2.6.1余弦定理與正弦定理（第2課時）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第二章平面向量及其應(yīng)用6.1

余弦定理與正弦定理第2課時正弦定理高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握正弦定理及其變形.2.了解正弦定理的證明方法.3.能運(yùn)用正弦定理解決相關(guān)問題,并能綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一

正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即名師點(diǎn)睛對正弦定理的理解(1)適用范圍:正弦定理對任意的三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長,分母為相應(yīng)邊所對角的正弦值的連等式.(3)揭示規(guī)律:正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對角的正弦值之間的關(guān)系式,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.(4)主要功能:正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.過關(guān)自診1.[人教A版教材例題]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+,解這個三角形.解

由三角形內(nèi)角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°.由正弦定理,得2.在△ABC中,已知a>b,那么A與B有何關(guān)系?sinA與sinB呢?提示

根據(jù)大邊對大角可知A>B,根據(jù)正弦定理可知sin

A>sin

B.知識點(diǎn)二

正弦定理的拓展1.正弦定理與三角形外接圓的關(guān)系以Rt△ABC斜邊AB為直徑作外接圓,設(shè)這個外接圓的半徑為R,則利用此等式可進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化

2.正弦定理的變形(R為△ABC外接圓的半徑)變式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.變式3:asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.變式4:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.名師點(diǎn)睛

過關(guān)自診1.正弦定理主要解決哪幾類三角形問題?提示

(1)已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和一角.(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).2.在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求邊b的長及△ABC外接圓的半徑R.知識點(diǎn)三

三角形解的個數(shù)1.已知三角形的兩角及一邊,根據(jù)正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角,根據(jù)正弦定理,可能有兩解、一解或無解.在△ABC中,當(dāng)已知a,b和角A時,解的情況如下:用“邊a去堵角A的敞口”來理解更為形象類型A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a=bsinA一解a<bsinA無解名師點(diǎn)睛在△ABC中,當(dāng)已知a,b和角A時,解的情況如下:過關(guān)自診1.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角,一定有解嗎?如果不一定,可能有幾個解?提示

不一定有解,解的個數(shù)可能為0,1,2,不可能有3個或3個以上的解.2.不解三角形,判斷下列三角形解的個數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解(1)因?yàn)锳=120°為鈍角,a=5>b=4,所以三角形有一解.(2)因?yàn)锳=150°為鈍角,a=7<b=14,所以三角形無解.(3)因?yàn)閍=60°為銳角,a=9,b=10,bsin

A=10×,所以b>a>bsin

A,所以三角形有兩解.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一已知兩角和一邊解三角形解

因?yàn)锽=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.規(guī)律方法

已知兩角及一邊解三角形的方法(1)若所給邊是已知兩角的對邊,可先由正弦定理求另一邊,再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角,最后由正弦定理求第三邊.(2)若所給邊不是已知兩角的對邊,則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.探究點(diǎn)二已知兩邊和其中一邊的對角解三角形【例2】

在△ABC中,已知下列條件,解三角形:變式探究本例中,將條件改為“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.規(guī)律方法

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)當(dāng)已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求得唯一的銳角.(3)當(dāng)已知的角為小邊所對的角時,不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求得兩個角,要分類討論.探究點(diǎn)三判斷三角形的形狀【例3】

在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.規(guī)律方法

判斷三角形的形狀,就是根據(jù)題目條件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下:(1)化邊為角,走三角變形之路,常用的轉(zhuǎn)化方式有:①a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C(R為△ABC外接圓的半徑);②(2)化角為邊,走代數(shù)變形之路,常用的轉(zhuǎn)化方式有:變式訓(xùn)練2在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,則該三角形的形狀為(

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.等腰三角形C解析

因?yàn)閟in2A+2sin2B=sin2C,所以由正弦定理得a2+2b2=c2,則a2+b2-c2=-b2<0,故cos

C<0,且C∈(0,π),所以C為鈍角,△ABC為鈍角三角形.故選C.探究點(diǎn)四不解三角形判斷三角形解的個數(shù)【例4】

滿足條件a=4,b=3,A=45°的三角形有(

)A.1個

B.2個C.無數(shù)個 D.0個B規(guī)律方法

已知兩邊及其中一邊的對角,用正弦定理解三角形,可能有兩解、一解或無解.在△ABC中,已知a,b和A時,解的情況如下:(1)當(dāng)A為銳角時,①a<bsin

A,無解;②a=bsin

A,一個解;③bsin

A<a<b,兩個解;④a≥b,一個解.(2)當(dāng)A為直角或鈍角時,①a>b,一個解;②a≤b,無解.求解該類問題時,一般先判斷角為銳角、鈍角還是直角,然后借助邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.變式訓(xùn)練3在△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC僅有一解,則b∈(

)D解析

由B=45°,a=1,三角形有一解,則b=asin

B=sin

45°=,或b≥a=1,故選D.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)正弦定理;(2)正弦定理的變形推論及邊角轉(zhuǎn)化;(3)利用正弦定理解三角形.2.方法歸納:化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū):(1)已知兩邊及一邊所對的角解三角形時易忽略分類討論.(2)易忽視三角形中角的隱含條件限制.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練A1234567891011122.(多選)在△ABC中,a=5,c=10,A=30°,則角B的值可以是(

)A.105° B.15° C.45° D.135°AB因?yàn)閍<c,所以A<C,則C=45°或C=135°,則角B=105°或B=15°.故選AB.123456789101112C1234567891011124.若△ABC的三個內(nèi)角之比為A∶B∶C=3∶2∶1,則三邊之比a∶b∶c為(

)B1234567891011125.(多選)三角形有一個角是60°,組成這個角的兩邊長分別為8和5,則(

)A.三角形的另一邊長為6B.三角形的周長為20C.三角形內(nèi)切圓的面積為3πD.三角形外接圓的周長為

πBC1234567891011121234567891011126.在△ABC中,已知a=2,A=60°,則△ABC的外接圓的直徑為

.

1234567891011127.[2023湖南常德臨澧月考]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=1,c=.123456789101112123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練8.[2023江蘇南京二模]在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若bcos(A+B)=csinB,則角C的大小為(

)B1234567891011129.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,則△ABC的最大角與最小角的和是(

)A.90° B.120° C.135° D.150°B12345678910111210.張老師整理舊資料時發(fā)現(xiàn)一題部分字跡模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊.已知b=2,A=45°,求邊c.顯然缺少條件,若他打算補(bǔ)充a的大小;并使得c有兩個解,則a的取值范圍是

.

123456789101112解析

由題意可知三角形有兩個解.由圖可知CD=bsin

A=2×sin

45°=2.若c有兩解,以C為圓心,a為半徑的圓弧與射線AD有兩個交點(diǎn),則CD<a<AC,即a∈(2,2).12345678910111212345678910111212345678910