湖南省邵陽市2024屆高三第一次聯(lián)考試題數(shù)學含答案解析

湖南省邵陽市2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題1.已知集合，則集合的元素個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】因為集合，所以，其元素個數(shù)2，故選：C.2.下列各式的運算結果不是純虛數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.3.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)全稱命題或者特稱命題的否定，所以的否定為，故選：D.4.若拋物線上一點到焦點的距離是，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為拋物線的準線為，由題意可得：，解得故選：A.5.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故選：D.6.苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質文化遺產之一.假設在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）A.56 B.90 C.110 D.132【答案】B【解析】根據(jù)題意分兩類，第一種兩個“對唱”節(jié)目相鄰：，第一種兩個“對唱”節(jié)目不相鄰：，則不同排法種數(shù)為.故選：B7.已知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，的單調增區(qū)間為.在上單調遞增，，.由，解得，的單調減區(qū)間為，又函數(shù)在上單調遞減，，.綜上，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C8.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，設，在上單調遞減.又；又，設時，在單調遞減.；綜上，，故選：D.二?多選題9.設點為圓上一點，已知點，則下列結論正確的有（）A.的最大值為B.的最小值為8C.存在點使D.過A點作圓的切線，則切線長為【答案】AD【解析】設，即，由得，∴的最大值是，A正確；，只有且時，才能取得最小值8，但時，且，因此上述最小值不能取得，B錯；由得，整理得，因此滿足的點在圓，此圓圓心為，半徑為，而，因此它與圓外離，因此圓上不存在點，滿足，，C錯；圓圓心為，半徑為，則過A點作圓的切線的切線長為，D正確．故選：AD．10.下列說法正確的有（）A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，且，則總體方差B.在研究成對數(shù)據(jù)的相關關系時，相關關系越強，相關系數(shù)越接近于1C.已知隨機變量，若，則D.已知一組數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為39【答案】BCD【解析】對于A，由題意，若兩層樣本容量依次為，而，則總體均值為，則總體的方差為，當且僅當時，，故A錯誤；對于B，由成對數(shù)據(jù)相關性中相關系數(shù)實際意義知：相關系數(shù)越接近于1，線性相關關系越強，反之也成立，故B正確；對于C，由,故，根據(jù)正態(tài)分布對稱性,故C正確；對于D，由，則，由此可得，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確.故選：BCD11.如圖所示，已知正四棱柱中，為的中點，則（）A.平面B.平面C.為棱上任一點，則三棱錐的體積為定值D.平面截此四棱柱的外接球得到的截面面積為【答案】BC【解析】A：由為的中點，所以A錯；B：平面平面，，又平面，平面，平面，B對；平面，平面，平面為定值，對；：設外接球球心為，即為對角線中點.到平面距離為到平面距離的一半，到平面距離等于到平面距離，設為，由，即，，則到平面距離為，正四棱柱外接球半徑為，所以截面圓半徑錯.故選：BC12.已知函數(shù)與其導函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（）A.關于對稱 B.關于對稱C.是周期函數(shù) D.【答案】ACD【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以的圖象關于直線對稱.故A正確；因為為奇函數(shù)，則其圖象關于對稱，向左平移一個單位后得到的圖象，則的圖象關于對稱，故B錯誤；因為為奇函數(shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因為，，所以，，所以，故D正確，故選：ACD.三?填空題13.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】25【解析】對于，其，當時，與湊成，此時系數(shù)為，當時，與湊成，此時系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.已知數(shù)列的首項為，則__________.【答案】9【解析】因為，，當時，，解得：，，兩式相減可得：，所以的偶數(shù)項是以為首相，公差為的等差數(shù)列，所以.故答案為：9.15.已知，則__________.【答案】1【解析】因為，∴，∴，或，又，∴，．故答案為：1.16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，它們的離心率分別為，點為它們的一個交點，且.當取最小值時，的值為__________.【答案】【解析】設橢圓方程為，雙曲線方程為：.不妨設點為第一象限的交點，由題意知：，則，由余弦定理得：，所以.當且僅當時取等號，..故答案為：.四?解答題17.現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件.第1臺車床的正品率為，第2臺車床的正品率為，將加工出來的零件混放在一起.已知第1，2臺車床加工的零件數(shù)分別為總數(shù)的.（1）從混放的零件中任取1件，如果該零件是次品，求它是第2臺車床加工出來的概率；（2）從混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互獨立.用表示這10次抽取的零件是次品的總件數(shù)，試估計的數(shù)學期望.解：（1）不難知，第1臺加工零件的次品率為，第2臺加工零件的次品率為.記事件表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是次品”，事件表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是第臺車床加工的”，.則.（2）可能取值為，且服從二項分布.由（1）知，..18.在中，內角滿足.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.解：（1）由已知..（2）.又，.令，.當且僅當取等號.的最大值為.19.如圖所示，圓臺的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.（1）求證：；（2）截面與下底面所成的夾角大小為，求異面直線與所成角的余弦值.（1）證明：圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.母線與母線的延長線必交于一點，四點共面.圓面圓面，且平面圓面，平面圓面..（2）解：為等邊三角形，，如圖建立空間直角坐標系，設..設平面的一個法向量.則有：令，則.底面的一個法向量，因為截面與下底面所成的夾角大小為，所以，，，又坐標為.，.異面直線與所成角的余弦是.20.設數(shù)列滿足：.等比數(shù)列的首項，公比為2.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）...即.當時，，滿足上式.，根據(jù)等比數(shù)列的首項，公比為2，可知.（2）由（1）知：.，...21.已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖所示，設點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）依題意得解得，橢圓的標準方程為.（2）存在點，使，點的坐標為.理由如下：直線過點，與橢圓交于不同的兩點.且都在軸上方.直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為.聯(lián)立方程消去可得：.此時，設，則.，.存在點滿足條件.點坐標為.22.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，求證：當時，恰有兩個零點.（1）解：.當時，在上單調遞減.當時，在上，有，在上，有,故在上單調遞減，上單調遞增.當時，在上單調遞增.當時，在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞減，上單調遞增.當時，在上單調遞增.當時，在上單調遞減.（2）證明：