4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征（第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2.4

隨機(jī)變量的數(shù)字特征第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)實(shí)例,理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.2.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

離散型隨機(jī)變量的方差

a2D(X)p(1-p)np(1-p)名師點(diǎn)睛離散型隨機(jī)變量ξ的期望與方差過(guò)關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題改編]將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次,X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).則E(X)=

,D(X)=

.

2.已知隨機(jī)變量X,D(X)=,則X的標(biāo)準(zhǔn)差為

.

2

1解析

∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1.3.已知X的分布列為

X-101P0.50.30.2求D(X).解

E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例1】

已知X的分布列如下:(1)求X2的分布列;(2)計(jì)算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.(3)因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.規(guī)律方法

方差的計(jì)算方法方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).變式訓(xùn)練1[人教A版教材習(xí)題]已知隨機(jī)變量X的分布列為

X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X+7).(注:σ(X)是指隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差)解

由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84,∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36,探究點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差【例2】

設(shè)X的分布列為

(k=0,1,2,3,4,5),則D(3X)=(

)A.10 B.30 C.15 D.5A變式探究

本例題條件不變,求D(5X+2).規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)注點(diǎn)(1)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列.(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算.(3)對(duì)于二項(xiàng)分布,關(guān)鍵是通過(guò)題設(shè)環(huán)境確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后直接應(yīng)用公式計(jì)算.變式訓(xùn)練2(多選題)[2023浙江杭州高二期中]某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為,記X=a2+a3+a4+a5,則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)(

)A.X服從二項(xiàng)分布ABC探究點(diǎn)三均值、方差的實(shí)際應(yīng)用【例3】

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊水平.解

(1)由題意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績(jī)比較穩(wěn)定,所以甲比乙的射擊水平高.規(guī)律方法

利用均值和方差的意義解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看一下誰(shuí)的平均水平高.(2)在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過(guò)計(jì)算方差,分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)均值和方差得出結(jié)論.變式訓(xùn)練3甲、乙兩種零件某次性能測(cè)評(píng)的分值ξ,η的分布如下,則性能更穩(wěn)定的零件是

.

ξ8910P0.30.20.5η8910P0.20.40.4乙

解析

由題意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76,D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56.因?yàn)镈(η)<D(ξ),所以乙更穩(wěn)定.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123456789101112131415A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且期望E(X)=3,p=,則方差D(X)等于(

)C解析

由于二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望E(X)=np=3,所以二項(xiàng)分布的方差D(X)=np(1-p)=,故選C.1234567891011121314152.[探究點(diǎn)一]已知隨機(jī)變量X的分布列為

A123456789101112131415A1234567891011121314154.[探究點(diǎn)二]設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿(mǎn)足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,則D(Y)=(

)A. B.3 C.6 D.8C1234567891011121314155.[探究點(diǎn)一·2023吉林長(zhǎng)春高二階段練習(xí)](多選題)設(shè)0<p<1,已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則下列結(jié)論正確的是(

)ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)隨著p的增大而增大AD1234567891011121314156.[探究點(diǎn)一]已知隨機(jī)變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=

.(結(jié)果用數(shù)字表示)

1234567891011121314157.[探究點(diǎn)二]若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為

;的最大值為

.

123456789101112131415B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.(多選題)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則(

)ACD1234567891011121314159.將3個(gè)完全相同的小球放入3個(gè)盒子中,盒子的容量不限,且每個(gè)小球落入盒子的概率相等.記X為分配后所剩空盒的個(gè)數(shù),Y為分配后不空盒子的個(gè)數(shù),則(

)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C123456789101112131415D12345678910111213141511.某人共有三發(fā)子彈,他射擊一次命中目標(biāo)的概率是,擊中目標(biāo)后射擊停止,射擊次數(shù)X為隨機(jī)變量,則方差D(X)=

.

12345678910111213141512.已知袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)球,其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球,從袋中無(wú)放回地隨機(jī)取出3個(gè)球,記取出黑球的個(gè)數(shù)為X,則E(X)=

,D(X)=

.

12345678910111213141513.某財(cái)經(jīng)雜志發(fā)起一項(xiàng)調(diào)查,旨在預(yù)測(cè)某地經(jīng)濟(jì)前景,隨機(jī)訪問(wèn)了100位業(yè)內(nèi)人士,根據(jù)被訪問(wèn)者的問(wèn)卷得分(滿(mǎn)分10分)將經(jīng)濟(jì)前景預(yù)期劃分為三個(gè)等級(jí)(悲觀、尚可、樂(lè)觀).分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)及這100位被訪問(wèn)者得分頻數(shù)分布情況如下:經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)悲觀尚可樂(lè)觀問(wèn)卷得分12345678910頻數(shù)23510192417974假設(shè)被訪問(wèn)的每個(gè)人獨(dú)立完成問(wèn)卷(互不影響),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),這100位人士的意見(jiàn)即可代表業(yè)內(nèi)人士意見(jiàn),且他們預(yù)測(cè)各等級(jí)的頻率可估計(jì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)各等級(jí)發(fā)生的可能性.123456789101112131415(1)該雜志記者又隨機(jī)訪問(wèn)了兩名業(yè)內(nèi)人士,試估計(jì)至少有一人預(yù)測(cè)該地經(jīng)濟(jì)前景為“樂(lè)觀”的概率;(2)某人有一筆資金,現(xiàn)有兩個(gè)備選的投資意向:物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目或人工智能項(xiàng)目,兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率都與該地經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)有關(guān),根據(jù)經(jīng)驗(yàn),大致關(guān)系如下(正數(shù)表示贏利,負(fù)數(shù)表示虧損):經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)樂(lè)觀尚可悲觀物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率/%124-4人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率/%75-2根據(jù)以上信息,請(qǐng)分別計(jì)算這兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率的期望與方差,并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出投資建議.123456789101112131415

123456789101112131415設(shè)投資物聯(lián)網(wǎng)和人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001

856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000

561.∵E(X1)>E(X2),∴投資物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目比投資人工智能項(xiàng)目平均年回報(bào)率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投資人工智能項(xiàng)目比投資物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率穩(wěn)定性更高,風(fēng)險(xiǎn)要小,∴建議投資人工智能項(xiàng)目.123456789101112131415C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.已知m,n均為正數(shù),隨機(jī)變量X的分布列如下表:X012Pmnm則下列結(jié)論一定成立的是(

)A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤ D.D(X+1)<1BCD12345678910111213141512345678910111213141515.某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷(xiāo),定價(jià)為5元/瓶.酸奶在試銷(xiāo)售期間足量供應(yīng),每天的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷(xiāo)量的頻率估計(jì)概率.試銷(xiāo)結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣(mài)出的只能作廢.該早餐店以試銷(xiāo)售期間的銷(xiāo)量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷(xiāo)量為(45,55]時(shí)看作銷(xiāo)量為50瓶).123456789101112131415(1)設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學(xué)的知識(shí)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)123456789101112131415解

(1)若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為