2.6.1函數(shù)的單調(diào)性課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1函數(shù)的單調(diào)性北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性.3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù),能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.理解函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.5.掌握已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”知識(shí)點(diǎn)1

導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系1.若在某個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)

;

2.若在某個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)

.

單調(diào)遞增單調(diào)遞減名師點(diǎn)睛1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應(yīng)注意f'(x)>0(或f'(x)<0)僅是函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充分條件.2.若在某個(gè)區(qū)間上,f'(x)≥0,且只在有限個(gè)點(diǎn)為0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;若在某個(gè)區(qū)間上,f'(x)≤0,且只在有限個(gè)點(diǎn)為0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.思考辨析在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增是f'(x)>0的什么條件?提示

必要不充分條件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則一定有f'(x)>0.(

)(3)若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(

)××√2.[2024湖北武漢月考]函數(shù)y=ex-e2x的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

[2,+∞)解析

由題得y'=ex-e2≥0,可得x≥2.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+∞).知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)內(nèi):導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象較大

比較“

”

(向上或向下)較小

比較“

”

(向上或向下)較快陡峭較慢平緩名師點(diǎn)睛1.原函數(shù)的圖象通常只看增(減)變化,而導(dǎo)函數(shù)的圖象通常對(duì)應(yīng)只看正(負(fù))變化.2.導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值大(小)對(duì)應(yīng)著原函數(shù)圖象的“陡峭”(平緩).弄清楚兩個(gè)對(duì)應(yīng)就能準(zhǔn)確快速地分析函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系.思考辨析如何借助導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象確定函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間?提示

在y=f'(x)的圖象上找出使f'(x)>0的x的取值范圍,則f(x)在該取值范圍單調(diào)遞增;在y=f'(x)的圖象上找出使f'(x)<0的x的取值范圍,則f(x)在該取值范圍單調(diào)遞減.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在某一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值為正,函數(shù)單調(diào)遞增;導(dǎo)數(shù)值為負(fù),函數(shù)單調(diào)遞減.(

)(2)函數(shù)圖象越“陡峭”,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大;函數(shù)圖象越“平緩”,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越小.反之,亦成立.(

)√√2.已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,那么f(x)的圖象最有可能是圖中的(

)D解析

由題意可知,當(dāng)x<0或x>2時(shí),導(dǎo)函數(shù)f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),導(dǎo)函數(shù)f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)的圖象可能是選項(xiàng)D.知識(shí)點(diǎn)3

已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1.解題步驟:函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)→f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間[a,b]上恒成立→利用分離參數(shù)法或函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題→對(duì)等號(hào)單獨(dú)驗(yàn)證2.注意事項(xiàng):一般地,要檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'(x)=0,則由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)取值范圍為最后解.3.解決該類問題常用的有關(guān)結(jié)論:m≥f(x)恒成立?

;

m≤f(x)恒成立?

.

m≥f(x)maxm≤f(x)min自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,一般轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,多用分離參數(shù)的方法.(

)(2)對(duì)于?x∈D,a≥f(x)恒成立可以先求出函數(shù)y=f(x)(x∈D)的最大值ymax,然后a的取值范圍即為a≥ymax.(

)√√2.若函數(shù)f(x)=ax+cosx在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.(-1,0)B解析

f'(x)=a-sin

x,由題意得f'(x)=a-sin

x≥0,即a≥sin

x在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立.因?yàn)閥=sin

x∈[-1,1],所以a≥1恒成立,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).故選B.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一判斷函數(shù)的單調(diào)性角度1.單調(diào)性的證明

規(guī)律方法

關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的問題(1)首先考慮函數(shù)的定義域,所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個(gè)前提下進(jìn)行.(2)若f'(x)>(或<)0,則f(x)單調(diào)遞增(或遞減).但要特別注意,若f(x)單調(diào)遞增(或遞減),則f'(x)≥0(或f'(x)≤0).變式訓(xùn)練1證明:函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增.角度2.不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例2】

求f(x)=3x2-2ln

x的單調(diào)區(qū)間.規(guī)律方法

求不含參數(shù)的函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟

變式訓(xùn)練2函數(shù)f(x)=ln

x+2x+的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)B角度3.含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間【例3】

(1)[2024福建福州期末]若a>0,則函數(shù)y=a(x3-x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

(2)討論函數(shù)f(x)=ax2+x-(a+1)ln

x(a≥0)的單調(diào)性.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.規(guī)律方法

1.討論參數(shù)要全面,做到不重不漏.2.解不等式時(shí)若涉及分式不等式,要注意結(jié)合定義域化簡(jiǎn),也可轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.變式訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)=xlnx+m的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A(2)已知函數(shù)f(x)=ex+(m+1)x(m∈R),討論f(x)的單調(diào)性.解

f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex+m+1,當(dāng)m+1≥0,即m≥-1時(shí),f'(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)m+1<0,即m<-1時(shí),由f'(x)>0,得x>ln(-m-1),由f'(x)<0,得x<ln(-m-1),∴f(x)在(-∞,ln(-m-1))內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(-m-1),+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)m≥-1時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)m<-1時(shí),f(x)在(-∞,ln(-m-1))內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(-m-1),+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.探究點(diǎn)二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍【例4】

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

由已知得f'(x)=3x2-a,因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立,即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立.因?yàn)?x2≥0,所以只需a≤0.又因?yàn)閍=0時(shí),f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函數(shù).所以實(shí)數(shù)a滿足a≤0.所以a的取值范圍為(-∞,0].變式探究1若函數(shù)f(x)=x3-ax-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求a的取值.解

由f'(x)=3x2-a,①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,不滿足題意.變式探究2若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍.解

