2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)玉林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得.故選：D.2.在以下調(diào)查中，適合用全面調(diào)查的是（）A.調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例 B.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率C.調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑 D.調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積〖答案〗D〖解析〗全面調(diào)查是對調(diào)查對象的所有單位一一進(jìn)行調(diào)查的調(diào)查方式，對于A，調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于B，調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于，調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑，調(diào)查數(shù)目較多，且具有破壞性，可以使用抽樣調(diào)查；對于D，調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查.故選：D.3.若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（）A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以平面四邊形為平行四邊形，又，在方向上?shù)量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形.故選：C.4.如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點(diǎn)測得的仰角為，，，（單位：），（點(diǎn)在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，所以，又，由正弦定理可得，，，在中，，所以（m）.故選：C.5.用斜二測畫法作出的水平放置的直觀圖如圖所示，其中，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，可得原圖形的圖形如圖所示，其中，則，繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為以為底面圓半徑，為高的圓錐，該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的表面積.故選：D.6.一個盒子里裝有標(biāo)號為的5張標(biāo)簽，無放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，則兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：總的基本事件為，共10個，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件為，共4個，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是.故選：C.7.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則以下命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗A項(xiàng)中，若，，，則平面有可能平行，也有可能相交，故A項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)中，若，，則或，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)中，若，，則直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C項(xiàng)錯誤；D項(xiàng)中，若，，則，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由，為上一點(diǎn)，且滿足，則，又由三點(diǎn)共線，則，即，因?yàn)?，則，則的值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.沙糖桔網(wǎng)店2022年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2022年這一年的收支情況，下列說法中正確的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.11月份的利潤最大〖答案〗AC〖解析〗觀察圖象知，月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元，A正確；由圖可知，月份的利潤表，月份123456789101112利潤/萬元203020103030604030305030因此月份的總利潤為，B錯誤；由利潤表可知，這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，C正確；由利潤表可知，7月份的利潤最大，D錯誤.故選：AC.10.已知是單位向量，且，則（）A.與垂直 B.C.與的夾角為 D.在上投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AD〖解析〗，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B錯誤；因?yàn)?，，設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故錯誤；在上的投影向量坐標(biāo)為，所以D對.故選：AD.11.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有2個解B.若，則C.若，則為直角三角形D.若為銳角三角形，且，則的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗：由正弦定理得，則，此時無解，錯誤；B：，則，又，所以，故正確；C：因?yàn)椋?，即，所以，又，所以，所以，所以，即為直角三角形，故正確；：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，則，故的取值范圍為，正確.故選：BCD.12.如圖，正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于，如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，則有平面，平面，平面，，平面.平面平面，平面，平面，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；對于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線與平面所成角，由已知得：，所以中，，即B錯誤；對C，如圖3所示，因?yàn)槠矫?，作交延長線于，連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，由得，所以，即C正確；對于D，如圖4所示，連接，延長交于點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為等腰梯形，，梯形高為，所以梯形的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)與的兩邊分別平行，若，則__________.〖答案〗或〖解析〗根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補(bǔ)，所求角為或.故〖答案〗為：或.14.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約_____________石（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.〖答案〗〖解析〗依題意可得米內(nèi)夾谷比例為，所以這批米內(nèi)有谷子石.故〖答案〗為：.15.若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的向量分別為和，則的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，得，則，，的面積為.故〖答案〗為：.16.