(這時向心力減小，內(nèi)軌提供一部

分力)。

2.拱形橋的最高點與最低點

⑴如果汽車在拱形橋上,如圖甲以某一速度v通過拱形橋的最高點

”2

時，滿足mg-F^m—o

r

結(jié)論:①汽車對橋面的壓力小于汽車受到的重力mgo

②汽車行駛的速度越大,汽車對橋面的壓力越小。

③當速度不斷增大時,壓力會不斷減小，當達到某一速度時,汽車對橋

面完全沒有壓力，汽車“飄離”橋面。

mg

甲乙

(2)如果是凹形橋,如圖乙所示，以某一速度v通過凹形橋的最低點時,

、V2

滿足F-mg=m—o

2r

3.離心現(xiàn)象的受力特點

(1)離心運動的實質(zhì)是物體逐漸遠離圓心的物理現(xiàn)象，它的本質(zhì)是物

體慣性的表現(xiàn)，總是有沿著圓周切線飛出去的趨勢,之所以沒有飛出

去是因為受到向心力作用，一旦作為向心力的合外力消失,物體就會

沿切線方向飛出去。

（2）物體做離心運動不是因為物體受到離心力的作用，而是由于外力

不能提供足夠的向心力,所謂的“離心力”實際并不存在。

考向1車輛轉(zhuǎn)彎問題

［典例5］如圖所示為賽車場的一個水平U形彎道，轉(zhuǎn)彎處為圓心在0

點的半圓，內(nèi)、外半徑分別為r和2ro一輛質(zhì)量為m的賽車從AB線

經(jīng)彎道到達A'B，線，有如圖所示的①②③三條路線,其中路線③是

以0'為圓心的半圓,00'=r,賽車沿圓弧路線行駛時,路面對輪胎的

最大徑向靜摩擦力為Fg。選擇路線,賽車以不打滑的最大速率通過彎

道（所選路線內(nèi)賽車速率不變，發(fā)動機功率足夠大），則以下說法錯誤

的是（B）

A.選擇路線①,賽車經(jīng)過的路程最短

B.選擇路線②,賽車的速率最小

C.選擇路線③,賽車所用的時間最短

D.在①②③三條路線上,賽車的向心加速度大小相等

解析：選擇路線①,經(jīng)歷的路程s,=2r+nr,選擇路線②,經(jīng)歷的路程

S2=2nr+2r,選擇路線③,經(jīng)歷的路程s3=2nr,可知選擇路線①賽車

經(jīng)過的路程最短,故A說法正確;根據(jù)F網(wǎng)初藝得,v=乒,選擇路線①,

rym

軌道半徑最小，則速率最小，故B說法錯誤;根據(jù)v=a知，通過

7m

①②③三條路線的最大速率之比為1：V2：V2,根據(jù)可知,選擇

V

路線③,賽車所用時間最短,故C說法正確；由牛頓第二定律有F.*ma,

賽車的向心加速度大小相等,故D說法正確。

［備用5］鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。彎道處要求

外軌比內(nèi)軌高,其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān),還與火車在

彎道上的行駛速度v有關(guān)。下列說法正確的是（A）

A.速率v一定時,r越小,要求h越大

B.速率v一定時,r越大,要求h越大

C.半徑r一定時,v越小,要求h越大

D.半徑r一定時,v越大,要求h越小

解析：火車轉(zhuǎn)彎時，圓周平面在水平面內(nèi)，火車以設(shè)計速率行駛時，向

心力剛好由重力mg與軌道支持力FN的合力來提供，如圖所示，則有

mgtan。="，且tan。弋sin。上，其中L為軌間距，是定值，有

rL

mg>—,通過分析可知A正確。

Lr

考向2離心運動

［典例6］賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時一,常常在彎道處沖出跑道,對其原

因的分析以下說法正確的是（C）

A.賽車行駛到彎道時,運動員未能及時轉(zhuǎn)動方向盤

B.賽車行駛到彎道時,運動員沒有及時加速

C.賽車行駛到彎道時,運動員沒有及時減速

D.賽車行駛到彎道附近提前轉(zhuǎn)彎

