高中數(shù)學 2.5 從力做的功到向量的數(shù)量積基礎鞏固 北師大版必修4

【成才之路】-學年高中數(shù)學2.5從力做的功到向量的數(shù)量積基礎鞏固北師大版必修4一、選擇題1．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)[答案]C[解析]設a與b的夾角為θ，則據(jù)向量數(shù)量積公式可得cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，則cosθ＝eq\f(2,1×4)＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).2．若e1，e2是夾角為eq\f(π,3)的單位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，則a·b等于()A．1 B．－4C．－eq\f(7,2) D．eq\f(7,2)[答案]C[解析]a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝－6|e1|2＋|e1||e2|coseq\f(π,3)＋2|e2|2＝－6×12＋1×1×eq\f(1,2)＋2×12＝－eq\f(7,2).3．(·新課標Ⅱ理，3)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A[解析]本題考查平面向量的模，平面向量的數(shù)量積．∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.聯(lián)立方程解得a·b＝1，故選A.4．如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是()A．1 B．－1C．2 D．－2[答案]B[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為135°，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×eq\r(2)×cos135°＝－1.5．已知|b|＝3，a在b方向上的射影是eq\f(3,2)，則a·b的值為()A．3 B．eq\f(9,2)C．2 D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]設a與b的夾角為θ，由題意知|a|cosθ＝eq\f(3,2).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2).6．已知向量a與b的夾角為120°，|a|＝3，|a＋b|＝eq\r(13)，則|b|等于()A．5 B．4C．3 D．1[答案]B[解析]∵|a＋b|＝eq\r(13)，∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2將θ＝120°，|a|＝3，代入可得|b|2－3|b|－4＝0.解之，得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．二、填空題7．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝______.[答案]1[解析]考查了向量的數(shù)量積，垂直等問題．由a＋b與ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，則a與b夾角180°，與a，b不共線矛盾，∴k－1＝0，k＝1.8．(·江西理，12)設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的射影為________．[答案]eq\f(5,2)[解析]本題考查了平面向量的數(shù)量積的運算．由已知|a|＝eq\r(13)，|b|＝2，a·b＝5.∴|a|cos<a，b>＝|a|×eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(5,2).三、解答題9．已知|a|＝2，|b|＝4.(1)當a⊥b時，求|a＋b|；(2)當a∥b時，求a·b；(3)若(a＋2b)與(3a－b)垂直，求向量a與b[解析](1)∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2∴|a＋b|＝2eq\r(5).(2)∵a∥b，當a與b同向時，a·b＝|a|·|b|＝8；當a與b反向時，a·b＝－|a|·|b|＝－8.(3)由(a＋2b)與(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b∴5a·b＝2b2－3a2，∴a·設a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(4,2×4)＝eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.一、選擇題1．已知a、b、c是單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為()A．－2 B．eq\r(2)－2C．－1 D．1－eq\r(2)[答案]D[解析]本題考查數(shù)量積的運算．設a＋b與c的夾角為θ，則(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c＝1－|a＋b|·|c|cosθ＝1－eq\r(2)·1·cosθ∴最小值為1－eq\r(2)，即a＋b與c同向共線時取得最小值．2．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))，則△ABC是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形[答案]D[解析]因為eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，所以三角形為直角三角形，選D.二、填空題3．(·安徽文，13)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．[答案]－eq\f(1,3)[解析]本題主要考查了向量運算及夾角公式運用．∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－|b|2,3|b|·|b|)＝－eq\f(1,3).4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．[答案]eq\r(10)[解析]本題考查了向量的運算．∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，∴2α·β＝α2＝|α|2，∴|2α＋β|＝eq\r(4α2＋4α·β＋β2)＝eq\r(6α2＋β2)＝eq\r(6|α|2＋|β|2)＝eq\r(6＋4)＝eq\r(10).三、解答題5．若O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，判斷△ABC的形狀．[解析]eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).∵|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AC，故△ABC為直角三角形．6．已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b(1)當m為何值時，c與d垂直？(2)當m為何值時，c與d共線？[解析](1)假設向量c與向量d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b＝27m＋3(5∴42m－87＝0，∴m＝eq\f(29,14)，即當m＝eq\f(29,14)時，c與d垂直．(2)假設c與d共線，則存在實數(shù)λ，使得c＝λd，∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3又a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λm＝3，,－3λ＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(5,3)，,m＝－\f(9,5)，))即當m＝－eq\f(9,5)時，c與d共線．7．已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120°.(1)求證：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范圍