直線與平面平面與平面平行的判定附答案

直線與平面、平面與平面平行的判定[學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義。2。會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3。能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡(jiǎn)單問題。知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理語(yǔ)言敘述符號(hào)表示圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b＼ｌc＼\ｒｃ＼}（\a\ｖｓ4\aｌ\cｏ１（ａ?α，b?α,a∥b）)?a∥α思考若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個(gè)平面平行嗎？答根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤。知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理語(yǔ)言敘述符號(hào)表示圖形表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\ｂ\ｌｃ＼＼rc\｝(\a\vs４\ａl\co１（a?α，ｂ?α,ａ∩b＝A,a∥β,ｂ∥β))?α∥β思考如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面也平行嗎？答不一定.這條直線與另一個(gè)平面平行或在另一個(gè)平面內(nèi)。題型一直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用例1如圖，空間四邊形ABＣＤ中，E、F、G、H分別是AB、ＢＣ、ＣD、DA的中點(diǎn)。求證:(1)ＥH∥平面ＢＣD；(2)BD∥平面EFGH。證明(1)∵EＨ為△ABD的中位線，∴EＨ∥BD．∵EＨ?平面BCＤ,BＤ?平面BＣD,∴EH∥平面BＣＤ。(2）∵BD∥EH,ＢD?平面ＥFGH，EH?平面EFGＨ,∴BＤ∥平面ＥＦGH.跟蹤訓(xùn)練1在四面體A-BＣD中,M，N分別是△ＡＢD和△BCD的重心，求證:MN∥平面ADC．證明如圖所示,連接BＭ,BN并延長(zhǎng),分別交ＡＤ,ＤＣ于P，Q兩點(diǎn),連接ＰQ．因?yàn)椋?，N分別是△ABＤ和△BCD的重心,所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。所以MN∥ＰＱ。又因?yàn)镸Ｎ?平面ADC,PQ?平面ADC，所以MN∥平面ＡDＣ.題型二面面平行判定定理的應(yīng)用例2如圖所示，在三棱柱ＡBC－A1Ｂ1C1中,點(diǎn)D，Ｅ分別是BC與B１C1的中點(diǎn)。求證:平面A1EB∥平面AＤC1。證明由棱柱性質(zhì)知，B1C1∥ＢＣ,B1C1=BC,又D,E分別為BＣ,B1Ｃ1的中點(diǎn),所以C1E綊DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形,因此EB∥C１D，又C１Ｄ?平面ＡＤC1，EB?平面AＤC1，所以EB∥平面ＡDC1.連接DE,同理，EＢ１綊BＤ,所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ＥD綊B1B。因?yàn)锽1B∥A１Ａ,B1B=Ａ1Ａ（棱柱的性質(zhì)），所以ED綊A１A,則四邊形EDAＡ１為平行四邊形,所以A1E∥AD,又Ａ1E?平面ADC1,AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADＣ1。由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ＡDC1，A１Ｅ?平面A１EB，EB?平面A1EB，且Ａ1E∩EB=E,所以平面A１ＥB∥平面AＤＣ1．跟蹤訓(xùn)練2已知ABＣＤ－A1Ｂ1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在ＣC1上,點(diǎn)G在BB1上，且ＡE=ＦＣ1＝B１Ｇ=1,H是B1C1的中點(diǎn)。求證:(1）Ｅ，B，F(xiàn),Ｄ１四點(diǎn)共面；（2)平面A1GH∥平面BED1Ｆ.證明(1）∵AE=B1G＝1,∴BG＝A1E=2．又∵ＢG∥Ａ1E，∴四邊形A１ＥBG是平行四邊形,∴A1G∥BE。連接FG?！逤1F＝Ｂ1G,Ｃ1F∥B１Ｇ，∴四邊形C1FGＢ1是平行四邊形,∴FＧ=C1B１=D１A1，ＦG∥Ｃ１B1∥D1Ａ1,∴四邊形A1GFD1是平行四邊形，∴A1G∥D1F，∴D１F∥ＥB。故E,B，F(xiàn),D1四點(diǎn)共面.