6.1.3簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體球圓柱圓錐和圓臺(tái)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步1.3簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,并能在幾何體中進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.3.了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

球1.球的定義、相關(guān)概念、圖形及表示球及相關(guān)概念圖形及表示定義以

所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體,簡(jiǎn)稱球

球面不能展開(kāi)成平面圖形球用表示它球心的字母來(lái)表示

圖中的球記作:

相關(guān)概念球心:半圓的

;

半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段;直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且過(guò)球心的線段半圓的直徑

圓心球O2.球的相關(guān)性質(zhì)(1)球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑;(2)用任何一個(gè)平面去截球面,得到的截面都是圓,其中過(guò)球心的平面截球面得到的圓的半徑最大,等于球的半徑.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.(

)(2)球面和球體是一樣的.(

)(3)連接球面上兩點(diǎn)的線段為球的直徑.(

)(4)過(guò)球面上一點(diǎn)可以作出無(wú)數(shù)個(gè)大圓.(

)2.過(guò)球面上任意兩點(diǎn)A,B作大圓,可能作大圓的個(gè)數(shù)是多少?×××√提示

當(dāng)過(guò)A,B的直線經(jīng)過(guò)球心時(shí),經(jīng)過(guò)A,B的截面所得的圓都是球的大圓,這時(shí)過(guò)A,B作球的大圓有無(wú)數(shù)個(gè);當(dāng)直線AB不經(jīng)過(guò)球心O時(shí),經(jīng)過(guò)A,B,O的截面就是一個(gè)大圓,這時(shí)只能作出一個(gè)大圓.知識(shí)點(diǎn)二

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征1.定義矩形的一邊

直角三角形的一條直角邊

直角梯形垂直于底邊的腰

2.相關(guān)概念(1)高:在

上的這條邊的長(zhǎng)度.

(2)底面:

的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

注意圓面與圓不同(3)側(cè)面:

旋轉(zhuǎn)而成的曲面.

(4)母線:繞軸旋轉(zhuǎn)的邊.

母線無(wú)數(shù)條且都相等旋轉(zhuǎn)軸

垂直于旋轉(zhuǎn)軸不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊3.圖形表示

名師點(diǎn)睛

四種常見(jiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)比較類型球圓柱圓錐圓臺(tái)底面形狀無(wú)兩個(gè)底面是互相平行且半徑相等的圓圓兩個(gè)底面是互相平行且半徑不相等的圓母線無(wú)互相平行且長(zhǎng)度相等相交于頂點(diǎn)且長(zhǎng)度相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)且長(zhǎng)度相等平行于底面的截面形狀無(wú)與兩個(gè)底面半徑相等的圓與底面半徑不相等的圓與兩個(gè)底面半徑不相等的圓過(guò)軸的截面的形狀圓矩形等腰三角形等腰梯形過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.(

)(2)圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái).(

)(3)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是圓柱.(

)2.圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓直徑有何關(guān)系?×√×提示

圓錐的母線長(zhǎng)與底面直徑無(wú)一般性關(guān)系;但是圓錐的母線、圓錐的高、圓錐底面圓半徑可以組成直角三角形.3.矩形的兩相鄰邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm,以一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),則所形成的圓柱的底面積為多少?提示

當(dāng)以3

cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得到的圓柱的底面半徑為4

cm,底面積為16π

cm2;當(dāng)以4

cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得到的圓柱的底面半徑為3

cm,底面積為9π

cm2.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】

判斷下列各說(shuō)法是否正確.(1)用一個(gè)平面去截圓錐,得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái);(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是圓臺(tái);(3)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形;(4)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球.解

(1)錯(cuò).只有當(dāng)平面平行于圓錐底面時(shí),才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).(2)錯(cuò).直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體,如圖所示.(3)正確.(4)錯(cuò).應(yīng)為球面.規(guī)律方法

準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義,在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì),才能更好地把握它們的結(jié)構(gòu)特征,以作出準(zhǔn)確的判斷.變式訓(xùn)練1給出下列說(shuō)法:①經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面;②圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線,可能相交,也可能不相交;③圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線.其中說(shuō)法正確的是

.(填序號(hào))

①

解析①正確,如圖所示,經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面;②不正確,圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)后必相交于一點(diǎn);③不正確,由圓柱母線的定義知,圓柱的母線應(yīng)平行于軸.探究點(diǎn)二球的截面問(wèn)題【例2】

已知半徑為25cm的球的一個(gè)截面的面積是49πcm2,則球心到這個(gè)截面的距離為

.