解析:賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，需要的向心力是由賽車與地面間的

?2

摩擦力提供的。由F初亍知，當v較大時，賽車需要的向心力也較大,

當摩擦力不足以提供其所需的向心力時，賽車將沖出跑道。因此在r

不變時可減小行駛速度;賽車行駛到彎道附近提前轉(zhuǎn)彎可增大轉(zhuǎn)彎半

徑,則所需向心力減小。

［備用6］如圖所示,洗衣機的甩干筒在轉(zhuǎn)動時有一衣物附在筒壁上,則

此時（D）

A.衣物受到重力、筒壁的彈力、摩擦力和向心力

B.衣物隨筒壁做圓周運動的向心力是由摩擦力提供的

C.筒壁的彈力隨筒的轉(zhuǎn)速的增大而減小

D.水與衣物間的附著力小于水做圓周運動所需的向心力，水從筒壁小

孔甩出

州國組合曲線運動的分析與求解

平拋運動與圓周運動的組合題，用平拋運動的規(guī)律求解平拋運動問題,

用牛頓運動定律求解圓周運動問題,關(guān)鍵是找到兩者的速度關(guān)系。若

先做圓周運動后做平拋運動，則圓周運動的末速度等于平拋運動的水

平初速度;若物體平拋后進入圓軌道，圓周運動的初速度等于平拋運

動的末速度在圓周切線方向的分速度。

［典例7］如圖所示,質(zhì)量為m=0.2kg的小球(可視為質(zhì)點)從水平桌面

端點A以初速度v。水平拋出，桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道PNM,

其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧,MN為其豎

直直徑。P點到桌面的豎直距離也為R。小球飛離桌面后恰由P點無

2

碰撞地落入圓軌道，g取10m/so

(1)求小球在A點的初速度V。及AP間水平距離x;

⑵求小球到達圓軌道最低點N時對N點的壓力；

⑶判斷小球能否到達圓軌道最高點Mo

解析：(1)小球由A點做平拋運動,在P點恰好沿圓軌道的切線進入軌

道,則小球在P點的豎直分速度為

vy=votan45°=v0,

由平拋運動規(guī)律得Vy=gt,R=￡t,x=v0t,

解得v0=4m/s,x=l.6mo

(2)小球在P點的速度為

v=v22

Vo+vy=4V2m/s,

小球從P點到N點，由動能定理得

22

mgR(l-cos45°)=|mvw-1mv,

小球在N點，由牛頓第二定律得

解得小球所受支持力Fx^ll.17N,

由牛頓第三定律得,小球?qū)點的壓力為FJ=11.17N,方向豎直向下。

⑶假設(shè)小球能夠到達M點,對小球由P點到M點由動能定理得

-mgR(1+cos45°)=1mv'

解得v'=V16-872m/s,

小球能夠完成圓周運動,在M點應(yīng)有

2.__

即VM2癡於孤m/s,

由V，＜VM知，小球不能到達圓軌道最高點Mo

答案：(l)4m/s1.6m

(2)11.17N方向豎直向下

⑶見解析

［備用7］如圖所示,磁性小球在鐵質(zhì)圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落,好像軌

道對它施加了魔性一樣，小球旋轉(zhuǎn)一周后在C點脫離軌道,投入左邊

內(nèi)軌的某點上，已知豎直圓弧軌道由半徑為2R的左半圓軌道AB和半

徑為R的右半圓軌道BC無縫對接,A、B點處于豎直線上,可看成質(zhì)點、

質(zhì)量為m的小球沿軌道外側(cè)做圓周運動，已知小球受軌道的磁性引力

始終指向圓心且大小恒為F,不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為go

(1)若小球在A點的速度為圖瓦求小球在該點對軌道的彈力;

（2）若磁性引力F可調(diào)整,要使小球能完成完整的圓周運動,求二的最

mg

小值；

⑶若小球從最高點開始沿軌道外側(cè)運動,最后從c點拋出落到左側(cè)

