11.3.2直線與平面平行課件高一數(shù)學人教B版

第十一章立體幾何初步直線與平面平行人教B版

數(shù)學

必修第四冊課程標準1.通過直觀感知、操作確認,歸納出空間中線面平行的相關(guān)定理和性質(zhì).2.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,能利用以上定理解決空間中的相關(guān)平行問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示過關(guān)自診直線a與平面α不平行,則平面α內(nèi)與直線a平行的直線有(

)

A.無數(shù)條

B.0條C.1條

D.無數(shù)條或0條D解析

因為直線a與平面α不平行,所以直線a與平面α的關(guān)系有兩種,即a?α以及直線a與平面α相交.當a?α時,顯然在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條;當直線a與平面α相交時,設a∩α=A.當b?α,且A∈b時,此時a∩b=A,即直線a,b相交;當b?α,且A?b時,可知直線a,b異面.故當直線a與平面α相交時,平面α內(nèi)與直線a平行的直線有0條.所以直線a與平面α不平行,則平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條或0條.故選D.知識點2直線與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示如果

的一條直線與

的一條直線

,那么這條直線與這個平面平行

如果l?α,m?α,l∥m,則l∥α平面外

平面內(nèi)平行名師點睛1.應用判定定理時,要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個條件必須都具備,缺一不可.2.線面平行的判定定理體現(xiàn)了數(shù)學化歸思想,即將判斷線面平行轉(zhuǎn)化為判斷線線平行.過關(guān)自診1.(多選題)[2023湖南長沙高一期末統(tǒng)考]下列說法錯誤的是(

)A.a∥b,b?α?a∥αB.a∥α,b?α?a∥bC.a∥α,a∥b?b∥αD.a?α,a∥b,b?α?a∥αABC解析

對于A,還可能是a?α,故A錯誤;對于B,a,b的位置關(guān)系不確定,故B錯誤;對于C,還可能是b?α,故C錯誤;對于D,由線面平行的判定定理知D正確.故選ABC.2.如右圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,(1)與直線CD平行的平面是

;

(2)與直線CC'平行的平面是

;

(3)與直線BC平行的平面是

.

平面A'B'C'D',平面A'ABB'平面A'ABB',平面A'ADD'平面A'ADD',平面A'B'C'D'3.[北師大版教材習題改編]判斷下列命題是否正確:(1)一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行;(2)一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行;(3)平行于同一平面的兩條直線互相平行;(4)過平面外一點,可以作無數(shù)條直線與這個平面平行.解(1)(2)(3)不正確;(4)正確.知識點3直線與平面平行的性質(zhì)定理語言敘述如果一條直線與一個平面平行,且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線就與兩平面的

平行

符號表示如果l∥α,l?β,α∩β=m,則l∥m圖形表示交線

名師點睛1.性質(zhì)定理可以作為直線與直線平行的判定方法.應用時,需經(jīng)過已知直線找平面(或作平面)與已知平面相交,以平面為媒介證明線線平行.2.定理中三個條件:(1)a∥α;(2)α∩β=b;(3)a?β.三者缺一不可.過關(guān)自診1.[北師大版教材習題]平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是(

)

A.平行

B.相交C.異面

D.平行、相交或異面D2.[北師大版教材習題]如果直線a∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于直線a的直線(

)A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.有無數(shù)條,不一定在平面α內(nèi)C.只有一條,且在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)C3.如果直線a∥平面α,b?α,那么a與b的關(guān)系是(

)

A.相交

B.平行或異面C.平行

D.異面B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一直線與平面平行的判定【例1】

[北師大版教材例題]如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為DD1的中點,試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系,并說明理由.解BD1∥平面AEC,理由如下:如圖,連接BD,設BD∩AC=O,則點O為BD的中點,連接EO.因為點E為DD1的中點,所以EO∥BD1.又因為EO?平面AEC,BD1?平面AEC,所以由直線與平面平行的判定定理,得BD1∥平面AEC.規(guī)律方法

1.判斷或證明線面平行的常用方法(1)定義法:證明直線與平面無公共點(不易操作).(2)判定定理法:若a?α,b?α,a∥b,則a∥α.(3)排除法:證明直線與平面不相交,直線也不在平面內(nèi).2.證明線線平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì).(2)利用平行四邊形的性質(zhì).(3)利用平行線分線段成比例定理.變式訓練1[2023新疆塔城高一期中]如圖,四棱錐A-DBCE中,O為底面平行四邊形DBCE對角線的交點,F為AE的中點.求證:AB∥平面DCF.證明連接OF.∵O為底面平行四邊形DBCE對角線的交點,則BO=OE,即O為線段BE的中點.在△ABE中,F為AE中點,則AB∥OF.又AB?平面DCF,OF?平面DCF,則AB∥平面DCF.探究點二直線與平面平行的性質(zhì)定理的應用【例2】

