2023-2024學年河南省南陽市高二下學期期中考試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2河南省南陽市2023-2024學年高二下學期期中考試試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.函數的導數（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數求導得，.故選：A．2.是等差數列的前n項和，若，，則（）A.43 B.44 C.45 D.46〖答案〗C〖解析〗由，，可得且，即且，所以.故選：C.3.函數圖象如圖所示，下列關系正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗根據題意的幾何意義為在點B處切線的斜率，的幾何意義為在點A處切線的斜率，，其幾何意義為割線AB的斜率，則有．故選：C4.在一組樣本數據，，…，（，，，…，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）A.-1 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為這組樣本數據的所有樣本點都在直線上，所以這組樣本數據完全負相關，其相關系數是-1．故選：A．5.已知數列為等比數列，，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因為為等比數列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6.若正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（）A.22 B.24 C.26 D.28〖答案〗B〖解析〗由題意，設等比數列的公比為，因為成等比數列，可得，又因為，即所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.7.剛考入大學的小明準備向銀行貸款a元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款．小明與銀行約定：每個月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為t．則小明每個月所要還款的錢數為（）元．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設小明每個月所要還款的錢數為元，根據等額本息還款法得，第一個月末所欠銀行貸款為：，第二個月末所欠銀行貸款數為：；．．．，第12個月末所欠銀行貸款為：；由于分12次還清所有的欠款，所以，解得.故選：D．8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數p（p＞1）滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（）A.16 B.22 C.23 D.25〖答案〗B〖解析〗因為二二數之剩一的數為的形式，三三數之剩一的數為的形式，其中，則數列的項即為以上兩類數的公共項，即為的形式，，即，因，故數列是等差數列，于是，，則當且僅當，即時取等號．即時，取得最小值22.故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若數列是等比數列，且，則下列結論正確的是（）A.數列是等比數列B.數列是等比數列C.數列是等比數列D.數列是等比數列〖答案〗AC〖解析〗設等比數列的公比為，因為，所以，對于A，，所以數列是等比數列，故A正確；對于B，當時，等比數列為正項常數列，此時，所以數列不等比數列，故B錯誤；對于C，，所以數列是等比數列，故C正確；對于D，，所以數列是等差數列，故D錯誤．故選：AC．10.小明研究函數的圖象與導函數，經查閱資料，發(fā)現具有下面的性質：若函數在上的導函數為，且在上也存在導函數，則稱函數在上存在二階導函數，簡記為．若在區(qū)間上，則稱函數在區(qū)間上為“凹函數”．請你根據以上信息和所學知識，判斷以下函數在其定義域上是“凹函數”的有（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗對于A，，其導數，則有，不符合“凹函數”的定義，故A錯誤；對于B，，定義域為R，其導數，則，在定義域R上不恒成立，不符合“凹函數”的定義，故B錯誤；對于C，，定義域為R，其導數，則有在R上恒成立，符合“凹函數”的定義，故C正確；對于D，，定義域為，其導數，則有在上恒成立，符合“凹函數”的定義，故D正確．故選：CD．11.已知等差數列的公差，數列為正項等比數列，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗設正項等比數列的公比為，由得：，，又，；對于A，，設，，則當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，又，，即，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，由得：，，即，又，，，設，則，在上單調遞增，，，即，C正確；對于D，由得：，，即，又，，；設，則，在上單調遞減，，，即，D正確.故選：BCD.12.設數列為正項等比數列，為公比，為前項的積，且，，，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.與均為的最大值〖答案〗ABD〖解析〗為正項等比數列，，，；對于A，，，，，，又，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，又，，，即，C錯誤；對于D，，，當且時，；當且時，；又，當或時，取得最大值，即與均為的最大值，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知數列{an}的前5項依次為，則的一個通項公式為____________________．〖答案〗〖解析〗根據題意，數列的前5項依次為，即，則的一個通項公式為，故〖答案〗為：14.已知，則______，〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，則.故〖答案〗為：.15.垃圾分類是保護環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進城市精細化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措．某小區(qū)為了倡導居民對生活垃圾進行分類，對垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費用（角）的情況作了調研，并統(tǒng)計得到表中幾組對應數據，同時用最小二乘法得到關于的線性回歸方程為，則下列正確說法的序號是_____．234522.33.4①變量之間呈正相關關系；②可以預測當時，值為6.88；③表中的值為3.9；④樣本中心點為．