圓軌道上（球脫離軌道后與軌道的引力消失），問小球能否落在與右邊

小圓圓心等高處？如果不能,求出小球的落點與0點的最短豎直距離。

解析：（1）設(shè)在A點軌道對小球向上的彈力大小為口

由牛頓第二定律得

F+mg-F=m—,

NZK

代入數(shù)據(jù)得F=FN,由牛頓第三定律得,小球在A點對軌道的彈力大小為

F,方向豎直向下。

⑵要使小球能完成完整的運動，只需在B點不脫軌即可。

當vA=0時,到達B處速度最小，由動能定理得

17

mg,4R=-mvfi-0,

當小球處于軌道最低點B時，由牛頓第二定律得

FB-mg-FN=m^,

所以FB=9mg+FN,

當F=0時,磁性引力最小,故二的最小值為9o

Nmg

⑶小球能沿軌道運動到C點,設(shè)vA=0,則從A到C的過程中有

2

mg,2R=-mvc-0,

得Vc=2JgR。

若小球落到與右邊小圓圓心等高處,設(shè)從C點以速度V。平拋,則

豎直方向有y=R=1gt2,

水平方向有x=J(2R)2-R2=bR=v°t,

得水平速度'后警

因為Vo<Vc,故小球不可能落在與右邊小圓圓心等高處。

當Vc=2痂時,落點與0點的豎直距離最近，

水平方向有X=Vct,

豎直方向有y=1gt2,

且x2+y2=4R2,

得y=(2V5-4)R,

故小球的落點與。點的豎直距離最小為

h=R-y=(5-2V5)Ro

答案：(1)F,方向豎直向下(2)9(3)(5-2V5)R

(°〃〃/〃/〃課堂訓練)教而福用

1.(圓周運動中各物理量的關(guān)系)修正帶的結(jié)構(gòu)如圖所示，包括上下蓋

座，大、小齒輪,壓嘴座等部件，大、小齒輪分別嵌合于固定的軸孔中,

大、小齒輪相互吻合,a、b點分別位于大、小齒輪的邊緣,c點位于大

齒輪的半徑中點。當修正帶在使用的某個時刻(A)

A.b、c兩點的角速度相同B.a、b兩點的角速度相同

C.a、b兩點的線速度相同D.b點的向心加速度最大

解析:a、b兩點齒輪傳動,線速度大小相同,va=vb,因ra<rb,由v=ar得

3a>3b,由得a>a;b>c兩點同軸轉(zhuǎn)動，兩點角速度大小相

Vnanb

2

等，3b=3c,因rb>rc,由an=?r得,anb>anco綜合得,選項A正確。

2.（圓周運動的動力學分析）（多選）如圖所示,兩個質(zhì)量均為m的小木

塊a和b（可視為質(zhì)點）放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸00'的距離為l,b

