2023-2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以.故選：B.2.方程的解所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對于A，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3.數(shù)據(jù)的45百分位數(shù)為（）A.73 B.76 C.77 D.78〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以這10個(gè)數(shù)的45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)76.故選：B.4.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，根據(jù)投影向量的定義可得在上的投影向量為.故選：A.5.如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊找到在同一直線上的三點(diǎn).從點(diǎn)測得，從點(diǎn)測得，從點(diǎn)測得.若測得（單位：百米），則兩點(diǎn)的距離為（）百米.A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗在中，，，則，，在中，，，，則，，，在中，，，則，.故選：.6.在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗C〖解析〗對于A，連接，如下圖所示：因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)可得，因此可得，而相交，所以錯(cuò)誤，即A錯(cuò)誤；對于B，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：易知，，所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）；不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，顯然，可知不是直角，所以與不垂直，即B錯(cuò)誤；對于C，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得平面，而平面，所以；因?yàn)槭钦叫危?，又，平面，所以平面，又因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，可得平面，即C正確；對于D，如下圖所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面與平面有公共點(diǎn)，可知兩平面必有一條過的共公交線；因此平面平面是錯(cuò)誤的，即D錯(cuò)誤.故選：C.7.如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值為（）A.50 B.80 C.86 D.110〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵谥?，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，所以，，所以.故選：B.8.已知，則值（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.）9.在中，角所對的邊為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對于B，三角形中，已知兩個(gè)角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對于C，由正弦定理，可得，，因，則，因，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知角有兩解，故C錯(cuò)誤；對于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.故選：ABD.10.連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為事件A，“第二次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”記為事件B，“兩次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”記為事件，則下列敘述中正確的有（）A.A與互斥 B.A與相互獨(dú)立C.與對立 D.〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，事件A中的基本事件有，，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，連續(xù)拋擲兩次骰子，共有36種情況，其中事件A中的基本事件數(shù)為12，故，事件C中的基本事件有，，共18種情況，故，事件AC中的基本事件有，共9種情況，故，由于，故A與相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)知，，事件B與事件C不互斥，故不對立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，事件中的基本事件有，，，，，共24種情況，故，D正確.故選：BD.11.如圖，正方形的中心為，邊長為4，將其沿對角線折成直二面角，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的外接球表面積為B.直線與平面所成角的正切值為C.點(diǎn)到平面距離為D.三角形沿直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由于，所以O(shè)為三棱錐的球心，表面積為，A正確；對于B，過M作MH⊥AC于H，則MH⊥平面ABC，所以∠MNH即為直線MN與平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B錯(cuò)誤；對于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距離，C正確；對于D，過O作OT⊥MN于T，則旋轉(zhuǎn)體體積是以O(shè)T為底面半徑，以TM為高的圓錐的體積的兩倍，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知一個(gè)正四棱臺的體積為，上?下底面邊長分別為，則棱臺的高為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)棱臺高為，由棱臺的體積公式知，其中分別為上下底面面積.故〖答案〗為：6.13.若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則由可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，而則表示動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，圓上與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)為，故的最小值是1.故〖答案〗為：1.14.已知的面積為滿足條件，則__________；若，延長至點(diǎn)，使得，則__________.〖答案〗〖解析〗由題得，，因?yàn)?，所以；由可得，設(shè)，由正弦定理可知，所以，如圖所示：過A作，交BC的于E點(diǎn)，，，所以在中可算得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.設(shè).（1）若三點(diǎn)共線，求值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，解得.（2）由，可得，即，解得.16.某保險(xiǎn)公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對某疾病的保險(xiǎn).現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表所示：年齡保費(fèi)（單位：元）（1）若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和內(nèi)的參保人員中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從中選取2人進(jìn)行調(diào)查對該種保險(xiǎn)的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)的概率.（2）由于10000人參加保險(xiǎn)，該公司每年為此項(xiàng)保險(xiǎn)支出的各種費(fèi)用為200萬元.為使公司不虧本，則年齡段的參保人員每人每年需要繳納的保費(fèi)至少為多少元？解：（1）由得，設(shè)“抽取2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)”為事件，由題設(shè)可知，年齡在和內(nèi)的頻率分別為0.16和0.32，則抽取的6人中，年齡在內(nèi)的有2人，年齡在內(nèi)的有4人，記年齡在內(nèi)2位參保人員為，年齡在的4位參保人員為，則從6人中任取2人，樣本空間，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，共包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.（2）保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，所以年齡段需要繳納的保費(fèi)至少為250元.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和.解：（1）易知，因?yàn)?，所以，由正弦函?shù)單調(diào)性可得，則的值域?yàn)?（2）因?yàn)?，所以，由得，所以，解得，所以函?shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為.18.如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面為菱形，，為中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為.（1）求證：//平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的正弦值.