2022-2023學(xué)年廣東省韶關(guān)市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省韶關(guān)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A.4 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)有，，故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標(biāo)原點，則（）A.1 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，，∴．故選:D．3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以.故選：A.4.已知，是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，當(dāng)，時，直線m，n相交，異面，平行都有可能；對于B，還少了條件，，才能得到相應(yīng)的結(jié)論；對于C，當(dāng)，時，，m與相交但不垂直都有可能；對于D，設(shè)直線的方向向量分別為，若，，則平面，的一個法向量分別為，且，所以，所以D正確，故選：D．5.部分圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，可化為所以，故為偶函數(shù)，圖形關(guān)于y軸對稱，排除B，D選項；令可得，或，由，解得，，由，解得，所以函數(shù)最小的正零點為，當(dāng)時，，，，排除A，故選：C.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則向量在向量上的投影向量為.故選：B．7.已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖所示，延長，交于點T，則因為平分，，所以，，因為P在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因為，所以，當(dāng)三點共線時取等號，即點和點Q距離的最大值為3，故選：C8.已知函數(shù)，若有兩個零點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故時，至多有一個零點；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時最小值為，①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，即，故沒有零點；③當(dāng)時，即，又；，由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．所以有兩個零點，a的取值范圍為；故選:A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.事件A與事件B為互斥事件，則事件A與事件B為對立事件B.事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件C.若，，則D.一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1〖答案〗BCD〖解析〗A.事件A與事件B為互斥事件，但事件A與事件B不一定是對立事件，故錯誤；B.事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件，故正確；C.因為，，所以，故正確；D.如一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1，故正確；故選：BCD10.將函數(shù)的圖象每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄賹⑺脠D象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最大值是2 B.是一個增區(qū)間C.是圖象的一個對稱中心 D.是圖象的一條對稱軸〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)的圖象每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到函?shù)，再將所得圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到.對于A，當(dāng)時，取最大值，最大值是2，故A正確；對于B，由得，所以是一個增區(qū)間，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，所以是圖象的一個對稱中心，故C正確；對于D，，故是對稱中心，則不是圖象的一條對稱軸，故D錯誤．故選：ABC．11.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.是的前項和，則C.當(dāng)為偶數(shù)時 D.的通項公式是〖答案〗AD〖解析〗數(shù)列滿足，，因為，，所以，，B錯；由題意，①，②，由②①得，，由，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，綜上所述，對任意的，，C錯D對；，A對.故選：AD.12.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，設(shè)線段的中點為P，以線段為直徑的圓P交y軸于M，N兩點，過P且與y軸垂直的直線交拋物線于點H，則（）A.圓P與拋物線準(zhǔn)線相切 B.存在一條直線l使C.對任意一條直線l有 D.有最大值，且最大值為〖答案〗ACD〖解析〗若直線軸，則直線l與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意．設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，，因為，，，所以，從而到準(zhǔn)線的距離為，而圓P的直徑為，所以，故圓P與拋物線的準(zhǔn)線相切，選項A正確；由韋達定理可得，，，，所以不存在一條直線l使，選項B不正確；因為，，，所以，從而，所以，由拋物線定義可得，從而，選項C正確；因為，，，所以圓P的直徑為，則，點P到y(tǒng)軸的距離為，∴，所以當(dāng)時，最小，最小值為，D正確．故選:ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中第三項系數(shù)為________（用具體數(shù)字作答）．〖答案〗7〖解析〗由題意可知，展開式的通項公式為，令，則第三項為，所以系數(shù)為.故〖答案〗為：14.已知，則________．〖答案〗1〖解析〗因為，所以，故〖答案〗為：115.三棱錐中,平面,,,,則三棱錐P-ABC外接球的體積是________．〖答案〗〖解析〗如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設(shè)三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,所以球心O到面的距離為,由正弦定理有:,所以,.故〖答案〗為:.16.某次考試準(zhǔn)備了A、B、C三份試題，開考前從中隨機選擇一份作為當(dāng)場考試試題，試題A和試題B被選上的概率都是0.3，如果試題是A或C，考生甲通過的概率都是0.8．如果試題是B，考生甲通過的概率是0.6，則該場考試考生甲能通過的概率是________．