〖答案〗①②④〖解析〗對于①中，由關于的線性回歸方程為，可得，所以變量之間呈正相關關系，所以①正確；對于②中，由關于的線性回歸方程為，當時，可得，所以②正確；對于③中，由表格中的數據，可得，，可得，解得，所以③錯誤；對于④中，由，，即樣本中心點為，所以④正確.故〖答案〗為：①②④.16.已知數列滿足，且前12項和為134，則_____．〖答案〗1〖解析〗因為，當n為奇數時，，即，，可得；當n為偶數，即，可得，則前12項和為，解得．故〖答案〗為：1四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知曲線．（1）求與直線平行，且與曲線相切的直線方程；（2）設曲線上任意一點處切線的傾斜角為，求的取值范圍．解：（1），，令，解得：；當時，，切線方程為：，即；當時，，切線方程為：，即；綜上所述：所求直線方程為或.（2）由（1）知：，，又，.18.已知數列的前項和．（1）求證：是等差數列；（2）求數列的前項和．解：（1）因為，所以時，，當時，適合上式，故，所以時，，故數列是以為首項，以2為公差的等差數列；（2），當時，，則當時，，故.19.已知公差不為0的等差數列，前n項和為，且，_____．現有條件：；；．請從這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解決下面問題．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列{bn}的前n項和．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）解：（1）設等差數列的公差為d，選條件，可得，，又，解得，所以；選條件可得，，又，解得（舍去），所以；選條件可得，，又，解得，所以.（2），所以＝．20.為了了解高中學生課后自主學習數學時間x（分鐘/每天）和他們的數學成績y（分）的關系，某實驗小組做了調查，得到一些數據（表一）．表一編號12345學習時間x3040506070數學成績y65788599108（1）經分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請求出線性回歸方程，并由此預測每天課后自主學習數學時間為100分鐘時的數學成績．（參考數據：，，的方差為200）（2）基于上述調查，某校提倡學生周末自主學習．經過一學期的實施后，抽樣調查了220位學生．按照是否參與周末自主學習以及成績是否有進步進行統(tǒng)計，得到2×2列聯表（表二）．依據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為“周末自主學習與成績進步”有關．表二沒有進步有進步合計參與周末自主學習35130165末參與周末自主學習253055合計60160220附：，，0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解：（1），，又的方差為，所以，，故，當時，，故預測每天課后自主學習數學時間達到100分鐘時的數學成績?yōu)?40；（2）零假設為H0：學生周末在校自主學習與成績進步無關，根據數據，計算得到：，∵，∴依據的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學習與成績進步”有關．21.設函數，過點作軸的垂線交函數圖象于點，以為切點作函數圖象的切線交軸于點，再過作軸的垂線交函數圖象于點，，以此類推得點，記的橫坐標為，．（1）證明數列為等比數列并求出通項公式；（2）設直線與函數的圖象相交于點，記（其中為坐標原點），求數列的前項和．解：（1）函數，，以點為切點的切線方程為：，當時，，即，又，數列是以為首項，為公比的等比數列,.（2）由題意得：，，…①，則…②，①②得：，.22.在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”．如數列1，2第1次“和擴充”后得到數列1，3，2，第2次“和擴充”后得到數列1，4，3，5，2．設數列a，b，c經過第n次“和擴充”后所得數列的項數記為，所有項的和記為．（1）求；（2）若，求n的最小值；（3）是否存在實數，使得數列為等比數列？若存在，求出滿足的條件；若不存在，說明理由．解：（1）原數列有3項，經第1次“和擴充”后的項數；經第2次“和擴充”后的項數；（2）數列的每一次“和擴充”是在原數列的相鄰兩項中增加一項，設數列經第n次“和擴充”后的項數為，則經第次“和擴充”后增加的項數為，則，則，由（1）得，則數列是首項為4，公比為2的等比數列，則，即，由可得，因，解得，所以n的最小值為10；（3）設第次“和擴充”后數列的各項為，所以，因為數列每一次“和擴充”是在原數列的相鄰兩項中增加這兩項的和，所以，即，所以，即有（*），因，則，由（*）知，要使數列為等比數列，需使(Ⅰ)，或(Ⅱ)，由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且.故存在滿足條件為，且，或，且.河南省南陽市2023-2024學年高二下學期期中考試試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.函數的導數（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數求導得，.故選：A．2.是等差數列的前n項和，若，，則（）A.43 B.44 C.45 D.46〖答案〗C〖解析〗由，，可得且，即且，所以.故選：C.3.函數圖象如圖所示，下列關系正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗根據題意的幾何意義為在點B處切線的斜率，的幾何意義為在點A處切線的斜率，，其幾何意義為割線AB的斜率，則有．故選：C4.在一組樣本數據，，…，（，，，…，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）A.-1 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為這組樣本數據的所有樣本點都在直線上，所以這組樣本數據完全負相關，其相關系數是-1．故選：A．5.已知數列為等比數列，，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因為為等比數列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6.若正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為（）A.22 B.24 C.26 D.28〖答案〗B〖解析〗由題意，設等比數列的公比為，因為成等比數列，可得，又因為，即所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.7.剛考入大學的小明準備向銀行貸款a元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款．小明與銀行約定：每個月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為t．則小明每個月所要還款的錢數為（）元．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設小明每個月所要還款的錢數為元，根據等額本息還款法得，第一個月末所欠銀行貸款為：，第二個月末所欠銀行貸款數為：；．．．