2023-2024學(xué)年山東省淄博市淄川區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省淄博市淄川區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在點（1，0）處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，故所求切線方程為．故選：A．2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.若函數(shù)，滿足且，則（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C4.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A.120種 B.90種C.60種 D.30種〖答案〗C〖解析〗首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C5.若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)在內(nèi)無極值，所以在內(nèi)無變號零點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以或即可，解得或，故選：C.6.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，若的前項和為，則，則正整數(shù)等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗聯(lián)立可得或，又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，則公比，所以，所以.故選：B.7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.8.定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，則，，因為在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，所以，即在上恒成立，則在上恒成立，當(dāng)，即時，因為，，所以，故顯然成立，當(dāng)，即時，令，則在上恒成立，又因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則在上恒成立，令，則，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，綜上：，即.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記等差數(shù)列的前項和為，已知，，則有（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，所以，所以，所以，，，由，得，故選：ACD.10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項是24 B.第4項系數(shù)最大C.第3項是 D.所有項的系數(shù)的和為1〖答案〗AD〖解析〗因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數(shù)項為，A正確；由通項公式可知，當(dāng)時，第4項的系數(shù)為負數(shù)，故B錯誤；第3項是，所以第三項為24，故C錯誤；令可得所有項的系數(shù)的和為1，故D正確.故選：AD.11.下列說法正確的是（）A.甲?乙?丙?丁4人站成一排，甲不在最左端，則共有種排法B.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生相鄰的排法共有種C.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種D.3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有1296種〖答案〗ACD〖解析〗對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余3個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：3名男生相鄰，有種排法，和剩余4名女生排列，相當(dāng)于5人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排4名女生，共有種排法，且形成5個空位，再排3名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C正確；對于D：由C選項可得3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296種，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（）.A.當(dāng)時，B.函數(shù)在上有且僅有三個零點C.若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D.，〖答案〗BD〖解析〗令，則，所以，得，所以選項A錯誤；觀察在時的圖象，令，得，可知在上單調(diào)遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個零點，由函數(shù)的對稱性可知在上也有一個零點，又因為，故該函數(shù)有三個零點，所以選項B正確；由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，所以選項C錯誤；由圖可知，的值域為，所以對，恒成立，所以選項D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.數(shù)列滿足，，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，，，，，累加得：故〖答案〗為：.14.的展開式中的系數(shù)為___________．〖答案〗〖解析〗的展開式通項公式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：715.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．〖答案〗64〖解析〗（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故〖答案〗為：64.16.已知偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗令，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)．因為，所以．；不等式等價于，所以或，解得或．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知展開式的二項式系數(shù)和為64，且．（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求的值．解：（1）∵的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為，∴，故展開式中第三項為：，所以；（2）∵，∴第四項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）因為，∴，令，可得.18.已知等差數(shù)列的首項為1，且，___．在①；②成等比數(shù)列；③，其中是數(shù)列}的前n項和．在這三個條件中選擇一個，補充在橫線中，并進行解答．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分，解：（1）若選擇①：設(shè)的公差為d，因為，，所以，所以，所以；若選擇②：因為成等比數(shù)列，所以，又，所以，又，設(shè)的公差為，所以，解得，所以；若選擇③：設(shè)的公差為d，因為，所以，又，即，解得，所以；（2）由題知．所以，所以，所以，所以.19.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．解：（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數(shù)的定義域為（2）由（1）中，可得（）令，則∴當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)所以當(dāng)時該蓄水池的體積最大考點：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).20.設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．解：（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（1）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（?。┊?dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，故；當(dāng)時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時，，即．21.已知數(shù)列的前項和為滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前項和；②若對于一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，即；又，，數(shù)列自第二項起為等比數(shù)列，公比為，此時；經(jīng)檢驗：不滿足，.（2）①由（1）得：，則；當(dāng)時，，，，；經(jīng)檢驗：滿足，；②當(dāng)時，，當(dāng)時，，，則當(dāng)時，，又，，即；，即，解得：或，即實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．解：（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.山東省淄博市淄川區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.曲線在點（1，0）處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，故所求切線方程為．故選：A．2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C3.若函數(shù)，滿足且，則（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C4.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A.120種 B.90種C.60種 D.30種〖答案〗C〖解析〗首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C5.若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)在內(nèi)無極值，所以在內(nèi)無變號零點，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以或即可，解得或，故選：C.6.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，若的前項和為，則，則正整數(shù)等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗聯(lián)立可得或，又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，則公比，所以，所以.故選：B.7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.8.定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，則，，因為在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，所以，即在上恒成立，則在上恒成立，當(dāng)，即時，因為，，所以，故顯然成立，當(dāng)，即時，令，則在上恒成立，又因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則在上恒成立，令，則，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，綜上：，即.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記等差數(shù)列的前項和為，已知，，則有（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，所以，所以，所以，，，由，得，故選：ACD.10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項是24 B.第4項系數(shù)最大C.第3項是 D.所有項的系數(shù)的和為1〖答案〗AD〖解析〗因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數(shù)項為，A正確；由通項公式可知，當(dāng)時，第4項的系數(shù)為負數(shù)，故B錯誤；第3項是，所以第三項為24，故C錯誤；令可得所有項的系數(shù)的和為1，故D正確.故選：AD.11.下列說法正確的是（）A.甲?乙?丙?丁4人站成一排，甲不在最左端，則共有種排法B.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生相鄰的排法共有種C.3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種D.3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有1296種〖答案〗ACD〖解析〗對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余3個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：3名男生相鄰，有種排法，和剩余4名女生排列，相當(dāng)于5人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排4名女生，共有種排法，且形成5個空位，再排3名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C正確；對于D：由C選項可得3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296種，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（）.A.當(dāng)時，B.函數(shù)在上有且僅有三個零點C.若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是D.，〖答案〗BD〖解析〗令，則，所以，得，所以選項A錯誤；觀察在時的圖象，令，得，可知在上單調(diào)遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個零點，由函數(shù)的對稱性可知在上也有一個零點，又因為，故該函數(shù)有三個零點，所以選項B正確；由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，所以選項C錯誤；由圖可知，的值域為，所以對，恒成立，所以選項D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.數(shù)列滿足，，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，，，，，累加得：故〖答案〗為：.14.的展開式中的系數(shù)為___________．〖答案〗〖解析〗的展開式通項公式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：715.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．〖答案〗64〖解析〗（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故〖答案〗為：64.16.已知偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗令，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)．因為，所以．；不等式等價于，所以或，解得或．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知展開式的二項式系數(shù)和為64，且．（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求的值．解：（1）∵的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為，∴，故展開式中第三項為：，所以；（2）∵，∴第四項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）因為，∴，令，可得.18.已知等差數(shù)列的首項為1，且，___．在①；②成等比數(shù)列；③，其中是數(shù)列}的前n項和．在這三個條件中選擇一個，補充在橫線中，并進行解答．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分，解：（1）若選擇①：設(shè)的公差為d，因為，，所以，所以，所以；若選擇②：因為成等比數(shù)列，所以，又，所以，又，設(shè)的公差為，所以，解得，所以；若選擇③：設(shè)的公差為d，因為，所以，又，即，解得，所以；（2）由題知．所以，所以，所以，所以.19.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．解：（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數(shù)的定義域為（2）由（1）中，可得（）令，則∴當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)所以當(dāng)時該蓄水池的體積最大考點：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).20.設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．解：（1）由，，又是