〖答案〗0.74〖解析〗設(shè)事件考生甲考試卷A為事件A，考試卷B為事件B，考試卷C為事件C，考生甲能通過考生為事件D，由題知：，，，，．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角B；（2）延長至D點，若，的面積為，，求的長．解：（1）由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為：，因為，所以，所以，，因為，所以，；（2）因為，所以，所以，在中，由正弦定理得：，所以，在中，，即，所以，由余弦定理得：，即：，所以.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，設(shè)的前n項和為，證明：.解：（1）解法一：設(shè)的公比為q，由題得：，即，解得或，因為，所以，，所以；解法二：設(shè)的公比為q，由，，所以，是方程的兩個根，所以或，所以或，因為，所以，，所以.（2）由（1）可得：所以，因，所以.19.“顆顆黑珠樹中藏，此物只在五月有．游人過此嘗一顆，滿嘴酸甜不思歸．”東魁楊梅是夏天的甜蜜饋贈．每批次的東魁楊梅進入市場前都必須進行兩輪檢測，只有兩輪檢測都通過才能進行銷售，否則不能銷售，已知第一輪檢測不通過的概率為，第二輪檢測不通過的概率為，兩輪檢測是否通過相互獨立．（1）求一個批次楊梅不能銷售的概率；（2）如果楊梅可以銷售，則該批次楊梅可獲利400元；如果楊梅不能銷售，則該批次楊梅虧損800元（即獲利元）．已知現(xiàn)有4個批次的楊梅，記4批次的楊梅（各批次楊梅銷售互相獨立）獲利元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“一個批次楊梅不能銷售”為事件A，則，所以一個批次楊梅不能銷售的概率為.（2）依據(jù)題意，X的取值為，，，400，1600，，，，，，所以X的分布列為：X4001600P20.如圖①所示，在中，，，，D，E分別是線段，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖②．（1）若點N在線段上，且，求證：平面；（2）若M是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）在中，過N作交于點F．因為，所以，在三角形中，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面（2）解法一：因為，，所以，所以，．因為，，平面，所以平面，所以平面．又由，可建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令得，可取平面的法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成夾角的余弦值為解法二：如圖所示，因為，，所以，所以，，因為，，平面，所以平面，所以，又，，，平面所以平面在中，過M作，交于點G，在平面中，過G作交直線于點H，由平面可得平面，所以即為平面與平面夾角．在中，由M為中點可得：，G為中點，在中，，所以，．所以，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．21.已知函數(shù)，，．（1）求曲線過坐標(biāo)原點的切線方程；（2）若在恒成立，求的取值范圍．解：（1）定義域為，，設(shè)所求切線的切點為，則，則所求切線方程為，將代入可得：，故，故所求切線方程為．（2）解法一：依題意在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，∵，，∴存在，使得，即，∴，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減．∴，又，∴，則，即．∴．∴，即實數(shù)的取值范圍為．解法二：，，可設(shè)，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，只需，上恒成立．設(shè)，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，∴，故實數(shù)的取值范圍為．22.已知橢圓的離心率是，且過點．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C的左、右頂點分別為，，且P，Q為橢圓C上異于，的點，若直線過點，是否存在實數(shù)，使得恒成立．若存在，求實數(shù)的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意，，，解得：①．∵點在橢圓C上，∴②聯(lián)立①、②，解得，,故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）解法一：由（1）知，．當(dāng)直線斜率不存在時，．與橢圓聯(lián)立可得，，則，，故而，可得；得當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)，令，，則，．聯(lián)立消去y并整理，得，則由韋達定理得，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，即，整理得，變形為，則，即，即即或，得或．當(dāng)時，．此時，，整理得，解得與題設(shè)矛盾，所以所以．解法二：由（1）知，，．可設(shè)，，．聯(lián)立，得，由韋達定理得：，，所以，所以故存在實數(shù)，滿足題設(shè)條件．廣東省韶關(guān)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A.4 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)有，，故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標(biāo)原點，則（）A.1 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，，∴．故選:D．3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以.故選：A.4.已知，是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，當(dāng)，時，直線m，n相交，異面，平行都有可能；對于B，還少了條件，，才能得到相應(yīng)的結(jié)論；對于C，當(dāng)，時，，m與相交但不垂直都有可能；對于D，設(shè)直線的方向向量分別為，若，，則平面，的一個法向量分別為，且，所以，所以D正確，故選：D．5.部分圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，可化為所以，故為偶函數(shù)，圖形關(guān)于y軸對稱，排除B，D選項；令可得，或，由，解得，，由，解得，所以函數(shù)最小的正零點為，當(dāng)時，，，，排除A，故選：C.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則向量在向量上的投影向量為.故選：B．7.已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如圖所示，延長，交于點T，則因為平分，，所以，，因為P在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因為，所以，當(dāng)三點共線時取等號，即點和點Q距離的最大值為3，故選：C8.