2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.正方體中，，分別為棱，中點(diǎn)，則與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，，，因?yàn)椋謩e為棱，中點(diǎn)，所以，所以為與所成角，因?yàn)樵谡襟w中，，所以為等邊三角形，所以.故選：C.3.已知向量，滿足：，，，則（）A. B.5 C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：B.4.如圖，將一個(gè)圓柱4等份切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，則原圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，則原圓柱的表面積為，新幾何體的表面積為，故，原圓柱的側(cè)面積為.故選：B.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得.故選：A.6.已知向量，，滿足：，且，則三角形的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋允侨切蔚闹匦?，又因?yàn)椋允侨切蔚耐庑?，所以三角形是等邊三角?故選：D.7.設(shè)為銳角，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由為銳角，得，而，因此，所以.故選：B.8.在中，點(diǎn)，在邊上，且滿足：，，若，，，則的面積等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，在中，設(shè)，因?yàn)?，則M為BC中點(diǎn)，兩邊平方得到，，即，化簡(jiǎn)，因?yàn)?，則AN為角平分線，，即，條件代入化簡(jiǎn)得，，則，且，聯(lián)立解得，解得(負(fù)值舍去)，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，是不同平面，，，是不同直線，則“”的充分條件是（）A.， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由，，則，可能相交，可能異面，可能平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由線面平行的性質(zhì)定理可知，，，則，B正確；對(duì)于C，若，，，則，C正確；對(duì)于D，若，，，則，異面或者平行，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，下列說法中正確的是（）A.的虛部為4 B.C. D.是的一個(gè)平方根〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，的虛部為4，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故是的一個(gè)平方根，D正確.故選：ABD.11.設(shè)，是夾角為的單位向量，由平面向量基本定理知：對(duì)平面內(nèi)任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們稱有序數(shù)對(duì)為向量的“仿射坐標(biāo)”.若向量和的“仿射坐標(biāo)”分別為，，則下列說法正確的是（）A. B.若，則的“仿射坐標(biāo)”為C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，，對(duì)于A，，即，因此，故A正確；對(duì)于B，，則，根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，的“仿射坐標(biāo)”為，故B正確；對(duì)于C，若，則，化簡(jiǎn)，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，聯(lián)立得出，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡的橫線上.12.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．故〖答案〗為：.13.將正方形沿對(duì)角線折疊成直二面角，則此時(shí)與平面所成角的大小是_____________.〖答案〗〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，所以是二面角的平面角，所以，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，，，故，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，所以是與平面所成的角．所以與平面所成的角是．故〖答案〗為：．14.某校高一學(xué)生對(duì)學(xué)校附近的一段近似直線型高速公路進(jìn)行實(shí)地測(cè)繪（如圖），結(jié)合地形，他們選擇了，兩地作為測(cè)量點(diǎn).通過測(cè)量得知：，兩地相距300米，，分別位于地正東和東偏南方向上；，和分別位于地的北偏東，和南偏東方向上.則，兩地之間的距離為_________米；若一輛汽車通過高速公路段用時(shí)約50秒，則該輛汽車的車速約為_________千米/小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：，，，）〖答案〗100072〖解析〗在中，，，米，，由正弦定理得，即，得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即，得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小時(shí)，所以速度為千米/小時(shí).故〖答案〗為：100072.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在正方體中.（1）求證：平面；（2）求證：.解：（1）在正方體中，又平面，平面，所以平面.（2）連接、，在正方體中為正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16.在直角坐標(biāo)系中，已知向量，，（其中），為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn).（1）若，，三點(diǎn)共線，求的值；（2）若向量與的夾角為，求的值；（3）若四邊形為矩形，求點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）向量，，，所以，，由，，三點(diǎn)共線知，，即，解得.（2），解得.（3）設(shè)，由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，故.17.已知角，滿足，，且，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，；因?yàn)?，所以；所?（2）因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以，故，所以；又因?yàn)?，所以，；所以，又因?yàn)椋?18.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個(gè)記分）問題：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且