解：（1）如圖（1），連接，由三棱柱可知側(cè)面為平行四邊形，所以為中點(diǎn)；又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以//，又平面平面，所以//平面.（2）如圖（2），連接，由菱形可知，因?yàn)?，可得為等邊三角形；因是中點(diǎn)，則，且；由可得，；因?yàn)?，則有，即，又平面平面，故平面.（3）由（2）可知平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；如圖（3），過點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以；因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，可得，在中，，可得，在中，，可得，因?yàn)?，所以，即二面角的正弦值?19.如圖所示，已知是以為斜邊的等腰直角三角形，在中，，.（1）若，求的面積；（2）①求的值；②求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得，，且是等腰直角三角形，則.（2）①設(shè)，因?yàn)?，由余弦定理可得，，，?②在中，，由正弦定理可得，則，，又，在中，由余弦定理得（其中為銳角，且），由可得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以.故選：B.2.方程的解所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對于A，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3.數(shù)據(jù)的45百分位數(shù)為（）A.73 B.76 C.77 D.78〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以這10個(gè)數(shù)的45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)76.故選：B.4.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，根據(jù)投影向量的定義可得在上的投影向量為.故選：A.5.如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊找到在同一直線上的三點(diǎn).從點(diǎn)測得，從點(diǎn)測得，從點(diǎn)測得.若測得（單位：百米），則兩點(diǎn)的距離為（）百米.A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗在中，，，則，，在中，，，，則，，，在中，，，則，.故選：.6.在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗C〖解析〗對于A，連接，如下圖所示：因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)可得，因此可得，而相交，所以錯(cuò)誤，即A錯(cuò)誤；對于B，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：易知，，所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）；不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，顯然，可知不是直角，所以與不垂直，即B錯(cuò)誤；對于C，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得平面，而平面，所以；因?yàn)槭钦叫?，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，可得平面，即C正確；對于D，如下圖所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面與平面有公共點(diǎn)，可知兩平面必有一條過的共公交線；因此平面平面是錯(cuò)誤的，即D錯(cuò)誤.故選：C.7.如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值為（）A.50 B.80 C.86 D.110〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵谥校巧系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，，所以，，所以.故選：B.8.已知，則值（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.）9.在中，角所對的邊為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對于B，三角形中，已知兩個(gè)角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對于C，由正弦定理，可得，，因，則，因，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知角有兩解，故C錯(cuò)誤；對于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.故選：ABD.10.連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為事件A，“第二次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”記為事件B，“兩次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”記為事件，則下列敘述中正確的有（）A.A與互斥 B.A與相互獨(dú)立C.與對立 D.〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，事件A中的基本事件有，，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，連續(xù)拋擲兩次骰子，共有36種情況，其中事件A中的基本事件數(shù)為12，故，事件C中的基本事件有，，共18種情況，故，事件AC中的基本事件有，共9種情況，故，由于，故A與相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)知，，事件B與事件C不互斥，故不對立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，事件中的基本事件有，，，，，共24種情況，故，D正確.故選：BD.11.如圖，正方形的中心為，邊長為4，將其沿對角線折成直二面角，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的外接球表面積為B.直線與平面所成角的正切值為C.點(diǎn)到平面距離為D.三角形沿直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由于，所以O(shè)為三棱錐的球心，表面積為，A正確；對于B，過M作MH⊥AC于H，則MH⊥平面ABC，所以∠MNH即為直線MN與平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B錯(cuò)誤；對于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距離，C正確；對于D，過O作OT⊥MN于T，則旋轉(zhuǎn)體體積是以O(shè)T為底面半徑，以TM為高的圓錐的體積的兩倍，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知一個(gè)正四棱臺的體積為，上?下底面邊長分別為，則棱臺的高為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)棱臺高為，由棱臺的體積公式知，其中分別為上下底面面積.故〖答案〗為：6.13.若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則由可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，而則表示動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，圓上與原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)為，故的最小值是1.故〖答案〗為：1.14.已知的面積為滿足條件，則__________；若，延長至點(diǎn)，使得，則__________.〖答案〗〖解析〗由題得，，因?yàn)?，所以；由可得，設(shè)，由正弦定理可知，所以，如圖所示：過A作，交BC的于E點(diǎn)，，，所以在中可算得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.設(shè).（1）若三點(diǎn)共線，求值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)?，，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，解得.（2）由，可得，即，解得.16.某保險(xiǎn)公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對某疾病的保險(xiǎn).現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表所示：年齡保費(fèi)（單位：元）（1）若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和內(nèi)的參保人員中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從中選取2人進(jìn)行調(diào)查對該種保險(xiǎn)的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)的概率.（2）由于10000人參加保險(xiǎn)，該公司每年為此項(xiàng)保險(xiǎn)支出的各種費(fèi)用為200萬元.為使公司不虧本，則年齡段的參保人員每人每年需要繳納的保費(fèi)至少為多少元？解：（1）由得，設(shè)“抽取2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)”為事件，由題設(shè)可知，年齡在和內(nèi)的頻率分別為0.16和