已知函數(shù)，若有兩個零點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故時，至多有一個零點；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時最小值為，①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，即，故沒有零點；③當(dāng)時，即，又；，由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．所以有兩個零點，a的取值范圍為；故選:A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.事件A與事件B為互斥事件，則事件A與事件B為對立事件B.事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件C.若，，則D.一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1〖答案〗BCD〖解析〗A.事件A與事件B為互斥事件，但事件A與事件B不一定是對立事件，故錯誤；B.事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件，故正確；C.因為，，所以，故正確；D.如一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1，故正確；故選：BCD10.將函數(shù)的圖象每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，再將所得圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最大值是2 B.是一個增區(qū)間C.是圖象的一個對稱中心 D.是圖象的一條對稱軸〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)的圖象每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫胶瘮?shù)，再將所得圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到.對于A，當(dāng)時，取最大值，最大值是2，故A正確；對于B，由得，所以是一個增區(qū)間，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，所以是圖象的一個對稱中心，故C正確；對于D，，故是對稱中心，則不是圖象的一條對稱軸，故D錯誤．故選：ABC．11.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.是的前項和，則C.當(dāng)為偶數(shù)時 D.的通項公式是〖答案〗AD〖解析〗數(shù)列滿足，，因為，，所以，，B錯；由題意，①，②，由②①得，，由，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，綜上所述，對任意的，，C錯D對；，A對.故選：AD.12.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，設(shè)線段的中點為P，以線段為直徑的圓P交y軸于M，N兩點，過P且與y軸垂直的直線交拋物線于點H，則（）A.圓P與拋物線準(zhǔn)線相切 B.存在一條直線l使C.對任意一條直線l有 D.有最大值，且最大值為〖答案〗ACD〖解析〗若直線軸，則直線l與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意．設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，，因為，，，所以，從而到準(zhǔn)線的距離為，而圓P的直徑為，所以，故圓P與拋物線的準(zhǔn)線相切，選項A正確；由韋達定理可得，，，，所以不存在一條直線l使，選項B不正確；因為，，，所以，從而，所以，由拋物線定義可得，從而，選項C正確；因為，，，所以圓P的直徑為，則，點P到y(tǒng)軸的距離為，∴，所以當(dāng)時，最小，最小值為，D正確．故選:ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中第三項系數(shù)為________（用具體數(shù)字作答）．〖答案〗7〖解析〗由題意可知，展開式的通項公式為，令，則第三項為，所以系數(shù)為.故〖答案〗為：14.已知，則________．〖答案〗1〖解析〗因為，所以，故〖答案〗為：115.三棱錐中,平面,,,,則三棱錐P-ABC外接球的體積是________．〖答案〗〖解析〗如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設(shè)三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,所以球心O到面的距離為,由正弦定理有:,所以,.故〖答案〗為:.16.某次考試準(zhǔn)備了A、B、C三份試題，開考前從中隨機選擇一份作為當(dāng)場考試試題，試題A和試題B被選上的概率都是0.3，如果試題是A或C，考生甲通過的概率都是0.8．如果試題是B，考生甲通過的概率是0.6，則該場考試考生甲能通過的概率是________．〖答案〗0.74〖解析〗設(shè)事件考生甲考試卷A為事件A，考試卷B為事件B，考試卷C為事件C，考生甲能通過考生為事件D，由題知：，，，，．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角B；（2）延長至D點，若，的面積為，，求的長．解：（1）由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為：，因為，所以，所以，，因為，所以，；（2）因為，所以，所以，在中，由正弦定理得：，所以，在中，，即，所以，由余弦定理得：，即：，所以.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，設(shè)的前n項和為，證明：.解：（1）解法一：設(shè)的公比為q，由題得：，即，解得或，因為，所以，，所以；解法二：設(shè)的公比為q，由，，所以，是方程的兩個根，所以或，所以或，因為，所以，，所以.（2）由（1）可得：所以，因，所以.19.“顆顆黑珠樹中藏，此物只在五月有．游人過此嘗一顆，滿嘴酸甜不思歸．”東魁楊梅是夏天的甜蜜饋贈．每批次的東魁楊梅進入市場前都必須進行兩輪檢測，只有兩輪檢測都通過才能進行銷售，否則不能銷售，已知第一輪檢測不通過的概率為，第二輪檢測不通過的概率為，兩輪檢測是否通過相互獨立．（1）求一個批次楊梅不能銷售的概率；（2）如果楊梅可以銷售，則該批次楊梅可獲利400元；如果楊梅不能銷售，則該批次楊梅虧損800元（即獲利元）．已知現(xiàn)有4個批次的楊梅，記4批次的楊梅（各批次楊梅銷售互相獨立）獲利元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“一個批次楊梅不能銷售”為事件A，則，所以一個批次楊梅不能銷售的概率為.（2）依據(jù)題意，X的取值為，，，400，1600，，，，，，所以X的分布列為：X4001600P20.如圖①所示，在中，，，，D，E分別是線段，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖②．（1）若點N在線段上，且，求證：平面；（2）若M是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）在中，