(1)[2023安徽高一課時練習]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,AB=2PA=4,點E在棱PA上,PC∥平面BDE.求證:E為PA的中點.證明連接AC,交BD于點O,連接OE.∵PC∥平面BDE,平面BDE∩平面PAC=OE,PC?平面BDE,PC?平面PAC,∴PC∥OE.∵四邊形ABCD是正方形,BD∩AC=O,即O是AC的中點,∴在△PAC中,OE是三角形的中位線,即E為PA的中點.(2)如圖,已知AB與CD是異面直線,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.證明因為AB∥平面α,AB?平面ABC,平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH.因為AB∥平面α,AB?平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,所以AB∥FG,所以EH∥FG,同理,由CD∥平面α,可證EF∥GH,所以四邊形EFGH是平行四邊形.變式探究例2(2)中若添加條件“AB=CD”,能否得出四邊形EFGH為菱形?因為AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,由題意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出四邊形EFGH為菱形.探究點三線面平行的綜合應用【例3】

如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,P為平面ABC外一點,E,F分別是PA,PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明.證明直線l∥平面PAC,證明如下:因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC.又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因為l?平面PAC,EF?平面PAC,所以l∥平面PAC.規(guī)律方法

解答與平行有關(guān)的探索性題目的方法與步驟(1)有中點這一條件時,一般試探性地以中點為基礎(chǔ)作輔助線或面,然后再證明是否滿足條件.(2)關(guān)于平行的性質(zhì)定理是作證明和計算的理論依據(jù).(3)一般步驟:取點、連線、成形→探索論證→計算(作答).變式訓練2如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D1為線段A1C1上的點.當

等于何值時,BC1∥平面AB1D1?解當D1為線段A1C1的中點,即

=1時,BC1∥平面AB1D1.連接A1B交AB1于點O,連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴點O為A1B的中點.在△A1BC1中,O,D1分別為線段A1B,A1C1的中點,∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.故當

=1時,BC1∥平面AB1D1.成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516171819A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一·2023浙江高一課時練習]下列條件中,能得出直線m與平面α平行的是(

)A.直線m與平面α內(nèi)的所有直線平行B.直線m與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行C.直線m與平面α沒有公共點D.直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行C123456789101112131415161718192.[探究點一]在正方體ABCD-A'B'C'D'中,點E,F分別為平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,則正方體的六個面中與EF平行的平面有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個D123456789101112131415161718193.[探究點一·2023江蘇高一課時練習]如果a,b表示直線,α,β表示平面,那么下列說法中正確的是(

)A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b∥α,則a∥bC.若a∥b,b∥α,則a∥αD.若a∥α,a?β,α∩β=b,則a∥bD123456789101112131415161718194.[探究點一·2023天津高一課時練習]過直線l外兩點,作與直線l平行的平面,則這樣的平面(

)A.不可能作出

B.只能作出一個C.能作出無數(shù)個 D.上述三種情況都存在D解析

過直線l外兩點作與l平行的平面,如果兩點所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;如果兩點所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無數(shù)個;如果兩點所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個.故選D.123456789101112131415161718195.[探究點一·2023江西南昌月考]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,G,H分別為BB1,A1B1,B1C1,AA1,BC的中點,則(

)A.DE∥平面ACM B.DF∥平面ACMC.DG∥平面ACM D.DH∥平面ACMC12345678910111213141516171819D123456789101112131415161718197.(多選題)[探究點一]如圖,空間四邊形ABCD中,E,F,G分別是AB,BC,CD的中點,下列結(jié)論正確的是(

)A.AD∥EGB.AC∥平面EFGC.BD∥平面EFGD.AD,FG是一對相交直線BC12345678910111213141516171819解析

取BD的中點M,連接EM,可得AD∥ME.而EM與EG為相交直線,可得直線AD,EG為異面直線,故A錯誤;∵E,F,G分別是AB,BC,CD的中點,∴FE∥AC.又FE?平面EFG,AC?平面EFG,∴AC∥平面EFG,故B正確;∵E,F,G分別是AB,BC,CD的中點,∴FG∥BD.又FG?平面EFG,BD?平面EFG,∴BD∥平面EFG,故C正確;∵直線AD是平面BCD外的一條直線,而直線FG為平面BCD內(nèi)不經(jīng)過點D的一條直線,∴AD,FG為異面直線,故D錯誤.故選BC.123456789101112131415161718198.[探究點二]如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點,N是平面ABCD外一點,設AC∩BD=O,P為NC上一點,若OP∥平面NEF,則NP∶PC=

.