如圖，四邊形為菱形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為_________.〖答案〗〖解析〗由已知得三棱錐是棱長為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，由內(nèi)切球的球心與正四面體的表面構(gòu)成四個三棱錐，由體積分割可得，解得；又正四面體的棱長可看成是正方體的面對角線，外接球的直徑即為體對角線的長，即有，即，則，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比為：.故〖答案〗為：.四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.甲?乙兩個人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）2人中恰有1個人譯出密碼的概率；（2）2人中至少有1人譯出密碼的概率.解：（1）設(shè)“甲獨(dú)立地譯出密碼”，“乙獨(dú)立地譯出密碼”，“甲不能獨(dú)立地譯出密碼”，“乙不能獨(dú)立地譯出密碼”，“2人中恰有1個人譯出密碼”，為相互獨(dú)立事件，與與與相互獨(dú)立，且，，且兩個事件為互斥事件，.（2）設(shè)“2人中至少有1個人譯出密碼”，方法一：.方法二：.18.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，解得，故當(dāng)實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則滿足，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.如圖，在正方體中為的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.解：（1）正方體中為的中點(diǎn)，底面.（2）方法一：證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，且平面平面平面；是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，且平面平面，平面，且，平面，平面，平面平面.方法二：連接，且，中，且平面平面平面；又中，且平面平面，平面；且，平面，平面，平面平面.20.在中，分別是角的對邊，.（1）求角的大小；（2）若是的內(nèi)角平分線，當(dāng)面積最大時，求的長.解：（1）因?yàn)?，得，所以，又，所?（2）在中，由余弦定理得，將，代入得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，所以，此時，在中，，由正弦定理得，解得，故的長為.21.某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.（1）求的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；（2）學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；（3）試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）解：（1），所以，所以該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：分.（2）因?yàn)?，所以這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)，，該次校內(nèi)考試測試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)為，這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為90分.（3），，得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到了內(nèi)，即：得分為52分的同學(xué)的成績沒有進(jìn)入到范圍，得分為94分的同學(xué)的成績進(jìn)入到范圍了.22.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面平面.①當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的余弦值；②在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時的值.解：（1）證明：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴ADAB，BC∥AD，∵BAD60，∴為正三角形；∵為正三角形，且E為AD中點(diǎn)，∴ADPE，且ADBE，∵PEBEE，∴AD平面PBE，∵BC∥AD，∴BC平面PBE，∵BC平面PBC，∴平面PBC平面PBE.（2）①取CD的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M，∵F為PC中點(diǎn)，∴MF∥PD，MF，∴BFM就是異面直線BF和PD所成的角或所成角的補(bǔ)角，∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PEAD，∴PE平面ABCD，∴PEBE，∵菱形ABCD的邊長為2，，∴與是全等的正三角形，∵M(jìn)、E分別為CD、AD的中點(diǎn)，∴PEBEBM，∴在中，，在中，，∴，∴在中，.②設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，延長CB到點(diǎn)N，使得BNBC=2，∵BC平面PBE，∴，∴CHNH，∴CHFHNHFH，∵，∴要使CHFH最小只需NF最短即可，由于點(diǎn)為棱上的動點(diǎn)，故當(dāng)NFPC時，NF最短，此時，點(diǎn)H在棱BP上，在中，，∴，在中，，∵PCBFCN，∴，∴，∴，∵，∴在中，，∴BHBPHP，∴，∴當(dāng)H在線段BP上，且滿足時，可使CHFH的值最小.廣西壯族自治區(qū)玉林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得.故選：D.2.在以下調(diào)查中，適合用全面調(diào)查的是（）A.調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例 B.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率C.調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑 D.調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積〖答案〗D〖解析〗全面調(diào)查是對調(diào)查對象的所有單位一一進(jìn)行調(diào)查的調(diào)查方式，對于A，調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于B，調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；對于，調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑，調(diào)查數(shù)目較多，且具有破壞性，可以使用抽樣調(diào)查；對于D，調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查.故選：D.3.若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（）A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以平面四邊形為平行四邊形，又，在方向上?shù)量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形.故選：C.4.如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點(diǎn)測得的仰角為，，，（單位：），（點(diǎn)在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，所以，又，由正弦定理可得，，，在中，，所以（m）.故選：C.5.用斜二測畫法作出的水平放置的直觀圖如圖所示，其中，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，可得原圖形的圖形如圖所示，其中，則，繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為以為底面圓半徑，為高的圓錐，該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的表面積.故選：D.6.