2022-2023學年江蘇高一年級下冊數(shù)學同步講義蘇教版2019必修第二冊第01講 隨機事件和樣本空間含詳解

第15章概率

第01講隨機事件和樣本空間

0目標導航

課程標準重難點

1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空

1.向量的方向與大小

間的含義.

2.向量概念的辨析

2.理解隨機事件與樣本點的關系.

視知識精講

i.隨機試驗的三個特點

⑴試驗可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個;

(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

2.關于樣本點和樣本空間

(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，全體樣本點的集合稱為試驗的柱后圓：

(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.

3.事件與基本事件

(1)隨機事件是樣本空間的工集.隨機事件是由若干個基本事件構成的,當然，基本事件也是隨機事件.

(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性,是隨機事件的兩個極端情形.

Q能力拓展

考法01事件類型的判斷

指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件:

(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；

(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；

(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；

(4)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽至U1號標簽；

(5)科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn).

【方法技巧】

對事件類型判斷的兩個關鍵點

(1)條件：在一定條件下事件發(fā)生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是否發(fā)生；

(2)結(jié)果發(fā)生與否：若一定發(fā)生的，則為必然事件，一定不發(fā)生的則為不可能事件；若不確定發(fā)生與否，則

稱其為隨機事件，隨機事件有時結(jié)果較復雜，要準確理解結(jié)果包含的各種情況.

【跟蹤訓練】

指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)我國東南沿海某地明年將受到3次冷空氣的侵襲；

(2)拋擲硬幣10次，至少有一次正面向上；

(3)同一門炮向同一目標發(fā)射多枚炮彈，其中50%的炮彈擊中目標；

(4)沒有水分，種子發(fā)芽.

考法02確定樣本空間

將-枚骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時期上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.

【方法技巧】

確定樣本空間的方法

(1)當樣本點個數(shù)較少時，可直接列舉出所有樣本點.

(2)當樣本點個數(shù)較多且相對復雜時，可采用樹狀圖法，即用樹狀的圖形把樣本點列舉出來(如本例).樹狀圖

法便于分析事件間的關系，對于較復雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段.

【跟蹤訓練】

袋中裝有紅、白、黃、黑除顏色外其他方面都相同的四個小球，從中任取一球的樣本空間Qi=,從

中任取兩球的樣本空間。2=.

考法03事件與事件的表示

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗包含的樣本點的總數(shù)；

(3)用集合表示下列事件：

①“="x+y=5"；②N="x<3,且y>l

③7="孫=4”.

【方法技巧】

1.判隨機事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，（1）必須明確事件發(fā)生的條件；（2）根據(jù)題意，

按一定的次序列出所有樣本點.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺

漏.

2.試驗中當試驗的結(jié)果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無順序的情況最易出錯.

【變式訓練】

1.［變設問］若本例條件不變，問題改為用集合表示事件：P="x+y是偶數(shù)”.

2.［變設問|在本例的條件下，“孫是偶數(shù)”這一事件是必然事件嗎？

X分層提分

題組A基礎過關練

一、單選題

1.為調(diào)查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，

下列說法正確的是（）

A.1200名學生是總體B.每個學生是個體

C.樣本容量是100D.抽取的100名學生是樣本

2.某老師希望調(diào)查全校學生平均每天的自習時間.該教師調(diào)查了60位學生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習時間

是3.5小時.這里的總體是（）

A.楊高的全校學生；

B.楊高的全校學生的平均每天自習時間：

C.所調(diào)查的60名學生；

D.所調(diào)查的60名學生的平均每天自習時間.

3.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線

交于一點；③實數(shù)”，〃都不為0,但/+〃=（）；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中

為隨機事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

4.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現(xiàn)在把球隨機地一個一個摸出來，為了保證在第&次或第

人次之前一定能摸出紅球，則火的最小值為（）

A.10B.15C.16D.17

5.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1344石，驗得米內(nèi)夾谷.