與轉(zhuǎn)軸的距離為21。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k

倍,重力加速度大小為g,若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動,

用3表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度。下列說法正確的是（AC）

°：ab

jnn

A.b一定比a先開始滑動

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.3=騰是b開始滑動的臨界角速度

D.當3=舊時,a所受摩擦力的大小為kmg

解析:a與b所受的最大摩擦力相等,而b需要的向心力較大,所以b

先滑動,A項正確;在未滑動之前,a、b各自受到的摩擦力提供其向心

力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力,B項錯誤;b處于臨界狀

態(tài)時有kmg=m32?21,解得3=J”,C項正確；同理可得a的臨界角速

度為3'=照，3=再小于a的臨界角速度,a所受摩擦力

2

F=Fn=mal=|kmg,D項錯誤。

3.（豎直平面內(nèi)的圓周運動）一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一

端0為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動,如圖所示,則

下列說法正確的是（A）

A

A.小球過最高點時，桿所受到的彈力可以等于零

B.小球過最高點的最小速度是/證

C.小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大

D.小球過最高點時,桿對球的作用力一定隨速度增大而減小

解析:輕桿可對小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過最高點的速度可以

為零，當小球過最高點的速度v=J證時，桿所受的彈力等于零,A正

_____2

確,B錯誤;若瓦則桿在最高點對小球的彈力豎直向上,mg-F=m^-,

隨v增大,F減小，若v>J證，則桿在最高點對小球的彈力豎直向

?2

下,mg+F=m3,隨v增大,F增大,選項C、D均錯誤。

4.（圓周運動實例分析）一輛汽車在丘陵地上以不變的速率行駛，地形

如圖所示。由于輪胎已舊，途中爆了胎。你認為在圖中A、B、C、D四

處中，爆胎的可能性最大的一處是（B）

A.A處B.B處C.C處D.D處

解析:在A處,地面對輪胎的彈力大小等于汽車的重力;在B處,汽車做

圓周運動,加速度方向豎直向上,根據(jù)牛頓運動定律知,汽車處于超重

狀態(tài)，地面對汽車的彈力大于其重力；在C處,汽車做圓周運動,加速

度方向豎直向下,根據(jù)牛頓運動定律知,汽車處于失重狀態(tài)，地面對汽

車的彈力小于其重力;在D處，地面對汽車的彈力大小等于重力垂直

于斜面的分力，也小于重力。則在B處汽車受到地面的彈力最大,最容

易爆胎，故選項B正確。

5.（組合曲線運動）如圖所示,水平傳送帶以5m/s恒定速率順時針轉(zhuǎn)

動,一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊輕輕放在傳送帶上的A點，隨傳送帶運

動到B點，小物塊從C點沿圓弧切線進入豎直固定的光滑半圓弧軌道

（已知B、C在同一豎直線上），之后沿CD軌道做圓周運動，離開D點后

水平拋出。已知圓弧半徑R=0.9m,軌道最低點為D,D點距水平面的

高度h=0.8mo（g取10m/s?,忽略空氣阻力）

\/\h

K

⑴求小物塊剛進入圓軌道時速度的最小值；

⑵若要讓小物塊從D點水平拋出后能垂直撞到傾斜擋板底端E點，

已知擋板固定放在水平面上，擋板傾角。=60°,傳送帶長度SAB=L5m,

求物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)Uo

解析：（1）對小物塊,在C點能夠做圓周運動，由牛頓第二定律得

2

mg.^m—Vc,

解得丫（；與^/^=3m/so

⑵小物塊從D點拋出后,做平拋運動,有h=igt2,

將小物塊在E點的速度進行分解，可得tan。卷,

對小物塊,從C至ljD根據(jù)動能定理有

22

2mgR=|mvD-|mvc,

由于vc=2gm/s<5m/s,所以小物塊在傳送帶上一直加速，從A到B

根據(jù)運動學公式有〃c2=2asAB,

其中a=ug,

解得u=0.4o

答案：（l）3m/s（2）0.4

6.（組合曲線運動）如圖所示，四分之一圓弧軌道的圓心和半圓軌道

的圓心02,與斜面體ABC的豎直面AB在同一豎直面上,兩圓弧軌道銜

接處的距離忽略不計，斜面體ABC的底面BC是水平面，一個視為質(zhì)點、

質(zhì)量m=0.2kg的小球從P點靜止釋放,先后沿兩個圓弧軌道運動,最

后落在斜面體上（不會彈起），不日,一切摩擦，已知AB=9m,BC=12m,

02A=l.1m,四分之一圓弧的半徑和半圓的半徑都是R=0.6m,g取

2

10m/so求：

⑴小球在半圓最低點Q對軌道的壓力；

⑵小球落在斜面上的位置到A點的距離。

2

解析：⑴由機械能守恒定律得,mg?3R=1mv0,

分析小球在Q點受力有卜-1昭=哼-,

A

再由牛頓第三定律知FJ=FN,

聯(lián)立解得FN'=14N,方向豎直向下。

⑵小球離開Q后做平拋運動，如圖,

水平方向上有X=VQ?t,

豎直方向上有y=1gt2,

又由幾何關(guān)系得

QA=02A-R=0.5m,

x=L,cos0,

y=QA+L?sin0,

聯(lián)立解得L=7.5mo

答案：（1）14N方向豎直向下（2）7.5m

課時訓練

阿基礎(chǔ)鞏固

1.（2018?浙江11月選考卷）一質(zhì)量為2.OXIO,kg的汽車在水平公

路上行駛,路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為L4X10!N,當汽車經(jīng)過

半徑為80m的彎道時，下列判斷正確的是（D）

A.汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力

B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.4X10'N

C.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時汽車會發(fā)生側(cè)滑

D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0m/s2

解析:汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是指向圓心

方向的合力，即由摩擦力充當向心力,A錯誤；當汽車轉(zhuǎn)彎時速度為

?2.