由題意可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,解得a≥3,即a的取值范圍是[3,+∞).變式探究3若函數(shù)f(x)=x3-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)不單調(diào),求a的取值范圍.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0,不合題意,當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0,得∵f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)不單調(diào),∴0<<1,即0<a<3.故a的取值范圍為(0,3).規(guī)律方法

已知f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的單調(diào)性,求參數(shù)范圍的方法:(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的問題,則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集;(2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的問題,則f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒成立,注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立.探究點(diǎn)三函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系【例5】已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則滿足f'(x)<f(x)的x的取值范圍為(

)A.(0,4) B.(-∞,0)∪(1,4)D.(0,1)∪(4,+∞)D解析

觀察圖象,可得導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象過點(diǎn)(0,0),,原函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,0),(2,0),觀察圖象可得滿足f'(x)<f(x)的x的取值范圍為(0,1)∪(4,+∞),故選D.規(guī)律方法

函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來分析判斷,即符號(hào)為正,函數(shù)圖象上升;符號(hào)為負(fù),函數(shù)圖象下降.看導(dǎo)函數(shù)圖象,主要是看圖象在x軸上方還是下方,即關(guān)心導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),而不是其單調(diào)性.解決問題時(shí),一定要分清圖象是函數(shù)圖象還是其導(dǎo)函數(shù)圖象.變式訓(xùn)練4在同一坐標(biāo)系中畫出三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象,下列一定不正確的序號(hào)是(

)A.①②

B.①③

C.③④

D.①④C解析

當(dāng)f'(x)>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,故可得,①②中函數(shù)圖象的增減趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的;而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)圖象不遞減,故錯(cuò)誤;④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)圖象不遞減,故錯(cuò)誤.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.(3)函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系.2.方法歸納:分類討論、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):研究函數(shù)的單調(diào)性忽略函數(shù)的定義域;函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象混淆.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練181.[探究點(diǎn)一(角度2)]函數(shù)f(x)=cosx-x在(0,π)上的單調(diào)性是(

)A.先增后減 B.先減后增C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減D解析

易知f'(x)=-sin

x-1,x∈(0,π),故f'(x)<0,則f(x)=cos

x-x在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減.1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)三·2024山東威海期末]已知f(x)在R上是可導(dǎo)函數(shù),f(x)的圖象如圖所示,則不等式f'(x)>0的解集為(

)A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-2,-1)∪(1,2)C解析

因?yàn)閒(x)在(-∞,-1),(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以f'(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).1234567891011121314151617183.[探究點(diǎn)一(角度2)]函數(shù)f(x)=lnx-4x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)二]若函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[1,+∞) B.[0,1]C.(-∞,1] D.(0,1)A解析

f'(x)=3x2-2ax-1,∵f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)上恒成立,∴f'(0)≤0,f'(1)≤0,∴a≥1.1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)一(角度1)]（多選題）定義在R上的函數(shù)f(x),若(x-1)·f'(x)<0,則下列各項(xiàng)正確的是(

)A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)與2f(1)大小不定CD1234567891011121314151617186.[探究點(diǎn)一(角度2)]已知函數(shù)f(x)=-x2+3x-2lnx,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

(1,2)令f'(x)>0,解得1<x<2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2).1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)一(角度3)]函數(shù)f(x)=(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

(-1,1)1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)一(角度3)]已知曲線f(x)=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2.(1)求a的值;(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解

(1)∵f(x)=(ax+1)ex,∴f'(x)=(ax+1+a)ex.∵曲線f(x)=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2,∴f'(0)=2,∴(1+a)e0=2,∴a=1.(2)由(1)得f(x)=(x+1)ex,f'(x)=(x+2)ex,∴令f'(x)<0,則x∈(-∞,-2),令f'(x)>0,則x∈(-2,+∞),∴當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-2,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.123456789101112131415161718123456789101112131415161718(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.123456789101112131415161718令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因?yàn)閤=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內(nèi),故舍去.當(dāng)x∈(0,5)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(0,5)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(5,+∞)時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,5).123456789101112131415161718B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.

若函數(shù)f(x)=x3-3kx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),則實(shí)數(shù)k的值為(

)A.1 B.-1 C.3 D.-3A解析

由f'(x)=3x2-3k,已知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1),故-1,1是3x2-3k=0的兩根,-1×1=-k,解得k=1,故選A.12345678910111213141516171811.若函數(shù)f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞) C.(0,3]D.(0,3)D解析

由題意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),∵函數(shù)f(x)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間,∴f'(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3).故選D.12345678910111213141516171812.

已知函數(shù)f(x)=x3+2x-2sinx,若f(a)+f(1-2a)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(-∞,1)B解析

f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=-x3-2x+2sin

x=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),又因?yàn)閒'(x)=3x2+2-2cos

x≥0恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),所以f(x)在R上單調(diào)遞增.由f(a)+f(1-2a)>0得f(a)>f(2a-1),所以a>2a-1,解得a<1,故選B.12345678910111213141516171813.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖,則關(guān)于以下函數(shù)值的大小關(guān)系,一定正確的是(

)A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)<f(c)<f(d)C.f(b)<f(0)<f(c) D.f(c)<f(d)<f(e)D解析

由f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象可知,f(x)在(a,b),(c,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在(b,c)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(a)<f(b),A錯(cuò)誤;f(b)>f(0)>f(c),B,C錯(cuò)誤;f(c)<f(d)<f(e),D正確.123456789101112131415161718A12345678910111213141516171815.已知函數(shù)f(x)=2ax-,若f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為

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12345678910111213141516171816.[2024上海浦東新區(qū)期末]已知定義在(-π,π)上的函數(shù)f(x)=xcos(x+φ)-cosx(0<φ<