（２)∵H是B1Ｃ1的中點(diǎn),∴B1H=ｅq＼f(3,2)．又∵B1G=1,∴eq\ｆ（Ｂ1G，Ｂ1H)=ｅq\ｆ（２，3）。又ｅq\f(FC，ＢC）=eq\ｆ(２,3），且∠FCB＝∠GB１H=90°,∴△B1HＧ∽△ＣＢF,∴∠B1GＨ=∠ＣFB=∠FBG，∴ＨG∥FB。又由（1)知,A1G∥ＢE，且HＧ∩A1G=G，F(xiàn)B∩ＢＥ＝B，∴平面A1ＧＨ∥平面ＢED1F.題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用例3在正方體ABCD－A1B１Ｃ１D１中,O為底面ＡBCＤ的中心,P是DＤ1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn).問:當(dāng)點(diǎn)Ｑ在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?請(qǐng)說(shuō)明理由.解當(dāng)Q為ＣC1的中點(diǎn)時(shí),平面Ｄ1ＢQ∥平面PAＯ.理由如下:連接PQ.∵Ｑ為CC１的中點(diǎn),P為DＤ1的中點(diǎn),∴PQ∥DC∥AB,PQ＝DＣ＝AB，∴四邊形ABQＰ是平行四邊形,∴QB∥ＰA.又∵O為DB的中點(diǎn),∴D１B∥PO．又∵PＯ∩PA＝P，D1Ｂ∩ＱＢ=B,∴平面D1BQ∥平面ＰAＯ。跟蹤訓(xùn)練3如圖，三棱柱ABC－A1Ｂ1Ｃ1的底面為正三角形，側(cè)棱Ａ1A⊥底面AＢC,Ｅ,F分別是棱CC1,BB1上的點(diǎn)，ＥC=2ＦB。M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF？請(qǐng)說(shuō)明理由。解當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEＦ。理由如下：方法一如圖1，取AE的中點(diǎn)O,連接OF,ＯＭ.∵O，M分別是AＥ，AC的中點(diǎn),∴OＭ∥EＣ，OM＝ｅq\f（1,2）EＣ。又∵ＢF∥ＣＥ，EC=2FＢ，∴ＯM∥ＢＦ,ＯM＝ＢF,∴四邊形OMＢF為平行四邊形,∴BM∥OF。又∵OＦ?面AＥＦ,BM?面AEＦ，∴ＢM∥平面AEＦ。方法二如圖2，取EC的中點(diǎn)P,連接PM，PB?！撸校褪恰鳎罜Ｅ的中位線,∴PM∥ＡＥ?！撸臗＝2FＢ＝2PＥ，CC１∥BＢ1,∴PE=BF，PE∥BF,∴四邊形BPEF是平行四邊形,∴ＰＢ∥EF。又∵PM?平面AEF，PＢ?平面AEF,∴PM∥平面ＡEＦ,PB∥平面AEF。又∵ＰＭ∩PB=P，∴平面ＰＢM∥平面AＥF。又∵ＢＭ?面PBM，∴BＭ∥平面AEF。面面平行的判定例4已知在正方體ABＣD－A′B′C′Ｄ′中，Ｍ，Ｎ分別是A′D′，A′B′的中點(diǎn),在該正方體中是否存在過(guò)頂點(diǎn)且與平面AMＮ平行的平面？若存在，試作出該平面,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析根據(jù)題意畫出正方體,根據(jù)平面AMN的特點(diǎn)，試著在正方體中找出幾條平行于該平面的直線，然后作出判斷,并證明。解如圖,與平面AMN平行的平面有以下三種情況：下面以圖①為例進(jìn)行證明。如圖①,取B′C′的中點(diǎn)E，連接BＤ,BＥ，ＤE,ME,B′D′，可知四邊形ABＥＭ是平行四邊形,所以BE∥ＡＭ.又因?yàn)锽E?平面ＢDE,AM?平面BDＥ,所以AM∥平面BDE。因?yàn)椋停问恰鰽′B′D′的中位線,所以ＭN∥B′D′。因?yàn)樗倪呅危翫D′B′是平行四邊形，所以ＢＤ∥B′D′。所以ＭN∥BD。又因?yàn)锽Ｄ?平面BＤE,ＭN?平面BDＥ，所以MＮ∥平面BＤＥ。又因?yàn)椋罬?平面AMN，MＮ?平面ＡMN,且AM∩MＮ＝Ｍ，所以由平面與平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.1。過(guò)直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面,則這樣的平面（)A.不可能作出?B。只能作出一個(gè)C。能作出無(wú)數(shù)個(gè) D.上述三種情況都存在２。經(jīng)過(guò)平面α外兩點(diǎn),作與α平行的平面,則這樣的平面可以作(）A。１個(gè)或2個(gè)?B.０個(gè)或1個(gè)C。1個(gè) D。0個(gè)3。若線段ＡB,ＢC，ＣＤ不共面，M，N，P分別為線段AＢ,ＢC,ＣＤ的中點(diǎn),則直線BD與平面MＮP的位置關(guān)系是(）A．平行 B。直線在平面內(nèi)C。相交?D。以上均有可能4.在正方體ＥFGH-E１F1G1H1中,下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()A。平面E１FＧ1與平面ＥＧH1Ｂ．平面FHG１與平面F１Ｈ1GＣ。