2023-2024學年四川省瀘州市龍馬潭區(qū)高二下學期期中考試數(shù)學試題

高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知數(shù)列的前n項和為，則（）A.81 B.162 C.243 D.486〖答案〗B〖解析〗數(shù)列的前n項和為，所以.故選：B2.已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為直線的傾斜角為，所以，又，所以.故選：C.3.若曲線：表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.4.直線被圓所截得的弦長為（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由已知得圓心為，半徑，因為圓心在直線上，所以直線被圓所截得的弦長為.故選：C5.在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（）A.3 B.9 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，是方程兩根，所以，即，在等比數(shù)列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.6.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.7.設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，則，故，而，則，又，所以.故選：D8.已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，考慮構造函數(shù)，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.二、多項選擇題（每小題5分，共4小題，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中正確的有（）A.B.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C.一質(zhì)點的運動方程為，則該質(zhì)點在時的瞬時速度是D.，則〖答案〗CD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為正實數(shù)，故B錯誤；對于C，，當時，，故C正確；對于D，若，則.故選：CD.10.已知，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為，令，則，令，則，所以，故B錯誤；令，則，故C錯誤：令，則，所以，通項為，所以，故A正確；令，則，令，得，故D正確.故選：AD11.已知等差數(shù)列{}的前n項和，則下列選項正確的是（）A. B.C當取得最大值時 D.當取得最大值時〖答案〗ABC〖解析〗設公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當時，最大，故C正確，D錯.故選：ABC.12.已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線交于，和，，過點分別作，的垂線，垂足分別為，，則（）A.四邊形面積的最大值為2B.四邊形周長的最大值為C.為定值D.四邊形面積的最小值為32〖答案〗ABD〖解析〗依題意，，解得，即拋物線：，焦點，準線方程為：，直線，與坐標軸不垂直，因為，，則四邊形為矩形，有，當且僅當時取等號，，即四邊形面積的最大值為2，A正確；因為，則，當且僅當時取等號，因此四邊形周長最大值為，B正確；設直線方程為：，，由消去y得：，則，，同理，因此，C錯誤；四邊形面積，當且僅當時取等號，所以四邊形面積的最小值為32，D正確.故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗直接填在答題卡中的橫線上.）13.已知橢圓C：的離心率為，則橢圓的短軸長為_____.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得離心率，解得，所以橢圓的短軸長為.故〖答案〗為：.14.設某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%、2%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到的次品的概率為________．〖答案〗〖解析〗由題設，從中任取一件取到的次品的概率為.故〖答案〗為：15.如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內(nèi)運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗連接交于點，平面，平面，則，因為四邊形為菱形，則，，、平面，平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，易知平面的一個法向量為，因為平面，所以，，設點，其中，則，由已知可得，因為，解得，即點，設點，則，因，則，可得，且，可得，所以，點，因為平面，、平面，，，且，所以，.故〖答案〗為：.16.雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為________．〖答案〗〖解析〗內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因為，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過點的直線．（1）判斷點P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；（2）若圓C被直線l截得的弦長為，求直線l的方程．解：（1）點P不在圓上．證明如下：∵，∴由圓的定義可知點P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；（2）由直線與圓的位置關系可知，圓心C到直線l的距離，①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時，滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設直線l為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此時直線l為3x＋4y－8＝0，綜上所述：直線l的方程為x＝0或3x＋4y－8＝0．18.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.解：（1）取中點，連接，如圖所示，為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則有，，，設平面的一個法向量為，則，令，有，得，，設點到平面的距離為，.19.為弘揚百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“黨史知識”競賽活動．競賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道類試題得10分；每答對1道類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學類試題中有7道題能答對，而他答對各道類試題的概率均為．（1）若該同學只抽取3道類試題作答，設表示該同學答這3道試題的總得分，求的分布和期望；（2）若該同學在類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．解：（1），，，所以X的分布為X0102030P所以（2）記“該同學僅答對1道題”為事件M.這次競賽中該同學僅答對1道題得概率為.20.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．解：（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴21.如圖，已知雙曲線的右焦點，點分別在C的兩條漸近線上，軸，（O為坐標原點）．