2023-2024學年福建省福州市部分學校教學聯(lián)盟高一下學期期末模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分學校教學聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期末模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由復數(shù)的運算法則，可得復數(shù)，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D.2.已知復數(shù)z的共軛復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以.故選：C.3.已知兩個不同的平面和兩條不同的直線，下面四個命題中，正確的是（）A.若，，則B.若，且，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：當，，，且與相交時，故B錯誤；對于C：若，，則或與異面，故C錯誤；對于D：若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選：D.4.已知向量滿足，向量與的夾角為，則（）A.12 B.4 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因為，向量與的夾角為．所以，所以．故選：C．5.已知向量，則在上的投影向量為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又因為，，所以，所以在上的投影向量為.故選：D.6.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A. B.C.四邊形的周長為 D.四邊形的面積為〖答案〗D〖解析〗如圖可知，四邊形的周長為，四邊形的面積為.故選：D.7.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，則，所以.故選：C.8.如圖，在長方體中，，點B到平面的距離為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得點到平面距離為三棱錐的高，設(shè)點到平面距離為，取中點，連接，因為為長方體，所以，所以，，，，所以，，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則一定為等腰三角形B.若，則C.若，則的最大內(nèi)角為D.若為銳角三角形，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由正弦定理得：，所以一定為等腰三角形，故A正確；對于B，因為，又在時為減函數(shù)，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以角為最大角，設(shè)，由余弦定理得：，因為，所以，故C正確；對于D，若為銳角三角形，則，即，因為，所以，因為函數(shù)在時為增函數(shù)，所以，故D正確.故選：ACD.10.在圖示正方體中，O為BD中點，直線平面，下列說法正確的是（）．A.A，C，，四點共面 B.，M，O三點共線C.平面 D.與BD異面〖答案〗ABD〖解析〗由正方體性質(zhì)，，所以A，C，，四點共面，A正確；∵直線交平面于點，平面，直線，又平面，平面，為的中點，平面，底面為正方形，所以為的中點，平面，且平面，又平面，且平面，面與面相交，則，，在交線上，即三點共線，故選項正確；平面平面，平面，但，所以平面，C錯誤；平面，面，，所以與BD為異面直線，D正確.故選：ABD.11.如圖，棱長為2的正方體中，點，，分別是棱，，的中點，則下列說法正確的有（）A.直線與直線共面B.C.二面角的平面角余弦值為D.過點，，的平面，截正方體的截面面積為9〖答案〗ABC〖解析〗對于A項，如圖①，分別連接，在正方體中，易得四邊形是矩形，故有，又分別是棱的中點，則，故，即可確定一個平面，故A項正確；對于B項，如圖②，，故B項正確；對于C項，如圖③，連接交于，，平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，即是二面角的平面角，又，故，故C項正確；對于D項，如圖④，連接易得因平面平面，則為過的平面與平面的一條截線，即過點的平面即平面.由，可得四邊形為等腰梯形，故其面積為：，故D項錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.陶瓷茶壺是中國人很喜愛的一種茶具，不少陶瓷茶壺兼具實用性與藝術(shù)性，如圖所示的陶瓷茶壺的主體可近似看作一個圓臺型容器，忽略茶壺的壁厚，該圓臺型容器的軸截面下底為10cm，上底為6cm，面積為，則該茶壺的容積約為______L（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：；）．〖答案〗〖解析〗圓臺型容器的軸截面為等腰梯形，設(shè)高為，則，解得，所以圓臺型容器的容積.故〖答案〗為：.13.海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂?shù)难鼋菫?，?jù)此可估計海寶塔的高度約為__________m.（計算結(jié)果精確到0.1）〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)海寶塔塔底中心為點，與交于點，過點作于點，則，由題意知，m，m，所以，則，在中，m，又是的外角，即有，所以，在中，m，設(shè)m，則m，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得或（舍），所以m，所以m，即海寶塔的高度為m.故〖答案〗為：.14.中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的塹堵中，，則陽馬的外接球的體積與表面積之比是__________.