高中數(shù)學(xué) 2.3.2 向量數(shù)量積的運(yùn)算律基礎(chǔ)鞏固 新人教B版必修4

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律基礎(chǔ)鞏固新人教B版必修4一、選擇題1．若|a|＝3，|b|＝eq\r(3)，且a與b的夾角為eq\f(π,6)，則|a＋b|＝()A．3 B．eq\r(3)C．21 D．eq\r(21)[答案]D[解析]∵|a|＝3，|b|＝eq\r(3)，a與b的夾角為eq\f(π,6)，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×3×eq\r(3)×coseq\f(π,6)＋3＝9＋2×3×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋3＝21，∴|a＋b|＝eq\r(21).2．(·安徽宿州朱仙莊煤礦中學(xué)高一月考)向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(a＋b)⊥(2a－b)，則向量a與b的夾角為()A．45° B．60°C．90° D．120°[答案]C[解析]∵(a＋b)⊥(2a－b∴(a＋b)·(2a－b∴2a2＋a·b－b2∴2×1＋1×eq\r(2)×cos〈a，b〉－2＝0，∴cos〈a，b〉＝0，∴〈a，b〉＝90°.3．設(shè)a、b、c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2等于()A．1 B．2C．4 D．5[答案]D[解析]∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|24．已知兩個非零向量a、b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b[答案]B[解析]本題考查向量的運(yùn)算．由題意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b∴a·b＝0，∴a⊥b.注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b25．下列各式中正確命題的個數(shù)為()①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；②|a·b|＝|a|·|b|；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)·c＝a·(b·c)．A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①、③正確，②、④錯誤．6．已知非零向量a、b滿足|a＋b|＝|a－b|eq\f(2\r(3),3)|a|，則a＋b與a－b的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°[答案]B[解析]將|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得，a·b＝0，將|a－b|＝eq\f(2\r(3),3)|a|兩邊平方得，|b|2＝eq\f(1,3)|a|2，∴cos〈a＋b，a－b〉＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(|a|2－|b|2,\f(4,3)|a|2)＝eq\f(1,2)，∴〈a＋b，a－b〉＝60°.二、填空題7．已知單位向量e1、e2的夾角為60°，則|2e1－e2|＝________.[答案]eq\r(3)[解析]∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，∴e1·e2＝|e1||e2|·cos60°＝eq\f(1,2).∴|2e1－e2|＝eq\r(2e1－e2·2e1－e2)＝eq\r(4|e1|2＋|e2|2－4e1·e2)＝eq\r(4＋1－2)＝eq\r(3).8．已知兩個單位向量e1、e2的夾角為120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，則a·b＝________.[答案]0[解析]∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1與e2的夾角為120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4eeq\o\al(2,1)＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－eq\f(1,2))＝0.三、解答題9．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求實數(shù)m[解析]a·b＝|a||b|cos60°＝1.因為c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3一、選擇題1．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．以上都不對[答案]C[解析]由(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0得eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0又∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0即|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC為等腰三角形．2．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a－b)，則a與b的夾角是()A．30° B．45°C．90° D．135°[答案]B[解析]∵a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，∴cos<a，b>＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a2,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，∴<a，b>＝45°.3．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(2)，則a·b＋b·c＋c·a的值為()A．7 B．eq\f(7,2)C．－7 D．－eq\f(7,2)[答案]D[解析]∵(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋4＋2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(7,2).4．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則kA．－6 B．6C．3 D．－3[答案]B[解析](2a＋3b)·(ka－4b2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.二、填空題5．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，則點(diǎn)O是△ABC的________．(填：外心、內(nèi)心、重直、重心)[答案]垂心[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→)).同理：eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴O為△ABC的垂心．6．關(guān)于平面向量a、b、c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3.③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號)[答案]②[解析]①a·b＝a·c時，a·(b－c)＝0，∴a⊥(b－c)不一定有b＝c，∴①錯．②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②對．也可以由a∥b，∴存在實數(shù)λ，使a＝λb，即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝1,6λ＝k))，∴k＝－3.③非零向量a、b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則三向量a、b、a－b構(gòu)成正三角形如圖．由向量加法的平行四邊形法則知，a＋b平分∠BAC，∴a＋b與a夾角為30°，③錯．三、解答題7．已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝a＋2b，d＝ma－6b(m∈R)．(1)當(dāng)m為何值時，c與d垂直？(2)若c∥d，求|c＋d|.[解析](1)∵c⊥b，∴c·d＝0，∴(a＋2b)·(ma－6b)＝ma2＋2ma·b－6a·b－12b2＝9m＋2＝15m∴m＝eq\f(22,5)∴當(dāng)m＝eq\f(22,5)時，c與d垂直．(2)∵c∥d，∴存在惟一實數(shù)λ使得c＝λd，即a＋2b＝λ(ma－6b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λm＝1,－6λ＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3),m＝－3)).∴d＝－3a－6b，∴c＋d＝－2a－4b，∴|c＋d|2＝|－2a－4b|2＝|2a＋4b|2＝4a2＋16a·b＋16b2＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148，∴|c＋d|＝2eq\r(37).8．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2).(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為60°，求|a＋b|；(3)若a－b與a垂直，求a與b的夾角．[解析](1)當(dāng)<a，b>＝0°時，a·b＝eq\r(2)，當(dāng)<a，b>＝180°時，a·b＝－eq\r(2).(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋eq\r(2)，|a＋b|＝eq\r(3＋\r(2)).(3)由(a－b)·a＝0得a2＝a·b，cos<a，b>＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，<a，b>＝45°.9．設(shè)e1、e2是兩個互相垂直的單位向量，且a＝－(2e1＋e2)，b＝e1－λe2.(1)若a∥b，求λ的值；(2)若a