高中數(shù)學(xué) 2.2.3 第2課時 圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.3第2課時圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．已知圓C1，C2相切，圓心距為10，其中圓C1的半徑為4，則圓C2的半徑為()A．6或14 B．10C．14 D．不確定[答案]A[解析]由題意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14.2．設(shè)r>0，兩圓C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2與C2：x2＋y2＝16不可能()A．相切 B．相交C．內(nèi)切或內(nèi)含或相交 D．外切或相離[答案]D[解析]圓C1的圓心為(1，－3)，圓C2的圓心為(0,0)，圓心距d＝eq\r(10)，于是d＝eq\r(10)<4＋r，但可能有d＝|4－r|或d<|4－r|，故兩圓不可能外切或相離，但可能相交、內(nèi)切、內(nèi)含．3．兩圓x2＋y2－6x＋16y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線條數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]圓O1為(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11；圓O2為(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝eq\r(3＋22＋－8－42)＝13，∴|r－R|<|O1O2|<R＋r，∴兩圓相交，∴公切線有2條．4．半徑為5且與圓x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原點(diǎn)的圓的方程為()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0[答案]B[解析]由題意知所求圓與已知圓只能外切，∴選項(xiàng)中只有B項(xiàng)適合題意．5．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36[答案]D[解析]設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，由所求圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1相內(nèi)切，可知所求圓的圓心必在x軸的上方，且b＝6，即圓心為(a,6)．由兩圓內(nèi)切，可得eq\r(a2＋6－32)＝6－1＝5.∴a＝±4.∴所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.故應(yīng)選D.6．若兩圓(x＋1)2＋y2＝4和(x－a)2＋y2＝1相交，則a的取值范圍是()A．0<a<2 B．－4<a<－2或0<a<2C．－4<a<－2 D．－2<a<0或2<a<4[答案]B[解析]兩圓圓心C1(－1,0)和C2(a,0)，半徑r1＝2，r2＝1，∵兩圓相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a∴0<a<2或－4<a<－2.二、填空題7．若圓B：x2＋y2＋b＝0與圓C：x2＋y2－6x＋8y＝0沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．[答案]b<－100[解析]由已知圓B：x2＋y2＝－b，∴－b>0，b<0.又圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝25，∵圓B的圓心恰在圓C上，要想兩圓無公共點(diǎn)，圓B的半徑eq\r(－b)>10，∴b<－100.8．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸相交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C與圓C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25的公共弦長為________．[答案]eq\f(2\r(29),3)[解析]圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為eq\r(0－22＋－4＋32)＝eq\r(5)，所以圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5①又C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25②①－②得公共弦所在直線方程為y＝－eq\f(5,3)，所以公共弦長為l＝2eq\r(5－－3＋\f(5,3)2)＝eq\f(2\r(29),3).三、解答題9．已知圓M：x2＋y2＝10和N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.(1)求兩圓的公共弦所在的直線方程；(2)求過兩圓交點(diǎn)且圓心在x＋2y－3＝0上的圓的方程．[解析](1)兩圓方程相減得2x＋2y－4＝0，∴x＋y－2＝0即為兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x2＋y2＝10，))得兩圓交點(diǎn)為A(－1,3)，B(3，－1)．由兩圓方程可得圓心連線為y＝x，由圓的性質(zhì)，所求圓的圓心在y＝x上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋2y－3＝0，))得x＝y(tǒng)＝1，故所求圓的圓心C(1,1)，半徑r＝|AC|＝eq\r(－1－12＋3－12)＝2eq\r(2)，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8.一、選擇題1．點(diǎn)M在圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，點(diǎn)N在圓C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，則MN的最大值是()A．5 B．7C．9 D．11[答案]C[解析]C1為(x＋3)2＋(y－1)2＝4，C2為(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圓心分別為(－3,1)，(1，－2)，所以兩圓圓心距為5.又兩圓半徑分別為2,2，所以兩圓外離，所以MN的最大值是5＋2＋2＝9.2．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的關(guān)系是()A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋2a＋2C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a[答案]B[解析]若要一圓始終平分另一個圓的周長，只需兩圓的公共弦經(jīng)過小圓的圓心即可．公共弦方程為：(x－a)2＋(y－b)2－b2－1－[(x＋1)2＋(y＋1)2－4]＝0，即：(2＋2a)x＋(2＋2b)y－1－a2＝0，小圓圓心為(－1，－1)，代入上式得a2＋2a＋2二、填空題3．半徑為3，且與圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相外切的圓的圓心的軌跡方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋2)2＝25[解析]圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故其圓心為(1，－2)，半徑為2，因兩圓外切，所以圓心距為3＋2＝5，因此動圓的圓心到點(diǎn)(1，－2)的距離等于5，其軌跡是以(1，－2)為圓心，半徑等于5的圓，其方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝25.4．兩圓相交于點(diǎn)A(1,3)、B(m，－1)，兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值為________．[答案]3[解析]AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直線x－y＋c＝0上．∴eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，∴m＋2c＝1.又∵kAB＝－1＝eq\f(3－－1,1－m)＝eq\f(4,1－m)，∴m＝5.∴c＝－2，∴m＋c＝3.三、解答題5．求經(jīng)過直線x＝－2與已知圓x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交點(diǎn)的所有圓中，具有最小面積的圓的方程．[解析]解法一：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x2＋y2＋2x－4y－11＝0，))得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(－2,2＋eq\r(15))，B(－2,2－eq\r(15))．從而圓心C的坐標(biāo)為(－2,2)．半徑r＝eq\f(1,2)·|AB|＝eq\f(1,2)|2＋eq\r(15)－(2－eq\r(15))|＝eq\r(15).因此，所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝15.解法二：直線x＝－2與圓x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)都為－2，從而圓心C的橫坐標(biāo)為－2，設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，把直線方程代入圓方程，整理得y2－4y－11＝0.則y1＋y2＝4，y1y2＝－11.∴圓心的縱坐標(biāo)為eq\f(y1＋y2,2)＝2.半徑r＝eq\f(1,2)|y2－y1|＝eq\f(1,2)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(42－4×－11)＝eq\r(15).因此，所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝15.解法三：∵直線x＋2＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－11＝0相交，故可設(shè)過交點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－11＋λ(x＋2)＝0，即x2＋(λ＋2)x＋y2－4y＋2λ－11＝0.∴半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(λ＋22＋16－42λ－11)＝eq\f(1,2)eq\r(λ－22＋60).要使圓面積最小，只需半徑r最?。?dāng)λ＝2時，r最小值為eq\r(15)，因此，所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝15.6．已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求證對任意實(shí)數(shù)a，該圓恒過一定點(diǎn)；(2)若該圓與圓x2＋y2＝4相切，求a的值．[解析](1)將圓的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示過圓x2＋y2＝20與直線－4x＋2y＋20＝0的交點(diǎn)的圓系，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20，,4x－2y－20＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))所以該圓恒過定點(diǎn)(4，－2)．(2)圓的方程可化為(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a若兩圓外切，則r1＋r2＝O1O2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5).若兩圓內(nèi)切，則|r1－r2|＝O1O2，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)，或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍)．綜上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).7．已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x－y＋10＝0上．(1)若動圓C過點(diǎn)(－5,0)，求圓C的方程；(2)是否存在正實(shí)數(shù)r，使得動圓C中滿足與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有且僅有一個？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．[解析](1)依題意，可設(shè)動圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圓心(a，b)滿足a－b＋10＝0.又∵動圓過點(diǎn)(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5－a2＋0－b2＝25，,a－b＋10＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,a＝－5，))故所求圓C的方程為(x＋10)2＋