.（1）求角；（2）若，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，.若選③：，則，由正弦定理得，，.（2）由余弦定理得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取“＝”號(hào)，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取得最大值．（3）由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，，.19.已知在多面體中，，，.（1）若，，，四點(diǎn)共面，求證：多面體為棱臺(tái)；（2）在（1）的條件下，平面平面，，，，且.①求多面體的體積；②求二面角正切值.解：（1）因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理可證：平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，而，故共面，因?yàn)?，設(shè)，而，且平面，所以平面，同理可證平面，所以面面，又因平面平面，所以，則交于同一點(diǎn)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以多面體為棱臺(tái).（2）三棱臺(tái)中，由(1)知側(cè)棱交于同一個(gè)點(diǎn)，連結(jié)，在側(cè)面梯形中，有，，所以梯形為直角梯形，又因?yàn)?，，所以，所以，故，又因面面，面面，面，所以平面，即的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到平面的距離，在三棱臺(tái)中，有，即，所以，側(cè)面梯形中，，，，，所以側(cè)面梯形的面積，又，解得，故，所以，因?yàn)椋?，所以所求棱臺(tái)的體積為②在內(nèi)，過點(diǎn)作，記垂足為，連接，由①知平面，又平面，所以，，又因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，又，所以的值等于二面角的值，在中，，，，所以，故，解得，故由即知，所以二面角的正切值?江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.正方體中，，分別為棱，中點(diǎn)，則與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，，，因?yàn)?，分別為棱，中點(diǎn)，所以，所以為與所成角，因?yàn)樵谡襟w中，，所以為等邊三角形，所以.故選：C.3.已知向量，滿足：，，，則（）A. B.5 C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：B.4.如圖，將一個(gè)圓柱4等份切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，則原圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，則原圓柱的表面積為，新幾何體的表面積為，故，原圓柱的側(cè)面積為.故選：B.5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得.故選：A.6.已知向量，，滿足：，且，則三角形的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋允侨切蔚闹匦?，又因?yàn)椋允侨切蔚耐庑?，所以三角形是等邊三角?故選：D.7.設(shè)為銳角，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由為銳角，得，而，因此，所以.故選：B.8.在中，點(diǎn)，在邊上，且滿足：，，若，，，則的面積等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，在中，設(shè)，因?yàn)?，則M為BC中點(diǎn)，兩邊平方得到，，即，化簡(jiǎn)，因?yàn)?，則AN為角平分線，，即，條件代入化簡(jiǎn)得，，則，且，聯(lián)立解得，解得(負(fù)值舍去)，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，是不同平面，，，是不同直線，則“”的充分條件是（）A.， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由，，則，可能相交，可能異面，可能平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由線面平行的性質(zhì)定理可知，，，則，B正確；對(duì)于C，若，，，則，C正確；對(duì)于D，若，，，則，異面或者平行，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，下列說法中正確的是（）A.的虛部為4 B.C. D.是的一個(gè)平方根〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，的虛部為4，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故是的一個(gè)平方根，D正確.故選：ABD.11.設(shè)，是夾角為的單位向量，由平面向量基本定理知：對(duì)平面內(nèi)任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們稱有序數(shù)對(duì)為向量的“仿射坐標(biāo)”.若向量和的“仿射坐標(biāo)”分別為，，則下列說法正確的是（）A. B.若，則的“仿射坐標(biāo)”為C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，，對(duì)于A，，即，因此，故A正確；對(duì)于B，，則，根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，的“仿射坐標(biāo)”為，故B正確；對(duì)于C，若，則，化簡(jiǎn)，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，聯(lián)立得出，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡的橫線上.12.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．故〖答案〗為：.13.將正方形沿對(duì)角線折疊成直二面角，則此時(shí)與平面所成角的大小是_____________.〖答案〗〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，所以是二面角的平面角，所以，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，，，故，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，所以是與平面所成的角．所以與平面所成的角是．故〖答案〗為：．14.某校高一學(xué)生對(duì)學(xué)校附近的一段近似直線型高速公路進(jìn)行實(shí)地測(cè)繪（如圖），結(jié)合地形，他們選擇了，兩地作為測(cè)量點(diǎn).通過測(cè)量得知：，兩地相距300米，，分別位于地正東和東偏南方向上；，和分別位于地的北偏東，和南偏東方向上.則，兩地之間的距離為_________米；若一輛汽車通過高速公路段用時(shí)約50秒，則該輛汽車的車速約為_________千米/小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：，，，）〖答案〗100072〖解析〗在中，，，米，，由正弦定理得，即，得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即，得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小時(shí)，所以速度為千米/小時(shí).故〖答案〗為：100072.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在正方體中.（1）求證：平面；（2）求證：.解：（1）在正方體中，又平面，平面，所以平面.（2）連接、，在正方體中為正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16.在直角坐標(biāo)系中，已知向量，，（其中），為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn).（1）若，，三點(diǎn)共線，求的值；（2）若向量與的夾角為，求的值；（3）若四邊形為矩形，求點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）向量，，，所以，，由，，三點(diǎn)共線知，，即，解得.（2），解得.（3）設(shè)，由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，故.17.已知角，滿足，，且，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因?yàn)?，，所以，所以，；因?yàn)椋?；所?（2）因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以，故，所以；又因?yàn)?，所以，；所以，又因?yàn)?，所?18.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則