湖南省部分學校2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

高二期末聯(lián)考數(shù)學試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題日的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.1B.C.3D.52.若，則下列三角函數(shù)值一定為負值的是（）A.B.C.D.3.在中，內(nèi)角的對邊分別為，則（）A.B.C.D.14.設(shè)為拋物線的焦點，點為上一點，過作軸的垂線，垂足為，若，則（）A.B.C.D.5.某學校開展“國學知識競賽”，共有“詩經(jīng)組”，“論語組”，“春秋組”，“禮記組”4個小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱號，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱號的是（）A.詩經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2B.論語組平均數(shù)為3，方差為1C.春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2D.禮記組中位數(shù)為3，極差為46.如圖，在四棱錐中，平面，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.在區(qū)間共有8097個零點D.的圖象向左平移個單位長度后得到的新圖象關(guān)于軸對稱8.在平面直角坐標系中，為曲線上位于第一象限上的一點，為在軸上的投影，則的最大值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知均為正數(shù)，則使得“”成立的充分條件可以為（）A.B.C.D.10.如圖，棱長為2的正方體中，，則下列說法正確的是（）A.時，平面B.時，四面體的體積為定值C.時，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則11.已知函數(shù)，其中實數(shù)，且，則（）A.當時，沒有極值點B.當有且僅有3個零點時，C.當時，為奇函數(shù)D.當時，過點作曲線的切線有且只有1條三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某果園中芒果單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機挑選4個芒果，則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于100的概率為__________.13.已知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，且，則的最大值為__________.14.在銳角中，依次為三個內(nèi)角的對邊，已知，求的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）北京地鐵四號線被譽為“學霸地鐵”，因為它貫穿了幾所國內(nèi)特別有名的高校.某校5名高中生利用暑假假期去北京游學，他們在動物園站開始乘坐4號線，以下幾個站：國家圖書館，魏公村，人民大學，中關(guān)村，北京大學為他們的可能參觀點，由于時間安排和個人喜好不同，他們各自行動，每人選一個自己最喜歡的景點，每個人在北京大學站下車的概率為，在其他站下車的概率均為，且不走回頭路，在圓明園站匯合，每個人在各個車站下車互不影響.（1）求在魏公村下車的人數(shù)的分布列及期望；（2）已知賈同學比李同學先下車，求賈同學在魏公村下車且李同學在北京大學站下車的概率.16.（本小題滿分15分）數(shù)列的前項和為，當時，，數(shù)列滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記數(shù)列，數(shù)列的前項和為，求.17.（本小題滿分15分）如圖，是半圓的直徑，依次是半圓弧上的兩個三等分點，將沿翻折到，使得，得到四棱錐.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若是的極大值點，求的值；（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，試討論零點的個數(shù).注：若，當時，，當時，.19.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率，且上的點到的距離的最大值為.（1）求的方程；（2）過的直線與交于，記關(guān)于軸的對稱點為.①試證直線恒過定點；②若在直線上的投影分別為，記的面積分別為，求的取值范圍.高二期末聯(lián)考數(shù)學參考答案及解析一?選擇題1.A【解析】.故選A.2.C【解析】與異號，又.故選C.3.C【解析】由題意可得..故選C.4.D【解析】由拋物線定義可知2，即有，解得，所以為原點，從而.故選D.5.B【解析】對于A數(shù)據(jù)為：時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，但不滿足每位選手的失分不超過6分，故A錯誤；對于B，假設(shè)有一位同學失7分，則方差與方差為1矛盾，假設(shè)不成立，故B正確；對于C，數(shù)據(jù)為：1，2，2，2，2，時，滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，但是不滿足每位選手失分不超過6分，故C錯誤；對于D，數(shù)據(jù)為：，滿足中位數(shù)為3，極差為4，但最大值超過6分，故D錯誤.