抽樣取米一把，數(shù)得120粒內(nèi)夾谷15粒，則估計這批米內(nèi)夾谷為（）

A.133石B.168石C.337石D.1344石

6.某中學進行了學年度期末統(tǒng)一考試，為了了解高一年級2000名學生的考試成績，從中隨機抽取了100

名學生的成績，在這個問題中，100名學生的成績是（）

A.總體B.個體C.從總體中抽取的一個樣本D.樣本的容量

二、多選題

7.（多選）下列試驗中，隨機事件有（）

A.某射手射擊一次，射中10環(huán)

B.同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點

C.某人購買福利彩票未中獎

D.若x為實數(shù)，則

8.已知有6個電器元件，其中有2個次品和4個正品，每次隨機抽取1個測試，不放回，直到2個次品都

找到為止，設隨機試驗"直到2個次品都找到為止需要測試的次數(shù)"的樣本空間為。，設事件A="測試i次

剛好找到所有的次品"，以下結(jié)論正確的是（）

A.Q={2,3,4,5,6）

B.事件A?和事件&互為互斥事件

C.事件4="前3次測試中有1次測試到次品，2次測試到正品，且第4次測試到次品"

D.事件4="前4次測試中有1次測試到次品，3次測試到正品”

三、填空題

9.給出下列事件：

①函數(shù)y=logax（0vl）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；

②小學生和張怡寧打乒乓球，張怡寧勝利；

③一所學校共有998名學生，至少有3名學生的生日相同；

④若集合A,B,C滿足BjC,則A[C；

⑤在標準大氣壓下，河流在20℃時結(jié)冰：

⑥從1,3,9中任選兩數(shù)相加，其和為偶數(shù).

其中屬于隨機事件的是,屬于必然事件的是,屬于不可能事件的是（填序號）.

10.一名交警在高速路上隨機觀測了6輛車的行駛速度，然后做出了一份報告，調(diào)查結(jié)果如下表:

車序號123456

速度(kmh)666571546958

(1)交警采取的是調(diào)查方式.

(2)為了強調(diào)調(diào)查目的，這次調(diào)查的樣本是,個體是.

四、解答題

11.已知集合”={-2,3},N={-4,5,6),從兩個集合中各取一個元素構成點的坐標.

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

⑵求這個試驗樣本點的總數(shù)；

⑶寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；

⑷說出事件A={(-2,-4),(-4,-2)}所表示的實際意義.

12.一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次摸出2個球.

⑴共有多少個樣本點？

⑵"2個都是白球"包含幾個樣本點？

13.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y,結(jié)果為(x,y).

①②

⑴寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；

⑶"x+,y=5"這一事件包含哪幾個樣本點？"x<3且y>l"呢？

⑷"孫=4"這一事件包含哪幾個樣本點？"x=y"呢？

題組B能力提升練

一、單選題

1.某個產(chǎn)品有若干零部件構成，加工時需要經(jīng)過7道工序，分別記為48,(7,￡),瓦尸,6.其中，有些工序因

為是制造不同的零部件，所以可以在兒臺機器上同時加工；有些工序因為是對同一個零部件進行處理，所

以存在加工順序關系，若加工工序y必須要在工序x完成后才能開工，則稱x為y的緊前工序.現(xiàn)將各工序

的加工次序及所需時間(單位：小時)列表如下：

工序ABCDEFG

加工時間3422215

緊前工序無C無CA.BDA,B

現(xiàn)有兩臺性能相同的生產(chǎn)機器同時加工該產(chǎn)品，則完成該產(chǎn)品的最短加工時間是

（假定每道工序只能安排在一臺機器上，且不能間斷JA.11個小時B.10個小時C.9

個小時D.8個小時

2.某小區(qū)為了調(diào)查本小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務滿意度的真實情況，對本小區(qū)業(yè)主進行了調(diào)查，調(diào)查中問了兩個