24cm規(guī)律方法

設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A,球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形,解答球的截面問(wèn)題時(shí),常用該直角三角形或者用過(guò)球心和截面圓心的軸截面求解.變式訓(xùn)練2半徑是13cm的球面上有A,B,C三點(diǎn),并且AB=BC=CA=12cm,試求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離.解

設(shè)截面圓的圓心為O1,球的球心為O,則OO1即為球心到截面的距離,又O1是正三角形ABC的外心,探究點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺(tái)中的有關(guān)計(jì)算【例3】

如圖,用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)O'O的母線長(zhǎng).解

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l

cm,由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r

cm,4r

cm.過(guò)軸SO作截面,如圖.則△SO'A'∽△SOA,SA'=3

cm,解得l=9,故圓臺(tái)O'O的母線長(zhǎng)為9

cm.變式探究本例中若圓臺(tái)的上底面半徑為1cm,其他條件不變,試求圓臺(tái)的高.解

因?yàn)閳A臺(tái)的上底面半徑為1

cm,所以下底面半徑為4

cm.如圖,在Rt△A'HA中,規(guī)律方法

用平行于底面的平面去截圓柱、圓錐、圓臺(tái)等幾何體,注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似),同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì),利用相似三角形中的相似比,構(gòu)造相關(guān)幾何變量的方程組而得解.這種立體問(wèn)題平面化是解答旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問(wèn)題最常用的方法.探究點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)體中的最值問(wèn)題【例4】

一個(gè)圓錐的底面半徑為2,高為6,且有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱.(1)用x表示出圓柱的軸截面面積S.(2)當(dāng)x為何值時(shí),S取得最大值?規(guī)律方法

1.對(duì)于旋轉(zhuǎn)體中截面積的最值問(wèn)題,一般是將面積表示為某一變量的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,還要注意變量的取值范圍的限制;2.對(duì)于旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題,常利用側(cè)面展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間線段最短問(wèn)題.變式訓(xùn)練3已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長(zhǎng)AB=20cm,從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M處拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A,求:(1)繩子的最短長(zhǎng)度;(2)在繩子最短時(shí),上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.(2)作OQ⊥AM于點(diǎn)Q,交弧BB'于點(diǎn)P,則PQ為所求的最短距離.∵OA×OM=AM×OQ,∴OQ=24

cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4

cm.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)旋轉(zhuǎn)體的概念;(2)球的結(jié)構(gòu)特征;(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.方法歸納:分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)易忽視同一平面圖形以不同的軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的;(2)球的截面問(wèn)題易漏掉情況.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A.以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.棱臺(tái)的側(cè)面都是等腰梯形C.底面半徑為r,母線長(zhǎng)為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,但側(cè)棱不一定都垂直于底面CD解析

圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體,當(dāng)繞斜邊旋轉(zhuǎn)時(shí),不是棱錐,故A錯(cuò)誤;棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形,但棱臺(tái)的側(cè)棱不一定都相等,故B錯(cuò)誤;圓錐的軸截面是等腰三角形,其腰長(zhǎng)為2r,又底面半徑為r,故等腰三角形的底邊為2r,即該圓錐的軸截面為等邊三角形,故C正確;棱柱的側(cè)面都為平行四邊形,所以側(cè)棱都相等,棱柱包含直棱柱與斜棱柱,故側(cè)棱不一定都垂直于底面,故D正確.故選CD.123412342.一正方體內(nèi)接于一個(gè)球,經(jīng)過(guò)球心作一個(gè)截面,則截面的可能圖形為

.(只填寫序號(hào))

①②③

解析

當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得①圖;當(dāng)截面過(guò)正方體的體對(duì)角線時(shí)得③圖;當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過(guò)體對(duì)角線時(shí)得②圖