上海市延安中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024-2025學(xué)年上海市延安中學(xué)高三年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．1．若集合，則______．2．不等式的解集為______．3．若（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為______．4．若角的終邊經(jīng)過點，則______．5．某校高一（1）班有學(xué)生40人，其中共青團員15人，全班分成4個小組，第一組有學(xué)生10人，共青團員4人，從該班任選一個作學(xué)生代表．已知選到的是共青團員，求他是第一組學(xué)生的概率______．6．若的二項展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)______．7．已知圓，則圓心到直線的最大距離為______．8．設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則______．9．已知為函數(shù)圖像上的任意一點，則的最大值為______．11．已知兩個非零向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為______．12．定義為數(shù)列的“均值”，已知數(shù)列的“均值”，記數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．12．若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，那么實數(shù)的取值范圍是______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．“”是“”成立的（）條件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要14．若甲乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．30種15．已知正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，若，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B．平面C．異面直線所成的角為定值 D．三棱錐的體積為定值16．我們知道，互相垂足且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸的原點重合且不互相垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．在斜坐標(biāo)系中，兩條坐標(biāo)軸的公共原點稱為斜坐標(biāo)系的原點，其坐標(biāo)記為．在軸（軸）上的點的縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）為0，如圖，在斜坐標(biāo)系中，如果軸與軸相交所成的角為，過平面任意一點，分別作坐標(biāo)軸的平行線，交軸于點，交軸于點，將點在軸上的坐標(biāo)，點在軸上的坐標(biāo)稱為點在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為．若是該坐標(biāo)系中的任意兩點，則點之間的距離為（）A．B．C．D．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，已知正方體的棱長為．（1）求直線和平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．18．（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）已知，曲線在點處的切線斜率為2．（1）求的值；（2）求不等式的解集．19．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）在課后2021年8月，義務(wù)交于階段“雙減”政策出臺，某初中在課后延時服務(wù)開設(shè)奧數(shù)、科技、體育等特色課程，為了進一步了解學(xué)生選課的情況，所及選取了400人進行調(diào)查問卷，整理后獲得如下統(tǒng)計表：喜歡奧數(shù)不喜歡奧數(shù)總計已選奧數(shù)課（A組）15050200未選奧數(shù)課（B組）90110200總計240160400（1）若從樣本內(nèi)喜歡奧數(shù)的240人中用分層抽樣方法隨機抽取32人，則應(yīng)在A組、B組各抽取多少人？（2）能否有99．5%的把握認為選報奧數(shù)延時課與喜歡奧數(shù)有關(guān)？附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828參考公式：，其中．20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線．（1）過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于兩點，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓，若分別是上的動點，且，求證：到直線的距離是定值．21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根，且．（1）求；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記，求證：．2024-2025學(xué)年上海市延安中學(xué)高三年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷2024.9一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．1．【答案】【解析】．2．【答案】【解析】，或．3．【答案】【解析】，則的共軛復(fù)數(shù)為．4．【答案】【解析】．5．【答案】【解析】設(shè)事件表示“選到第一組學(xué)生”，事件表示“選到共青團員”，由題意，，要求的是在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，不難理解，在事件發(fā)生的條件下，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇，因此．6．【答案】1【解析】設(shè)為含的項，則，．7．【答案】【解析】直線經(jīng)過的定點為，當(dāng)圓心與定點的連線與直線垂直時，距離最大為．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】設(shè)，則可知當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減則的最大值為．10．【答案】【解析】，則向量在向量方向上的投影向量為．11．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，對也成立，所以，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，記數(shù)列為．故對任意的恒成立，可化為：，即，解得．12．【答案】【解析】，設(shè)，則可知當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，則．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．【答案】A【解析】由小范圍推大范圍可知為充分非必要條件，故選A．14．【答案】C【解析】則甲乙所選的課程中恰有1門相同的選法有，故選C．15．【答案】C【解析】對于A，平面，又平面，故A正確；對于B，平面，又在直線上運動，平面，故B正確；對于D，由于點到直線的距離不變，故的面積為定值，又點到平面的距離為，故三棱錐的體積為定值，故D正確；對于C，當(dāng)點在處，為的中點時，異面直線所成的角是，當(dāng)在上底面的中心時，在的位置，異面直線所成的角是，顯然兩個角不相等，故C不正確，故選C．16．【答案】B【解析】設(shè)軸方向的單位向量為軸方向的單位向量為，則，得，由向量的數(shù)量積運算，得，從而得，故選B．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．【答案】（1）；（2）【解析】（1）平面直線和平面所成角為，，則直線和平面所成角的大小為．（2），則二面角的平面角為．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知點在曲線上，，．（2）由（1）知恒成立，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，且為奇函數(shù)，則，，則不等式的解集為．19．【答案】（1）20，12；（2）有關(guān)【解析】（1）應(yīng)在A組抽取，應(yīng)在B組抽取．（2）零假設(shè)為：選報奧數(shù)延時課與喜歡奧數(shù)無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，因此依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷不成立，因此有的把握認為選報奧數(shù)延時課與喜歡奧數(shù)有關(guān)．20．【答案】（1）；（2）見解析；（3）是【解析】（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：．過點與漸近線平行的直線方程為，即．解方程組，得．所以所求三角形的面積1為．（2）設(shè)直線的方程是．因直線與已知圓相切，故，即．由，得．設(shè)，則．所以故．（3）當(dāng)直線垂