1∶2123456789101112131415161718199.[探究點一]如圖所示,在四面體ABCD中,點M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是

.

平面ABC、平面ABD解析

連接AM并延長,交CD于點E,連接BN,并延長交CD于點F,圖略,由重心性質(zhì)可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點E,由

,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.1234567891011121314151617181910.[探究點二]如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E,F分別是AB,PC的中點.證明:EF∥平面PAD.12345678910111213141516171819證明取PD的中點G,連接AG,FG.因為F,G分別是PC,PD的中點,所以FG∥CD,且FG=CD.因為四邊形ABCD為平行四邊形,則AB∥CD且AB=CD,AE∥CD.因為E為AB的中點,則AE=CD,所以AE∥FG,且AE=FG,所以四邊形AEFG為平行四邊形,故EF∥AG.因為EF?平面PAD,AG?平面PAD,所以EF∥平面PAD.1234567891011121314151617181911.[探究點三·人教A版教材習題]如圖,α∩β=a,b?α,c?β,b∥c,求證:a∥b∥c.證明因為b?α,α∩β=a,所以b?β.因為b∥c,c?β,所以b∥β.所以b∥a,所以a∥c,所以a∥b∥c.1234567891011121314151617181912.有下列四個條件:①a?β,b?β,a∥b;②b?β,a∥b;③a∥b∥c,b?β,c?β;④a,b是異面直線,a∥c,b?β,c?β.其中能保證直線a∥平面β的條件是(

)A.①②

B.①③ C.①④

D.②④B級關(guān)鍵能力提升練C解析

對于①,∵a?β,b?β,a∥b,由線面平行的判定定理可知直線a∥平面β;對于②,∵b?β,a∥b,則直線a∥平面β或直線a?平面β;對于③,∵a∥b∥c,b?β,c?β,則直線a∥平面β或直線a?平面β;對于④,∵a,b是異面直線,b?β,則a?β.∵a∥c,c?β,∴直線a∥平面β.1234567891011121314151617181913.在空間四邊形ABCD中,E,F分別是邊AB和BC上的點,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交

C.在平面內(nèi)

D.異面A解析

如圖,由

,得AC∥EF.又EF?平面DEF,AC?平面DEF,∴AC∥平面DEF.故選A.1234567891011121314151617181914.有一正方體木塊如圖所示,點P在平面A'B'C'D'內(nèi),棱BC平行于平面A'B'C'D',要經(jīng)過P和棱BC將木塊鋸開,鋸開的面必須平整,有N種鋸法,則N為(

)A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)B解析

∵BC∥平面A'B'C'D',∴BC∥B'C',在平面A'B'C'D'上過點P作EF∥B'C',則EF∥BC,∴沿EF,BC所確定的平面鋸開即可.又由于此平面唯一確定,∴只有一種方法,故選B.1234567891011121314151617181915.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1D1,BC,A1D1的中點,有下列四個結(jié)論:①AP與CM是異面直線;②AP,CM,DD1相交于一點;③MN∥BD1;④MN∥平面BB1D1D.其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A.①④

B.②④ C.①④

D.②③④B12345678910111213141516171819解析

如圖,連接MP.∵MP∥AC,MP≠AC,∴AP,CM是相交直線.設AP∩CM=G,則G∈平面ADD1A1,且G∈平面C1CDD1.又平面ADD1A1∩平面C1CDD1=DD1,∴AP,CM,DD1相交于一點,故①不正確,②正確;設AC∩BD=O,連接ON,OD1,則有OND1M,∴四邊形ONMD1為平行四邊形,則MN∥OD1,故③不正確;又MN?平面BB1D1D,OD1?平面BB1D1D,∴MN∥平面BB1D1D,故④正確.1234567891011121314151617181916.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于

.

解析

∵EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,∴EF∥AC.又E為AD的中點,點F在CD上,∴F是CD的中點,1234567891011121314151617181917.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M