一個盒子里裝有標(biāo)號為的5張標(biāo)簽，無放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，則兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：總的基本事件為，共10個，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件為，共4個，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是.故選：C.7.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則以下命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗A項(xiàng)中，若，，，則平面有可能平行，也有可能相交，故A項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)中，若，，則或，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)中，若，，則直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C項(xiàng)錯誤；D項(xiàng)中，若，，則，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由，為上一點(diǎn)，且滿足，則，又由三點(diǎn)共線，則，即，因?yàn)?，則，則的值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.沙糖桔網(wǎng)店2022年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2022年這一年的收支情況，下列說法中正確的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.11月份的利潤最大〖答案〗AC〖解析〗觀察圖象知，月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元，A正確；由圖可知，月份的利潤表，月份123456789101112利潤/萬元203020103030604030305030因此月份的總利潤為，B錯誤；由利潤表可知，這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，C正確；由利潤表可知，7月份的利潤最大，D錯誤.故選：AC.10.已知是單位向量，且，則（）A.與垂直 B.C.與的夾角為 D.在上投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗AD〖解析〗，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B錯誤；因?yàn)?，，設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故錯誤；在上的投影向量坐標(biāo)為，所以D對.故選：AD.11.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有2個解B.若，則C.若，則為直角三角形D.若為銳角三角形，且，則的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗：由正弦定理得，則，此時無解，錯誤；B：，則，又，所以，故正確；C：因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，即為直角三角形，故正確；：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，則，故的取值范圍為，正確.故選：BCD.12.如圖，正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于，如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，則有平面，平面，平面，，平面.平面平面，平面，平面，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；對于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線與平面所成角，由已知得：，所以中，，即B錯誤；對C，如圖3所示，因?yàn)槠矫?，作交延長線于，連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，由得，所以，即C正確；對于D，如圖4所示，連接，延長交于點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為等腰梯形，，梯形高為，所以梯形的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)與的兩邊分別平行，若，則__________.〖答案〗或〖解析〗根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補(bǔ)，所求角為或.故〖答案〗為：或.14.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約_____________石（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.〖答案〗〖解析〗依題意可得米內(nèi)夾谷比例為，所以這批米內(nèi)有谷子石.故〖答案〗為：.15.若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的向量分別為和，則的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，得，則，，的面積為.故〖答案〗為：.16.如圖，四邊形為菱形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為_________.〖答案〗〖解析〗由已知得三棱錐是棱長為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，由內(nèi)切球的球心與正四面體的表面構(gòu)成四個三棱錐，由體積分割可得，解得；又正四面體的棱長可看成是正方體的面對角線，外接球的直徑即為體對角線的長，即有，即，則，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比為：.故〖答案〗為：.四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.甲?乙兩個人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）2人中恰有1個人譯出密碼的概率；（2）2人中至少有1人譯出密碼的概率.解：（1）設(shè)“甲獨(dú)立地譯出密碼”，“乙獨(dú)立地譯出密碼”，“甲不能獨(dú)立地譯出密碼”，“乙不能獨(dú)立地譯出密碼”，“2人中恰有1個人譯出密碼”，為相互獨(dú)立事件，與與與相互獨(dú)立，且，，且兩個事件為互斥事件，.（2）設(shè)“2人中至少有1個人譯出密碼”，方法一：.方法二：.18.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，解得，故當(dāng)實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則滿足，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.如圖，在正方體中為的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.解：（1）正方體中為的中點(diǎn)，底面.（2）方法一：證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，且平面平面平面；是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，且平面平面，平面，且，平面，平面，平面平面.方法二：連接，且，中，且平面平面平面；又中，且平面平面，平面；且，平面，平面，平面平面.20.在中，分別是角的對邊，.（1）求角的大小；（2）若是的內(nèi)角平分線，當(dāng)面積最大時，求的長.解：（1）因?yàn)椋?，所以，又，所?（2）在中，由余弦定理得，將，代入得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，所以，此時，在中，，由正弦定理得，解得，故的長為.21.某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.（1）求的值，并估計(jì)此次