20m/s,所需的向心力為F向=m3=lX10'N,沒有超過最大靜摩擦力，

汽車不會發(fā)生側(cè)滑,B、C錯誤;汽車能安全轉(zhuǎn)彎的最大向心加速度為

a=—=7.0m/s2,D正確。

m

2.如圖為車牌自動識別系統(tǒng)的直桿道閘，離地面高為1m的細直桿可

繞0在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。汽車從自動識別線ab處到達直桿處的時

間為3.3s,自動識別系統(tǒng)的反應(yīng)時間為0.3s;汽車可看成高1.6m

的長方體，其左側(cè)面底邊在aa'直線上，且0到汽車左側(cè)面的水平距

離為0.6m,要使汽車安全通過道閘，直桿轉(zhuǎn)動的角速度至少為

(D)

A.—rad/sB.—rad/s

44

C.—rad/sD.—rad/s

612

解析：設(shè)汽車恰好通過道閘時直桿轉(zhuǎn)過的角度為9,由幾何知識得

tan0=與，=1,解得0=，直桿轉(zhuǎn)動的時間t=t汽車一t反應(yīng)時間二(3.3一

0.64

0.3)s=3s,直桿轉(zhuǎn)動的角速度rad/s,故D正確。

3.（2019?江蘇卷）（多選）如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)

做勻速圓周運動。座艙的質(zhì)量為m,運動半徑為R,角速度大小為3,

重力加速度為g,則座艙（BD）

A.運動周期為任

0）

B.線速度的大小為3R

C.受摩天輪作用力的大小始終為mg

D.所受合力的大小始終為ma2R

解析:座艙的周期T衛(wèi)上,故A錯誤;根據(jù)線速度與角速度的關(guān)

V0）

系,v=3R,故B正確;座艙做勻速圓周運動,摩天輪對座艙的作用力與

重力大小不相等,其合力提供向心力，合力大小為F合=m32R,故C錯

誤,D正確。

4.（2021?溫州期末）如圖所示，某同學表演蕩秋千，已知秋千的兩根

繩長均為10m,該同學和秋千踏板的總質(zhì)量約為60kg。繩的質(zhì)量忽

略不計。該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8m/s,g取

10m/s%此時每根繩子平均承受的拉力約為（B）

A.984NB.500NC.490ND.410N

解析:這是一個“雙重建?！眴栴}。在應(yīng)用牛頓運動定律時.，必須把人

看成質(zhì)點,沒必要考慮各部分速度差異這些次要因素。而在計算圓周

運動半徑時一，則要考慮人身體大小,半徑R明顯小于繩長Lo設(shè)在最低

點時每根繩子平均承受的拉力為FT,該同學做圓周運動的半徑為R,則

由牛頓第二定律得2FT-mg=mj,將R=10m代入得F「=492N,故實際上

每根繩子平均承受的拉力應(yīng)略大于492N,選項B正確。

5.在街頭的理發(fā)店門口，常可以看到這樣一個標志:一個轉(zhuǎn)動的圓筒，

外表有彩色螺旋斜條紋,我們感覺條紋在沿豎直方向運動，但條紋實

際在豎直方向并沒有升降,這是由圓筒的轉(zhuǎn)動而使我們的眼睛產(chǎn)生的

錯覺。如圖所示,假設(shè)圓筒上的條紋是圍繞著圓筒、連續(xù)的一條寬帶,

相鄰兩條紋在沿圓筒軸線方向的距離（即螺距）為L=10cm,圓筒沿逆

時針方向（從俯視方向看），以2r/s的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動,我們感覺到升降