〖答案〗〖解析〗顯然陽馬的外接球與直三棱柱的外接球為同一個球，則外接球球心到平面ABC的距離為，由，，，得三角形ABC的外接圓半徑，因此外接球半徑，而外接球體積，表面積，所以陽馬的外接球的體積與表面積之比.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．解：（1）因為，由正弦定理，得，即，即，因為在中，，所以，又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得，由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.16.如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點P、Q分別是邊AB、BC的中點，將、分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點重合于點M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．（1）求證：；（2）在線段MD上是否存在一點F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，說明理由．解：（1）由圖1可得，，∴，∴，∵，，MD、平面MDQ，∴平面MDQ，∵平面MDQ，∴．（2）當時，平面PQF，理由如下：連BD交PQ于點O，連OF，由圖1可得，，即，因為，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面PQF．17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為的中點，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）若四棱錐為正四棱錐，且，求四棱錐的外接球與正四棱錐的體積之比．解：（1）設(shè)，在的中點，連接、，因為分別為的中點，所以且，又為線段上一點，且，底面是平行四邊形，所以為的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為四棱錐為正四棱錐，且，不妨設(shè)，則，連接，則平面，平面，所以，所以，則，所以，因為，所以正四棱錐外接球的球心位于線段上，設(shè)球心為，半徑為，連接，則，在中，即，解得，所以正四棱錐外接球的體積，所以四棱錐的外接球與正四棱錐的體積之比為.18.如圖，在三棱錐中，，是正三角形．（1）求證：平面平面；（2）若，，求與平面所成角正弦值．解：（1）作交PC于，連接，設(shè)，由，得，因為是正三角形，所以在中，，所以，所以，故，所以即為二面角的平面角，因為，，則所以，則所以由面面垂直定義可知，平面平面．（2）因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，設(shè)點到平面的距離為，由，，，則，由余弦定理可得：，在中，，，，所以，則，在中，，，，由余弦定理可得：，所以在中，，取的中點，連接，則，所以，則，根據(jù)等體積法可得：，所以，因為，所以與平面所成角的正弦值．19.如圖，斜三棱柱中，，為的中點，為的中點，平面⊥平面．（1）求證：直線平面；（2）設(shè)直線與直線的交點為點，若三角形是等邊三角形且邊長為2，側(cè)棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角；（3）若，在三棱柱內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切．求三棱柱的高．解：（1）斜三棱柱中，為的中點，為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為AC=BC，為的中點，所以CD⊥AB，因為平面⊥平面，交線為AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以，又與互相垂直，，面，故面，得.即為直角三角形，在中，為中點，，所以為的三等分點，設(shè)，由余弦定理可得：，解之：，所以故，⊥平面，在中，.與所成的角為（3）過作于，過作于，連，為直截面，小球半徑為的內(nèi)切圓半徑，因為，所以，故AC⊥BC，則，設(shè)所以，由解得，；由最小角定理，，由面，易知，，內(nèi)切圓半徑為：，則福建省福州市部分學校教學聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期末模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由復數(shù)的運算法則，可得復數(shù)，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D.2.已知復數(shù)z的共軛復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以.故選：C.3.已知兩個不同的平面和兩條不同的直線，下面四個命題中，正確的是（）A.若，，則B.若，且，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：當，，，且與相交時，故B錯誤；對于C：若，，則或與異面，故C錯誤；對于D：若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選：D.4.已知向量滿足，向量與的夾角為，則（）A.12 B.4 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因為，向量與的夾角為．所以，所以．故選：C．5.已知向量，則在上的投影向量為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又因為，，所以，所以在上的投影向量為.故選：D.6.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A. B.C.四邊形的周長為 D.四邊形的面積為〖答案〗D〖解析〗如圖可知，四邊形的周長為，四邊形的面積為.故選：D.7.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，則，所以.