故選B.6.A【解析】（或補角）為異面直線與所成的角，平面，又平面，，.故選A.7.D【解析】對于A，由題圖可知，，從而，且位于單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合，可知，故A不正確；對于B，由圖可得，解得，，又，所以，所以，故，故B錯誤；對于，共有8096個零點，故C不正確；對于D，的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象的函數(shù)解析式為，顯然的定義域為全體實數(shù)，所以的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱.故D正確.故選D.8.B【解析】由題意設(shè)，設(shè)，，則，其中，故，對任意的，則，令函數(shù)，其中，則.當（時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，故.故選B.二?多選題9.AD【解析】對于A，因為，故，故A選項正確；對于B，取，此時滿足0，但，B選項錯誤；對于C，取，滿足，所以C選項錯誤；對于D，由可知，，因為，所以，故D選項正確.故選AD.10.ABD【解析】對于A選項，時，，，又平面，平面，故平面，故A正確；對于B選項，時，的面積為定值；而點是邊上的點，且平面點到平面的距離即為直線到平面的距離為定值，四面體的體積為定值，故B正確；對于C選項，時，以為坐標原點，分別為軸為正向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，，記平面的法向量為，則，即，故可取，又時，，即不存在，使得平面，故C不正確；對于D選項，平面于點，且的外接圓半徑；外接球的半徑；故由有：，故D正確.故選ABD.11.BCD【解析】當時，，則，當時，，當或時，，所以分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，選項A錯誤；當時，，當，，當或時，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當有且僅有3個零點時，且得得，選項B正確；當時，，所以為奇函數(shù)，選項C正確；不在曲線上.設(shè)過點的曲線切線的切點為，過點的曲線切線的方程為，又點在的切線上，有，即，設(shè)，當或時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，，易知與只有一個交點，選項D正確.故選BCD.三?填空題12.【解析】由題可知，若從該果園中隨機挑選4個芒果，則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于100g的概率為.故答案為.13.99【解析】由已知，可得-，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，若100，即，因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為99.故答案為99.14.【解析】，同理：，將看作常數(shù)，上式可以看作關(guān)于的函數(shù)，故只需求分母的取值范圍，令，解法一：，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減；當，又，代入.故答案為.解法二：令，令，則，因為，當時，取最大值，當或時，取，所以，即，代入.故答案為.四?解答題15.解：（1）的可能取值為，由題意知每個人在魏公村下車的概率均為，且相互不影響，所以，，012345.（2）設(shè)事件：賈同學比李同學先下車；事件：賈同學在魏公村下車，且李同學在北京大學站下車，，，.16.解：（1）由時，，知數(shù)列是等差數(shù)列，由，知數(shù)列的公差為1，則，，當時，，且也滿足上式，，，由為定值，知數(shù)列是等比數(shù)列.（2）易見，則則兩式相減得，化簡得.17.解：（1）如圖1，連接，設(shè)，連接，由是依次是半圓弧上的兩個三等分點，所以，又是全等的等邊三邊形，四邊形及均為菱形，由，得，在中，是的中點，且，所以，在中，是的中點，且，所以，又，所以平面.（2）法一：如圖2，由為半圓的直徑，在半圓弧上，所以由（1）得平面，又平面，所以，又，，所以平面，所以二面角的大小等于二面角的大小與的和，由平面，所以平面，作于，由，得為的中點，連，因為平面，所以，又，則平面，又平面，所以，故即為的平面角.在中，，在中，分別為的中點，所以，則，設(shè)二面角的大小為，所以.法二：由，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，設(shè)平面的法向量，由，即，取，則，則，由（1）平面，所以可取平面的法向量，，設(shè)二面角的大小為，則.18.解：（1），由是的極大值點，則，解得當時，，當時，，令，則所以在上單調(diào)遞減，則，即，此時在上單調(diào)遞增；當時，令，則故即單調(diào)遞減，又所以當時，單調(diào)遞減，故當時，是的極大值點.（2）I：當時，，，此時無零點；II：當時，，①若，即時，，此時不是的零點；②若，即時，，此時是的零點.III：當時，零點個數(shù)等于零點個數(shù).顯然是的一個零點.當時，可轉(zhuǎn)化為，令，則，由（1）知，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的圖象如下：①當或或時，有1個零點；②當或時，有2個零點；③當時，無零點.綜合I，II，III得，當或時，有2個零點；當或或時，有3個零點；當或時，有4