平面F1H1H與平面FＨＥ１Ｄ。平面Ｅ1HG１與平面ＥH１G5.梯形ＡBCＤ中，AB∥CD，ＡB?平面α，CD?平面α，則直線CＤ與平面α的位置關(guān)系是___＿_(dá)＿_(dá)_。一、選擇題1.下列說(shuō)法正確的是（)①若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行;②若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行;③若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；④若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。A。①③B。②④C.②③④D.③④2。平面α與平面β平行的條件可以是（)A.α內(nèi)有無(wú)窮多條直線與β平行B．直線ａ∥α,ａ∥β，且直線a不在α與β內(nèi)C．直線ａ?α,直線b?β,且ｂ∥α,a∥βD。α內(nèi)的任何直線都與β平行3。六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有（）A。2對(duì)B。3對(duì)C.４對(duì)D.5對(duì)４．如果直線ａ平行于平面α,那么下列命題正確的是(）A。平面α內(nèi)有且只有一條直線與ａ平行B。平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行C.平面α內(nèi)不存在與ａ平行的直線D.平面α內(nèi)的任意直線與直線a都平行5。在空間四邊形AＢＣD中,E,F分別為AＢ,AD上的點(diǎn)，且ＡE∶EB＝AF∶FＤ=1∶4,又H,G分別為ＢC，CD的中點(diǎn)，則()Ａ．BＤ∥平面ＥFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B。EF∥平面BCＤ，且四邊形ＥFGH是梯形C．HG∥平面AＢD，且四邊形EＦGH是平行四邊形D．ＥＨ∥平面AＤC,且四邊形EFＧH是梯形6。平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零,則α與β的位置關(guān)系為（)A。平行B。相交C。平行或相交D?？赡苤睾?。已知直線l,m,平面α,β,下列命題正確的是（)Ａ。l∥β,l?α?α∥βB。l∥β，m∥β，l?α,ｍ?α?α∥βＣ.l∥m,l?α,m?β?α∥βD。l∥β,m∥β,l?α，m?α,l∩m=M?α∥β二、填空題8。三棱錐SAＢＣ中,Ｇ為△ABC的重心,E在棱SＡ上,且AＥ=2ＥS，則EG與平面ＳBＣ的關(guān)系為_＿_(dá)＿＿＿_(dá)＿。9。如圖是正方體的平面展開圖。在這個(gè)正方體中,①BM∥平面ＤE;②CN∥平面AF；③平面BＤM∥平面AFN;④平面BDE∥平面ＮCF.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是＿_(dá)_＿_(dá)＿＿_(dá)。１0.右圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ＡＢCＤ為正方形,Ｅ，F(xiàn),Ｇ，H分別為PＡ，PD,PC,PB的中點(diǎn)，在此幾何體中,給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFＧH∥平面ABＣD；②PA∥平面ＢDG;③EF∥平面PＢC;④FH∥平面BＤG；⑤EF∥平面BDG；其中正確結(jié)論的序號(hào)是_＿_(dá)__＿_(dá)_。三、解答題1１。如圖，在已知四棱錐P-AＢCD中,底面ABCＤ為平行四邊形,點(diǎn)M,N，Q分別在PA,BD,PD上,且PＭ∶MＡ＝BＮ∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面ＰBC。１2.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1Ｃ1D1中,M是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在側(cè)面ＡA1D1D上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N滿足什么條件時(shí)，ＭＮ∥平面BB1D１D?當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案D解析設(shè)直線外兩點(diǎn)為Ａ、B，若直線ＡＢ∥l,則過(guò)A、B可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與l平行;若直線AＢ與l異面,則只能作一個(gè)平面與l平行；若直線ＡB與l相交,則過(guò)Ａ、Ｂ沒有平面與l平行。2。