故選：C.8.如圖，在長方體中，，點B到平面的距離為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得點到平面距離為三棱錐的高，設(shè)點到平面距離為，取中點，連接，因為為長方體，所以，所以，，，，所以，，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則一定為等腰三角形B.若，則C.若，則的最大內(nèi)角為D.若為銳角三角形，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由正弦定理得：，所以一定為等腰三角形，故A正確；對于B，因為，又在時為減函數(shù)，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以角為最大角，設(shè)，由余弦定理得：，因為，所以，故C正確；對于D，若為銳角三角形，則，即，因為，所以，因為函數(shù)在時為增函數(shù)，所以，故D正確.故選：ACD.10.在圖示正方體中，O為BD中點，直線平面，下列說法正確的是（）．A.A，C，，四點共面 B.，M，O三點共線C.平面 D.與BD異面〖答案〗ABD〖解析〗由正方體性質(zhì)，，所以A，C，，四點共面，A正確；∵直線交平面于點，平面，直線，又平面，平面，為的中點，平面，底面為正方形，所以為的中點，平面，且平面，又平面，且平面，面與面相交，則，，在交線上，即三點共線，故選項正確；平面平面，平面，但，所以平面，C錯誤；平面，面，，所以與BD為異面直線，D正確.故選：ABD.11.如圖，棱長為2的正方體中，點，，分別是棱，，的中點，則下列說法正確的有（）A.直線與直線共面B.C.二面角的平面角余弦值為D.過點，，的平面，截正方體的截面面積為9〖答案〗ABC〖解析〗對于A項，如圖①，分別連接，在正方體中，易得四邊形是矩形，故有，又分別是棱的中點，則，故，即可確定一個平面，故A項正確；對于B項，如圖②，，故B項正確；對于C項，如圖③，連接交于，，平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，即是二面角的平面角，又，故，故C項正確；對于D項，如圖④，連接易得因平面平面，則為過的平面與平面的一條截線，即過點的平面即平面.由，可得四邊形為等腰梯形，故其面積為：，故D項錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.陶瓷茶壺是中國人很喜愛的一種茶具，不少陶瓷茶壺兼具實用性與藝術(shù)性，如圖所示的陶瓷茶壺的主體可近似看作一個圓臺型容器，忽略茶壺的壁厚，該圓臺型容器的軸截面下底為10cm，上底為6cm，面積為，則該茶壺的容積約為______L（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：；）．〖答案〗〖解析〗圓臺型容器的軸截面為等腰梯形，設(shè)高為，則，解得，所以圓臺型容器的容積.故〖答案〗為：.13.海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑩?jù)此可估計海寶塔的高度約為__________m.（計算結(jié)果精確到0.1）〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)海寶塔塔底中心為點，與交于點，過點作于點，則，由題意知，m，m，所以，則，在中，m，又是的外角，即有，所以，在中，m，設(shè)m，則m，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得或（舍），所以m，所以m，即海寶塔的高度為m.故〖答案〗為：.14.中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的塹堵中，，則陽馬的外接球的體積與表面積之比是__________.〖答案〗〖解析〗顯然陽馬的外接球與直三棱柱的外接球為同一個球，則外接球球心到平面ABC的距離為，由，，，得三角形ABC的外接圓半徑，因此外接球半徑，而外接球體積，表面積，所以陽馬的外接球的體積與表面積之比.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．解：（1）因為，由正弦定理，得，即，即，因為在中，，所以，又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得，由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.16.如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點P、Q分別是邊AB、BC的中點，將、分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點重合于點M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．（1）求證：；（2）在線段MD上是否存在一點F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，說明理由．解：（1）由圖1可得，，∴，∴，∵，，MD、平面MDQ，∴平面MDQ，∵平面MDQ，∴．（2）當時，平面PQF，理由如下：連BD交PQ于點O，連OF，由圖1可得，，即，因為，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面PQF．17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為的中點，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）若四棱錐為正四棱錐，且，求四棱錐的外接球與正四棱錐的體積之比．解：（1）設(shè)，在的中點，連接、，因為分別為的中點，所以且，又為線段上一點，且，底面是平行四邊形，所以為的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為四棱錐為正