2022-2023學年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高二下學期期末聯(lián)考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因為，所以.故選:B.2.若復數z滿足，則復數z的虛部為（）A.-I B. C.-1 D.1〖答案〗C〖解析〗設，因為，所以，故，得到，故選為：C.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，.故選：A4.南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．若“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數構成一個數列，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，，，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：D.5.已知p：，q：，則p是q的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要〖答案〗D〖解析〗取，滿足，但不成立，故充分性不成立；取，滿足，但不成立，故必要性不成立.所以p是q的既不充分也不必要條件.故選:D.6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，，若EC與BD交于點O，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，所以，因為三點共線，所以，得.故選：A7.設點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關于原點對稱，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：由題意可知，為、中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設，則，所以，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.8.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，則.令，則,所以函數在上單調遞增，所以,即,所以在上單調遞增,所以,所以,即，即.設,所以,所以在上單調遞增,所以,所以,即,即,即.綜上所述，.故選:C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對實數a，b，c，d，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則的最小值是2〖答案〗BC〖解析〗選項A，當，，故選項A錯誤；選項B，因為，，所以，由不等式性質知，，故選項B正確；選項C，，，所以，由不等式性質知，，故選項C正確；選項D，因為，，當且僅當時取等號，所以等號取不到，選項D錯誤.故選：BC.10.已知圓O：和圓M：相交于A，B兩點，點C是圓M上的動點，定點P的坐標為，則下列說法正確的是（）A.圓M的圓心為，半徑為1B.直線AB的方程為C.線段AB的長為D.的最大值為6〖答案〗BCD〖解析〗選項A，因為圓M的標準方程為，所以圓心圓心為，半徑為1，故選項A錯誤；選項B，因為圓O：和圓M：相交于A，B兩點，兩圓相減得到，即，故選B正確；選項C，由選項B知，圓心到直線的距離為，所以，故選項C正確；選項D，因為,，所以，又圓的半徑為1，故的最大值為，故選項D正確.故選項：BCD.11.已知，函數，下列選項正確的有（）A.若的最小正周期，則B.當時，函數的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像C.若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是D.若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗選項A，由余弦函數圖像與性質，可得，又，所以得，所以選項A正確；選項B，當時，可得，將函數的圖象向右平移個單位長度后得，所以選項B錯誤；選項C，若在區(qū)間上只有一個零點，由，得到解得，所以，得到，所以C正確,選項C，若在區(qū)間上單調遞增，則，解得，又因為，所以只有當時，此不等式有解，即，所以D錯誤；故選：AC．12.在棱長為的正方體中，、分別為、的中點，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.過點、、的平面截正方體所得的截面周長為C.當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的體積為D.點為正方形內一點，當平面時，的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，因為，所以，異面直線與所成角為，因為，則，，故異面直線與所成角的余弦值為，A對；對于B選項，延長分別交直線、于點、，連接交于點，連接交于點，連接、，故過點、、的平面截正方體所得的截面為五邊形，因為，則，則，因為，則，則，，因為，，，則，故，同理可得，因為，，，則，同理可得，又因為，因此，五邊形的周長為，B對；對于C選項，因為平面，，將三棱錐補成長方體，如下圖所示：其中，，則長方體的外接球直徑為，故，因此，三棱錐的外接球的體積為，C錯；對于D選項，分別取、、的中點、、，連接、、、、，因為且，點、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，所以，，又因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，且平面，則當時，平面，則有平面，因為，同理可得，，當時，即當點為的中點時，的長取最小值，此時，，D對.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.平潭城關中學校團委準備開展高三“喊樓”活動，決定從學生會文娛部的3名男生和2名女生中，隨機選取2人負責活動的主持工作，則恰好選中一名男生和一名女生的概率為______．〖答案〗〖解析〗從3名男生和2名女生中隨機選取兩人，