（1）求雙曲線C的方程；（2）過C上一點的直線與直線AF相交于點M，與直線相交于點，證明點在上移動時，恒為定值，并求此定值．解：（1）由題意知，直線OB方程為，直線OA的方程為，因為，所以直線BF的方程為，與直線OB方程聯(lián)立，解得，把代入直線OA的方程得，所以又因為ABOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）知，則直線的方程為，即因為直線AF的方程為，所以直線與AF的交點，直線與直線的交點為，因為，則因為是C上一點，則，代入上式得，所求定值為22.已知函數(shù)．（1）當時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍．解：（1）當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知數(shù)列的前n項和為，則（）A.81 B.162 C.243 D.486〖答案〗B〖解析〗數(shù)列的前n項和為，所以.故選：B2.已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為直線的傾斜角為，所以，又，所以.故選：C.3.若曲線：表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.4.直線被圓所截得的弦長為（）A1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由已知得圓心為，半徑，因為圓心在直線上，所以直線被圓所截得的弦長為.故選：C5.在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（）A.3 B.9 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，是方程兩根，所以，即，在等比數(shù)列中，，又，所以，因為，所以，所以.故選：B.6.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當5人被分為時，情況數(shù)為;當5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.7.設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，則，故，而，則，又，所以.故選：D8.已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，考慮構造函數(shù)，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.二、多項選擇題（每小題5分，共4小題，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中正確的有（）A.B.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C.一質(zhì)點的運動方程為，則該質(zhì)點在時的瞬時速度是D.，則〖答案〗CD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為正實數(shù)，故B錯誤；對于C，，當時，，故C正確；對于D，若，則.故選：CD.10.已知，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為，令，則，令，則，所以，故B錯誤；令，則，故C錯誤：令，則，所以，通項為，所以，故A正確；令，則，令，得，故D正確.故選：AD11.已知等差數(shù)列{}的前n項和，則下列選項正確的是（）A. B.C當取得最大值時 D.當取得最大值時〖答案〗ABC〖解析〗設公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當時，最大，故C正確，D錯.故選：ABC.12.已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線交于，和，，過點分別作，的垂線，垂足分別為，，則（）A.四邊形面積的最大值為2B.四邊形周長的最大值為C.為定值D.四邊形面積的最小值為32〖答案〗ABD〖解析〗依題意，，解得，即拋物線：，焦點，準線方程為：，直線，與坐標軸不垂直，因為，，則四邊形為矩形，有，當且僅當時取等號，，即四邊形面積的最大值為2，A正確；因為，則，當且僅當時取等號，因此四邊形周長最大值為，B正確；設直線方程為：，，由消去y得：，則，，同理，因此，C錯誤；四邊形面積，當且僅當時取等號，所以四邊形面積的最小值為32，D正確.故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗直接填在答題卡中的橫線上.）13.已知橢圓C：的離心率為，則橢圓的短軸長為_____.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得離心率，解得，所以橢圓的短軸長為.故〖答案〗為：.14.設某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%，各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%、2%、5%，現(xiàn)從中任取一件，則取到的次品的概率為________．〖答案〗〖解析〗由題設，從中任取一件取到的次品的概率為.故〖答案〗為：15.如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內(nèi)運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗連接交于點，平面，平面，則，因為四邊形為菱形，則，，、平面，平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，易知平面的一個法向量為，因為平面，所以，，設點，其中，則，由已知可得，因為，解得，即點，設點，則，因，則，可得，且，可得，所以，點，因為平面，、平面，，，且，所以，.故〖答案〗為：.16.雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為________．〖答案〗〖解析〗內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因為，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過點的直線．（1）判斷點P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；（2）若圓C被直線l截得的弦長為，求直線l的方程．解：（1）點P不在圓上．證明如下：∵，∴由圓的定義可知點P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；（2）由直線與圓的位置關系可知，圓心C到直線l的距離，①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時，滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設直線l為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此時直線l為3x＋4y－8＝0，綜上所述：直線l的方程為x＝0或3x＋4y－8＝0．18.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.解：（1）取中點，連接，如圖所示，為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則有，，，設平面的一個法向量為，則，令，有，得，，設點到平面的距離為，.19.為弘揚百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“黨史知識”競賽活動．競賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道類試題得10分；每答對1道類試題得20分，答錯都不得分．每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學類試題中有7道題能答對，而他答對各道類試題的概率均為．