方向和速度大小分別為（D）

A.向上，10cm/sB.向上，20cm/s

C.向下,10cm/sD.向下，20cm/s

解析:本題考查勻速圓周運動問題。彩色螺旋斜條紋是從左下到右上,

且圓筒沿逆時針方向（俯視）轉(zhuǎn)動,人眼觀察某一個空間位置處的彩色

條紋，由于圓筒在轉(zhuǎn)動，經(jīng)過很小的時間間隔At后，左側(cè)條紋代替右

側(cè)條紋，根據(jù)人眼的視覺暫留現(xiàn)象，人眼錯認為原來的點向下移動了

一小段，就會感覺條紋的運動方向向下。由于圓筒每秒轉(zhuǎn)2圈，則轉(zhuǎn)

1圈的時間為0.5s,而螺距為10cm,所以每秒沿豎直方向運動的距

離為20cm,即速度大小為20cm/s,選項D正確。

6.如圖所示,長為L的輕桿,一端固定一個質(zhì)量為m的小球,另一端固

定在水平轉(zhuǎn)軸0上,現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸0在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動,角速度為

以某時刻桿對球的作用力恰好與桿垂直,則此時桿與水平面的夾角

e滿足（A）

A.sin9tane=—

99

ed

C.sin9---zD.tan

a)LCd2L

解析：由題意知，因小球做勻速圓周運動,合外力提供向心力，故小球

受合外力的方向沿桿指向0點,對小球受力分析如圖所示,受重力與

桿的作用力,所以有sin9=—=—,A?o

mgg

7.如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的

角速度3轉(zhuǎn)動,盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保

持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為子（設(shè)最大靜摩擦力等于

滑動摩擦力），盤面與水平面的夾角為30°,g取10m/s?。則3的最大

值是（C）

A.V5rad/sB.V3rad/s

C.1.0rad/sD.0.5rad/s

解析:物體隨圓盤做圓周運動,運動到最低點時最易滑動，剛要滑動時

有最大角速度，根據(jù)牛頓第二定律有Rmgcos300-mgsin30°=mw2r,

解得a=1.0rad/s,選項C正確。

8.由上海飛往洛杉磯的飛機與由洛杉磯返航飛往上海的飛機,若往返

飛行時間相同,且飛經(jīng)太平洋上空時等高勻速飛行，飛行中兩種情況

比較（C）

A.飛機上乘客對座椅的壓力兩種情況相等

B.飛機上乘客對座椅的壓力前者稍大于后者

C.飛機上乘客對座椅的壓力前者稍小于后者

D.飛機上乘客對座椅的壓力可能為零

解析:考慮到地球自西向東轉(zhuǎn)動,而兩次飛行時間相同，則兩次飛行速

?2

度不同，由上海飛往洛杉磯時飛行速度較大，由mg-FN=n￡知,v越大FN

R

越小,V遠小于第一宇宙速度,R不可能為零。

9.有一種秋千叫“輪子秋”，即豎起大板車輪柱，下輪壓重物固定，上

輪綁一木梯,在木梯兩端拴上繩子,如圖1,為了理解“輪子秋”的趣

味性,作如圖2所示的簡化圖：水平細桿的a0和0b部分的長度分別為

L和L2,甲、乙兩物體的質(zhì)量分別為叫和m2,系統(tǒng)繞。所在的豎直軸勻

速轉(zhuǎn)動,兩等長細繩與豎直方向的夾角分別為a和B,下列說法正確

的是(D)

圖1圖2

A.若LI=L2,且mi>m2,則a>B

B.若LI=L2,且mi<m2,則a>B

C.若L,>L2,則a可能等于B

D.若LI>L2,則a一定大于B

解析:物體質(zhì)量用m表示,細繩與豎直方向夾角用0表示,細桿一端到

軸心的距離為L,細繩長為x,角速度為3,則mgtan9=mw2(L+x?

sin0),可得L=(=J-x)sin0,0°W。<90°,當。增大時，

cose減小，2。G增大,sin。增大，故L增大,A、B、C錯誤,D正確。

a)￡cos0

何能力提升

10.蛙式電動打夯機是一種結(jié)構(gòu)簡單、操作方便的夯實機械,在建筑施

工中被廣泛采用。本機主要由夯頭架、傳動裝置、前軸裝置、拖盤、

操縱手柄、電器設(shè)備和潤滑系統(tǒng)等組成。如圖1為電動打夯機的實物

圖，圖2是其工作原理的示意圖,在電動機的軸上裝一個偏心飛輪,飛

輪的質(zhì)量為m,其重心離軸心的距離為r,裝置其余部分的質(zhì)量為M,當

電動機轉(zhuǎn)動時，打夯機的底座在地面上跳動將地面筑緊。則為了使機

座跳離地面(A)