基本事件總數，

兩人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件個數，

則兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是．故〖答案〗為:．14.請寫出一個同時滿足下列個條件的函數：______．①；②；③在上單調遞增；〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則該函數的定義域為，對于①，，①滿足；對于②，，②滿足；對于③，當時，，則，所以，函數在上單調遞增，③滿足.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量上的投影向量為______．（用表示）〖答案〗〖解析〗因為向量，的夾角為，且，，所以，向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為:.16.已知函數存在唯一的極值點，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數的定義域為，且，依題意可得存在唯一的變號正實根，即存在唯一的變號正實根，當時，，方程只有唯一變號正實根，符合題意，當，方程，即沒有除之外的正實根，令，則，所以當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，解得此時，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則函數存在唯一的極值點，合乎題意.綜上可得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．17.已知數列滿足，．（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列落入區(qū)間的所有項的和．解：（1）由，可知，，得，且，所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，所以，即；（2）由題意，即，解得：，即，故落入區(qū)間的項為，所以其和.18.為了促進五一假期期間全區(qū)餐飲服務質量的提升，平潭某旅游管理部門需了解游客對餐飲服務工作的認可程度．為此該部門隨機調查了500名游客，根據這500名游客對餐飲服務工作認可程度給出的評分分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中x的值和第80百分位數；（2）為了解部分游客給餐飲服務工作評分較低的原因，該部門從評分低于80分的游客中用分層抽樣的方法隨機選取30人作進一步調查，求應選取評分在的游客人數；（3）若游客的“認可系數”（）不低于0.85．餐飲服務工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進一步整改根據你所學的統(tǒng)計知識，結合“認可系數”，判斷餐飲服務工作是否需要進一步整改，井說明理由．解：（1）由圖可知：，解得.

因為內的頻率為，所以第百分位數位于區(qū)間內，設為，所以，解得，所以第百分位數為.（2）低于分的學生中三組學生的人數比例為，則應選取評分在的學生人數為：（人）；（3）由圖可知，認可程度平均分為：，所以“餐飲服務工作”需要進一步整改.19.已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且．（1）證明：；（2）若，，，求AM的長度．解：（1）由，得，則，由正弦定理和余弦定理得：，化簡得；（2）如圖：在中，，又因為，所以，所以，所以，由，得，在中，，所以.20.如圖，三棱臺中，，D是AC的中點，E是棱BC上的動點．（1）若平面，確定的位置.（2）已知平面ABC，且．設直線與平面所成的角為，試在（1）的條件下，求的最大值．解：（1）連接,由三棱臺中，是的中點可得,所以四邊形為平行四邊形，故,平面,平面,故平面,又平面，且平面，，所以平面平面，又平面平面,平面平面,故,由于是的中點,故是的中點，故點在邊的中點處，平面;（2）因為平面，平面,所以,又平面,故平面,由于平面,所以,由（1）知：在邊的中點，是的中點,所以,進而，連接,由所以四邊形為平行四邊形，故,由于平面，因此平面，故兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系；設，則，故，設平面的法向量為，則，取，則，又，故，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.21.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．（1）建立適當的平面直角坐標系，求的方程；（2）過點A的直線l與交于P，Q兩點，，若點M滿足，證明：點M在一條定直線上．解：（1）如圖，連接交于點，以點為坐標原點，方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，則，，即，，，，直線方程：，，則，，則，解得，，雙曲線.（2）由題意，直線的斜率存在，則其方程可設為，聯(lián)立可得，消去可得：，，，化簡得，設，則，，，，，，，設，，，，，則，，，，，，，解得，由，，則在同一直線上，即，故在直線上.22.已知函數，其中、．（1）若，討論函數的單調性；（2）已知、是函數的兩個零點，且，證明：．解：（1）若，即，可得，①若，則，即的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②若，令得，令可得，此時，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當時，函數的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由題意知、是的兩個零點，且，即，，所以，即，要證：，只需證：，即證：，即證：，令，即證：，令，可得，即在上單調遞增，則，即，設，有，所以在上單調遞減，則，即.綜上可得：.福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，因為，所以.故選:B.2.若復數z滿足，則復數z的虛部為（）A.-I B. C.-1 D.1〖答案〗C〖解析〗設，因為，所以，故，得到，故選為：C.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，.故選：A4.南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．若“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數構成一個數列，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，，，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：D.5.已知p：，q：，則p是q的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要〖答案〗D〖解析〗取，滿足，但不成立，故充分性不成立；取，滿足，但不成立，故必要性不成立.所以p是q的既不充分也不必要條件.故選:D.6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，，若EC與BD交于點O，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，所以，因為三點共線，所以，得.故選：A7.設點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關于原點對稱，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：由題意可知，為、中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設，則，所以，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.8.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設，則.令，則,所以函數在上單調遞增，所以,即,所以在上單調遞增,所以,所以,即，即.設,所以,所以在上單調遞增,所以,所以,即,即,即.綜上所述，.故選:C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對實數a，b，c，d，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則的最小值是2〖答案〗BC〖解析〗選項A，當，，故選項A錯誤；選項B，因為，，所以，由不等式性質知，，故選項B正確；選項C，，，所以，由不等式性質知，，故選項C正確；選項D，因為，，當且僅當時取等號，所以等號取不到，選項D錯誤.故選：BC.10.已知圓O：和圓M：相交于A，B兩點，點C是圓M上的動點，定點P的坐標為，則下列說法正確的是（）A.圓M的圓心為，半徑為1B.直線AB的方程為C.線段AB的長為D.的最大值為6〖答案〗BCD〖解析〗選項A，因為圓M的標準方程為，所以圓心圓心為，半徑為1，故選項A錯誤；選項B，因為圓O：和圓M：相交于A，B兩點，兩圓相減得到，即，故選B正確；選項C，由選項B知，圓心到直線的距離為，所以，故選項C正確；選項D，因為,，所以，又圓的半徑為1，故的最大值為，故選項D正確.故選項：BCD.11.已知，函數，下列選項正確的有（）A.若的最小正周期，則B.當時，函數的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像C.若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是D.若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗選項A，由余弦函數圖像與性質，可得，又，所以得，所以選項A正確；選項B，當時，可得，將函數的圖象向右平移個單位長度后得，所以選項B錯誤；選項C，若在區(qū)間上只有一個零點，由，得到解得，所以，得到，所以C正確,選項C，若在區(qū)間上單調遞增，則，解得，又因為，所以只有當時，此不等式有解，即，所以D錯誤；故選：AC．12.在棱長為的正方體中，、分別為、的中點，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.過點、、的平面截正方體所得的截面周長為C.當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的體積為D.點為正方形內一點，當平面時，的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，因為，所以，異面直線與所成角為，因為，則，，故異面直線與所成角的余弦值為，A對；對于B選項，延長分別交直線、于點、，連接交于點，連接交于點，連接、，故過點、、的平面截正方體所得的截面為五邊形，因為，則，則，因為，則，則，，因為，，，則，故，同理可得，因為，，，則，同理可得，又因為，因此，五邊形的周長為，B對；對于C選項，因為平面，，將三棱錐補成長方體，如下圖所示：其中，，則長方體的外接球直徑為，故，因此，三棱錐的外接球的體積為，C錯；對于D選項，分別取、、的中點、、，連接、、、、，因為且，點、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，、分別為、的中點，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，所以，，又因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，且平面，則當時，平面，則有平面，因為，同理可得，，當時，即當點為的中點時，的長取最小值，此時，，D對.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.平潭城關中學校團委準備開展高三“喊樓”活動，決定從學生會文娛部的3名男生和2名女生中，隨機選取2人負責活動的主持工作，則恰好選中一名男生和一名女生的概率為______．〖答案〗〖解析〗從3名男生和2名女生中隨機選取兩人，