答案B解析①當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面α平行時(shí),可作出一個(gè)平面β使β∥α。②當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線與平面α相交時(shí),由于作出的平面又至少有一個(gè)公共點(diǎn),故經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的平面都與平面α相交，不能作出與平面α平行的平面。故滿足條件的平面有0個(gè)或1個(gè)。3.答案A解析連接NＰ，因?yàn)镹、P分別是BC、CD的中點(diǎn),M是ＡB的中點(diǎn),AＢ、ＢC、CD不共面,所以直線BD不在平面ＭNＰ上?！嘀本€ＢD與平面ＭNP平行。4．答案A解析如圖，∵EG∥E1G１,EG?平面E１FG1，E１G1?平面E1FG1,∴EG∥平面Ｅ1FＧ1,又Ｇ1F∥H１E,同理可證Ｈ１Ｅ∥平面E１ＦG1,又H１E∩EＧ=E,∴平面E１FG１∥平面EGH1。5．答案ＣＤ∥α解析因?yàn)锳Ｂ∥ＣD,ＡB?平面α,CD?平面α，由線面平行的判定定理可得ＣD∥α。課時(shí)精練答案一、選擇題1。答案D解析如圖,長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C１D1中，在平面ABＣＤ內(nèi)，在ＡＢ上任取一點(diǎn)Ｅ，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD,交CD于點(diǎn)F,則由線面平行的判定定理，知ＥＦ,BC都平行于平面ＡDD1A１，用同樣的方法可以在平面ABCD內(nèi)作出無(wú)數(shù)條直線都與平面ADD1A1平行,但是平面ABCD與平面ADD1A1不平行,因此①②都錯(cuò)；③正確,事實(shí)上，因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個(gè)平面,所以這兩個(gè)平面必?zé)o公共點(diǎn)(要注意“任意一條直線”與“無(wú)數(shù)條直線＂的區(qū)別)；④是平面與平面平行的判定定理，正確。2。答案D解析對(duì)于Ａ項(xiàng)，當(dāng)α與β相交時(shí),α內(nèi)也有無(wú)數(shù)條直線都與交線平行,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)a平行于α與β的交線時(shí)，也能滿足,但此時(shí)α與β相交，故Ｂ錯(cuò)誤;對(duì)于Ｃ項(xiàng),當(dāng)a和b都與α與β的交線平行時(shí),也能滿足,但此時(shí)α與β相交,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，α內(nèi)的任何直線都與β平行,故在一個(gè)平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平面,故Ｄ正確。3。答案C解析側(cè)面中有３對(duì)，對(duì)面相互平行,上下兩底面也相互平行．4。答案B解析如圖，直線B1C1∥平面ＡＢCD,B１C1∥BC,B1Ｃ1∥ＡD，B1C1∥EＦ(E,F為中點(diǎn)）等，平面AＢCD內(nèi)平行于ＢC的所有直線均與Ｂ１C1平行。但ＡB與B1C1不平行。5。答案Ｂ解析易證EF∥平面BＣD。由ＡE∶EB=AF∶FD,知EＦ∥BＤ，且EF＝ｅq\ｆ(1，5)BD.又因?yàn)镠，G分別為BC，CD的中點(diǎn),所以ＨG∥ＢD，且ＨG＝ｅq\ｆ(1，2)BD。綜上可知,EF∥HG,ＥF≠HG，所以四邊形ＥＦGH是梯形,且EF∥平面BＣＤ。6。答案C解析若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè)，則α與β平行,若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè),則α與β相交.7。答案D解析如圖所示，在長(zhǎng)方體AＢCDＡ１B1C1Ｄ1中，AＢ∥ＣD，則AB∥平面ＤC1,AB?平面ＡC，但是平面AC與平面DC１不平行，所以A錯(cuò)誤;取ＢB１的中點(diǎn)E,ＣＣ1的中點(diǎn)F,則可證EＦ∥平面AＣ,B１C１∥平面AＣ。EF?平面BＣ1，B1C1?平面BC1,但是平面ＡC與平面BC1不平行，所以B錯(cuò)誤；可證ＡＤ∥B1C1,AD?平面AC，B1C１?平面ＢＣ1，又平面AC與平面BC１不平行,所以C錯(cuò)誤;很明顯D是面面平行的判定定理,所以D正確.二、填空題８。答案平行解析如圖,延長(zhǎng)ＡG交ＢC于Ｆ,連接SF,則由Ｇ為△ＡＢC的重心知AG∶ＧＦ＝2，又AE∶ES＝2,∴ＥG∥SF，又SF?平面ＳBC，EG?平面SBＣ，∴EG∥平面SBＣ。9.答案①②③④解析以ABC