，第12個月末所欠銀行貸款為：；由于分12次還清所有的欠款，所以，解得.故選：D．8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數p（p＞1）滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（）A.16 B.22 C.23 D.25〖答案〗B〖解析〗因為二二數之剩一的數為的形式，三三數之剩一的數為的形式，其中，則數列的項即為以上兩類數的公共項，即為的形式，，即，因，故數列是等差數列，于是，，則當且僅當，即時取等號．即時，取得最小值22.故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若數列是等比數列，且，則下列結論正確的是（）A.數列是等比數列B.數列是等比數列C.數列是等比數列D.數列是等比數列〖答案〗AC〖解析〗設等比數列的公比為，因為，所以，對于A，，所以數列是等比數列，故A正確；對于B，當時，等比數列為正項常數列，此時，所以數列不等比數列，故B錯誤；對于C，，所以數列是等比數列，故C正確；對于D，，所以數列是等差數列，故D錯誤．故選：AC．10.小明研究函數的圖象與導函數，經查閱資料，發(fā)現具有下面的性質：若函數在上的導函數為，且在上也存在導函數，則稱函數在上存在二階導函數，簡記為．若在區(qū)間上，則稱函數在區(qū)間上為“凹函數”．請你根據以上信息和所學知識，判斷以下函數在其定義域上是“凹函數”的有（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗對于A，，其導數，則有，不符合“凹函數”的定義，故A錯誤；對于B，，定義域為R，其導數，則，在定義域R上不恒成立，不符合“凹函數”的定義，故B錯誤；對于C，，定義域為R，其導數，則有在R上恒成立，符合“凹函數”的定義，故C正確；對于D，，定義域為，其導數，則有在上恒成立，符合“凹函數”的定義，故D正確．故選：CD．11.已知等差數列的公差，數列為正項等比數列，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗設正項等比數列的公比為，由得：，，又，；對于A，，設，，則當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，又，，即，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，由得：，，即，又，，，設，則，在上單調遞增，，，即，C正確；對于D，由得：，，即，又，，；設，則，在上單調遞減，，，即，D正確.故選：BCD.12.設數列為正項等比數列，為公比，為前項的積，且，，，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.與均為的最大值〖答案〗ABD〖解析〗為正項等比數列，，，；對于A，，，，，，又，，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，又，，，即，C錯誤；對于D，，，當且時，；當且時，；又，當或時，取得最大值，即與均為的最大值，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知數列{an}的前5項依次為，則的一個通項公式為____________________．〖答案〗〖解析〗根據題意，數列的前5項依次為，即，則的一個通項公式為，故〖答案〗為：14.已知，則______，〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，則.故〖答案〗為：.15.垃圾分類是保護環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進城市精細化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措．某小區(qū)為了倡導居民對生活垃圾進行分類，對垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費用（角）的情況作了調研，并統(tǒng)計得到表中幾組對應數據，同時用最小二乘法得到關于的線性回歸方程為，則下列正確說法的序號是_____．234522.33.4①變量之間呈正相關關系；②可以預測當時，值為6.88；③表中的值為3.9；④樣本中心點為．〖答案〗①②④〖解析〗對于①中，由關于的線性回歸方程為，可得，所以變量之間呈正相關關系，所以①正確；對于②中，由關于的線性回歸方程為，當時，可得，所以②正確；對于③中，由表格中的數據，可得，，可得，解得，所以③錯誤；對于④中，由，，即樣本中心點為，所以④正確.故〖答案〗為：①②④.16.已知數列滿足，且前12項和為134，則_____．〖答案〗1〖解析〗因為，當n為奇數時，，即，，可得；當n為偶數，即，可得，則前12項和為，解得．故〖答案〗為：1四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知曲線．（1）求與直線平行，且與曲線相切的直線方程；（2）設曲線上任意一點處切線的傾斜角為，求的取值范圍．解：（1），，令，解得：；當時，，切線方程為：，即；當時，，切線方程為：，即；綜上所述：所求直線方程為或.（2）由（1）知：，，又，.18.已知數列的前項和．（1）求證：是等差數列；（2）求數列的前項和．解：（1）因為，所以時，，當時，適合上式，故，所以時，，故數列是以為首項，以2為公差的等差數列；（2），當時，，則當時，，故.19.已知公差不為0的等差數列，前n項和為，且，_____．現有條件：；；．請從這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解決下面問題．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列{bn}的前n項和．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）解：（1）設等差數列的公差為d，選條件，可得，，又，解得，所以；選條件可得，，又，解得（舍去），所以；選條件可得，，又，解得，所以.（2），所以＝．20.為了了解高中學生課后自主學習數學時間x（分鐘/每天）和他們的數學成績y（分）的關系，某實驗小組做了調查，得到一些數據（表一）．表一編號12345學習時間x3040506070數學成績y65788599108（1）經分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請求出線性回歸方程，并由此預測每天課后自主學習數學時間為100分鐘時的數學成績．（參考數據：，，的方差為200）（2）基于上述調查，某校提倡學生周末自主學習．經過一學期的實施后，抽樣調查了220位學生．按照是否參與周末自主學習以及成績是否有進步進行統(tǒng)計，得到2×2列聯表（表二）．依據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為“周末自主學習與成績進步”有關．表二沒有進步有進步合計參與周末自主