2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)-10.2-事件的相互獨(dú)立性-作業(yè)

四十二事件的相互獨(dú)立性【根底全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每題5分，共20分)1．壇子中放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中進(jìn)行不放回地取球兩次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，那么A1和A2是()A．互斥事件B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件D．不相互獨(dú)立的事件【解析】選D.因?yàn)镻(A1)＝eq\f(3,5)，假設(shè)A1發(fā)生了，P(A2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)；假設(shè)A1不發(fā)生，P(A2)＝eq\f(3,4)，所以A1發(fā)生的結(jié)果對(duì)A2發(fā)生的結(jié)果有影響，所以A1與A2不是相互獨(dú)立事件．【加固訓(xùn)練】(多項(xiàng)選擇題)以下事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面〞，B＝“第二次為反面〞B．袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球〞，B＝“第二次摸到白球〞C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)〞，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3或4”D．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)〞，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)〞【解析】選AC.把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后次序的影響，故A中A，B事件是相互獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A事件為出現(xiàn)1，3，5點(diǎn)，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，事件AB為出現(xiàn)3點(diǎn)，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互獨(dú)立；D中兩事件是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件．2．某校在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中安排了籃球投籃比賽，現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4；每名同學(xué)有2次投籃時(shí)機(jī)，且各同學(xué)投籃之間沒(méi)有影響；現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個(gè)得4分，投進(jìn)一個(gè)得2分，一個(gè)未進(jìn)得0分，那么其中一名同學(xué)得2分的概率為()A．0.5B．0.48C【解析】選B.設(shè)事件A＝“第一次投進(jìn)球〞，B＝“第二次投進(jìn)球〞，那么得2分的概率P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4＝0.48.3．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．假設(shè)兩隊(duì)每局獲勝的概率相同，那么甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】選A.問(wèn)題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4).4.一個(gè)電路如下圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，那么燈亮的概率是()A．eq\f(1,64)B．eq\f(55,64)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,16)【解析】選B.設(shè)A與B中至少有一個(gè)不閉合的事件為T，E與F中至少有一個(gè)不閉合的事件為R，那么P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以燈亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝eq\f(55,64).二、填空題(每題5分，共10分)5．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，那么三處都不停車的概率為_(kāi)_______．【解析】由題意可知，每個(gè)交通燈開(kāi)放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在這個(gè)道路上勻速行駛，那么三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)6．周老師上數(shù)學(xué)課時(shí)，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估做對(duì)第一道題的概率為0.80，做對(duì)兩道題的概率為0.60，那么預(yù)估做對(duì)第二道題的概率是________．【解析】設(shè)“做對(duì)第一道題〞為事件A，“做對(duì)第二道題〞為事件B，那么P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.三、解答題(每題10分，共20分)7．一個(gè)家庭中有假設(shè)干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩．【解析】(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個(gè)根本領(lǐng)件，由等可能性知概率都為eq\f(1,4).這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨(dú)立．(2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知這8個(gè)根本領(lǐng)件的概率均為eq\f(1,8)，這時(shí)A中含有6個(gè)根本領(lǐng)件，B中含有4個(gè)根本領(lǐng)件，AB中含有3個(gè)根本領(lǐng)件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，顯然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．從而事件A與B是相互獨(dú)立的．8．某人忘記了號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求以下事件的概率：(1)第3次撥號(hào)才接通；(2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通．【解析】設(shè)Ai＝{第i次撥號(hào)接通}，i＝1，2，3.(1)第3次才接通可表示為eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，于是所求概率為P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,10)；(2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通可表示為A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，由于事件A1，eq\x\to(A)1A2，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3兩兩互斥，于是所求概率為P(A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＋eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(3,10).【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每題5分，共10分)1.某種開(kāi)關(guān)在電路中閉合的概率為p，現(xiàn)將4只這種開(kāi)關(guān)并聯(lián)在某電路中(如下圖)，假設(shè)該電路為通路的概率為eq\f(65,81)，那么p＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】選B.因?yàn)樵撾娐窞橥返母怕蕿閑q\f(65,81)，所以該電路為不通路的概率為1－eq\f(65,81)，只有當(dāng)并聯(lián)的4只開(kāi)關(guān)同時(shí)不閉合時(shí)該電路不通路，所以1－eq\f(65,81)＝(1－p)4，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去).2．(多項(xiàng)選擇題)某商場(chǎng)推出二次開(kāi)獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購(gòu)置一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05，那么兩次抽獎(jiǎng)中()【解析】選CD.記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼〞為事件A，“第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼〞為事件B，那么“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼〞就是事件AB.由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨(dú)立．于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.0025.同理“兩次抽獎(jiǎng)都沒(méi)有抽到某一指定號(hào)碼〞的概率P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.95×0.95＝0.9025；“兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼〞可以用(Aeq\x\to(B))U(eq\x\to(A)B)表示．由于事件Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095；“兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼〞可用(AB)U(Aeq\x\to(B))U(eq\x\to(A)B)表示．由于事件AB，Aeq\x\to(B)和eq\x\to(A)B兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求的概率為P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.0025＋0.095＝0.0975.二、填空題(每題5分，共10分)3．同學(xué)甲參加某科普知識(shí)競(jìng)賽，需答復(fù)三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)那么規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)或不答均得零分．假設(shè)同學(xué)甲答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8，0.6，0.5，且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響，那么同學(xué)甲得分不低于300分的概率是________．【解析】設(shè)“同學(xué)甲答對(duì)第i個(gè)題〞為事件Ai(i＝1，2，3)，那么P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互獨(dú)立，同學(xué)甲得分不低于300分對(duì)應(yīng)于事件A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3故所求概率為P＝P(A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.4．事件A，B，C相互獨(dú)立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，那么P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________．【解析】因?yàn)镻(ABeq\x\to(C))＝P(AB)P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,6)P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，所以P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,4)，即P(C)＝eq\f(1,4).又P(eq\x\to(B)C)＝P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2).又P(AB)＝eq\f(1,6)，那么P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,3)三、解答題(每題10分，共20分)5．A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用假設(shè)干試驗(yàn)組進(jìn)行比照試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效，假設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為eq\f(2,3)，服用B有效的概率為eq\f(1,2).(1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率．【解析】(1)設(shè)Aii表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只〞，i＝0，1，2.據(jù)題意有：P(A0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(A1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(B0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B1)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).所求概率為P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