基本事件總數，

兩人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件個數，

則兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是．故〖答案〗為:．14.請寫出一個同時滿足下列個條件的函數：______．①；②；③在上單調遞增；〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則該函數的定義域為，對于①，，①滿足；對于②，，②滿足；對于③，當時，，則，所以，函數在上單調遞增，③滿足.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量上的投影向量為______．（用表示）〖答案〗〖解析〗因為向量，的夾角為，且，，所以，向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為:.16.已知函數存在唯一的極值點，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數的定義域為，且，依題意可得存在唯一的變號正實根，即存在唯一的變號正實根，當時，，方程只有唯一變號正實根，符合題意，當，方程，即沒有除之外的正實根，令，則，所以當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，解得此時，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則函數存在唯一的極值點，合乎題意.綜上可得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．17.已知數列滿足，．（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列落入區(qū)間的所有項的和．解：（1）由，可知，，得，且，所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，所以，即；（2）由題意，即，解得：，即，故落入區(qū)間的項為，所以其和.18.為了促進五一假期期間全區(qū)餐飲服務質量的提升，平潭某旅游管理部門需了解游客對餐飲服務工作的認可程度．為此該部門隨機調查了500名游客，根據這500名游客對餐飲服務工作認可程度給出的評分分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中x的值和第80百分位數；（2）為了解部分游客給餐飲服務工作評分較低的原因，該部門從評分低于80分的游客中用分層抽樣的方法隨機選取30人作進一步調查，求應選取評分在的游客人數；（3）若游客的“認可系數”（）不低于0.85．餐飲服務工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進一步整改根據你所學的統(tǒng)計知識，結合“認可系數”，判斷餐飲服務工作是否需要進一步整改，井說明理由．解：（1）由圖可知：，解得.

因為內的頻率為，所以第百分位數位于區(qū)間內，設為，所以，解得，所以第百分位數為.（2）低于分的學生中三組學生的人數比例為，則應選取評分在的學生人數為：（人）；（3）由圖可知，認可程度平均分為：，所以“餐飲服務工作”需要進一步整改.19.已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且．（1）證明：；（2）若，，，求AM的長度