B.電動機的最小角速度應(yīng)是回

7mr

C.電動機的最大角速度應(yīng)是叵逼

D.電動機的最大角速度應(yīng)是陛

7mr

解析：當偏心飛輪轉(zhuǎn)至圖中最高點,且偏心飛輪對機座向上拉力Fi=Mg

時,機座對地面的壓力為零,機座將跳離地面。則對于偏心飛輪在最高

點時,機座對偏心飛輪的向下拉力大小為F/=Fb根據(jù)牛頓第二定律

有Fi'+mg=mo）o2r,電動機的最小角速度應(yīng)是

11.（多選）如圖所示，內(nèi)壁光滑的玻璃管內(nèi)用長為L的輕繩懸掛一個

小球，小球的直徑略小于管的內(nèi)徑。當玻璃管繞豎直軸以角速度3勻

速轉(zhuǎn)動時一，小球與玻璃管間恰無壓力。下列說法正確的是（BD）

A.僅增加繩長,小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膲毫?/p>

B,僅增加繩長,若仍保持小球與玻璃管間無壓力，需減小①

C.僅增加小球質(zhì)量,小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膲毫?/p>

D.僅增加角速度，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛳路降膲毫?/p>

解析:根據(jù)題意可知,mgtan9=mw-r=nio2Lsin。。僅增加繩長，小

球所需向心力變大，則有離心趨勢會擠壓管壁右側(cè)，小球?qū)⑹艿讲Ａ?/p>

管斜向下方的壓力，故A錯誤;僅增加繩長,若仍保持小球與玻璃管間

無壓力，根據(jù)以上分析可知，需減小5故B正確；小球質(zhì)量可以被約

去,增加小球質(zhì)量，小球仍與管壁間無壓力,故C錯誤;僅增加角速度,

小球所需向心力變大，則有離心趨勢會擠壓管壁右側(cè)，小球?qū)⑹艿讲?/p>

璃管斜向下方的壓力，故D正確。

12.長為L的細線一端系一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)，另一端固定

在一光滑錐頂上,光滑錐頂角為29,軸線在豎直方向，如圖甲所示。

使小球在水平面內(nèi)做角速度為3的勻速圓周運動,線的張力為F,經(jīng)分

析可得F_G?關(guān)系圖像如圖乙所示，已知重力加速度為g,貝|J(D)

A.a=mgsin9

B.b=g

L

C.圖線1的斜率ki=mLsin0

D.圖線2的斜率k2=mL

解析：當角速度為零時,對小球受力分析,有F=mgcos。=a，故A錯誤;

小球貼著光滑圓錐做勻速圓周運動，當角速度的二次方達到b時，支

持力為零，有mgtan9=mLsin9?①；解得3M)=丁區(qū)1故B錯誤；小

LcosO

球未脫離圓錐時，有Fsin9-F\cos。=mLsin9,3：Feos。

+Rsin0=mg,聯(lián)立解得F=mgcos9+mLsin29,3；可知圖線1的斜

率ki=mLsin2。，故C錯誤；當小球脫離圓錐后，有Fsina=mL

sina?3；即F=mLG）2,則圖線2的斜率kz=mL,故D正確。

13.（2021?臺州質(zhì)量檢測）如圖所示,長為1=0.75m的輕繩一端固定，

另一端系有質(zhì)量為m=0.25kg的小物塊,在豎直平面內(nèi)做圓周運動，

當運動到最低點時,繩突然斷掉，恰好落在傳動帶左端,落至傳送帶后

物塊速度瞬間變?yōu)?,同時傳送帶開始以v0=4m/s向右傳動,物塊最后

恰能從右端水平飛出。已知此時離傳送帶高度為h=l.25m,水平距離

為s=l.5m（如圖），物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)u=0.2,傳送輪半徑

R=0.4m,重力加速度g取10m/s；忽略空氣阻力。求：

kL..X_____________

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