問題L你的手機尾號是不是奇數(shù)？問題2：你是否滿意物業(yè)的服務？調(diào)查者設計了一個隨機化裝置，其中

裝有大小、形狀和質(zhì)量完全相同的白球和紅球，每個被調(diào)查者隨機從裝置中摸到紅球和白球的可能性相同，

其中摸到白球的業(yè)主回答第一個問題，摸到紅球的業(yè)主回答第二個問題，回答"是"的人往一個盒子中放一個

小石子，回答"否"的人什么都不要做由于問題的答案只有"是"和"否"，而且回答的是哪個問題別人并不知道,

因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案.己知某小區(qū)80名業(yè)主參加了問卷，且有47名業(yè)主

回答了"是"，由此估計本小區(qū)對物業(yè)服務滿意的百分比大約為（）

A.85%B.75%C.63.5%D.67.5%

3.若對某校1200名學生的耐力進行調(diào)查，抽取其中工20名學生，測試他們iS。。m跑步的成績，得出

相應的數(shù)值,在這項調(diào)查中，樣本是指（）

A.12.0名學生B.i2.00名學生

C.220名學生的成績D.120。名學生的成績

二、多選題

4.（多選）袋中裝有標號分別為1,3,5,7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是樣本點的是（）

A.取出的兩球標號為3和7

B.取出的兩球標號的和為4

C.取出的兩球標號都大于3

D.取出的兩球標號的和為8

5.（多選）給出關于滿足AuB的非空集合A,8的四個命題，其中正確的命題是（）

A.若任取xeA,則xw8是必然事件

B.若任取則xeB是不可能事件

C.若任取則A是隨機事件

D.若任取x/8,則xeA是必然事件

三、解答題

6.一家人才測評機構對"創(chuàng)客園區(qū)"的20家小微企業(yè)的經(jīng)理人進行自信心測試，獲得的測試分數(shù)如下：

78637289915668768560

71846189799386789280

⑴以上述數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總體標準差.

⑵設計恰當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽取一個容量為10的樣本，求樣本均值與標準差.

⑶利用上面的隨機抽樣方法，再抽取容量為10的樣本，計算樣本均值和標準差.將求得的結(jié)果與（2）中的

結(jié)果進行比較，它們一樣嗎？

⑷利用（2）中的隨機抽樣方法，分別從總體中抽取一個容量為8,12,16,18的樣本，求樣本均值與標準

差.分析樣本容量與樣本均值、樣本標準差對總體的估計效果之間有什么關系.

7.萬源中學扎實推進陽光體育運動，積極引導學生走向操場，走進大自然，參加體育鍛煉，每天上午第三

節(jié)課后全校大課間活動時長30分鐘.現(xiàn)為了了解學生的體育鍛煉時間，采用簡單隨機抽樣法抽取了100名學

生，對其平均每日參加體育鍛煉的時間（單位：分鐘）進行調(diào)查，按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下表:

分組[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)[150,180]

男生人數(shù)216191853

女生人數(shù)32010211

若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學生稱為"鍛煉達人

（1）估計我校7000名學生中"鍛煉達人”有多少，

（2）從這100名學生的“鍛煉達人"中按性別分層抽取5人參加某項體育活動，求男生和女生各抽取了多少

人？

8.設有一列單程北上的火車，已知停靠的站點由南至北分別為S，S2”..,S8十站若甲在S3站買票，乙在

S6站買票.設基本事件空間d表示火車所有可能?？康恼荆預表示甲可能到達的站的集合,B表示乙可能

到達的站的集合.

（1）寫出該事件的基本事件空間a；

（2）寫出事件A、事件13包含的基本事件;

(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1,中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，“二十四節(jié)氣"歌是以"春、夏、秋、

冬'’開始的四句詩，2016年11月30日，"二十四節(jié)氣"正式被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，

也被譽為“中國的第五大發(fā)明某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問“二十四節(jié)氣”

歌，只能說出春夏兩句的有45人，能說出春夏秋三句及其以上的有32人，據(jù)此估計該校三年級的500名

學生中，對"二十四節(jié)氣"歌只能說出第一句"春"或一句也說不出的大約有（）

A.69人B.84人C.108人D.115人

2,某校學生會為了解高二年級600名學生課余時間參加中華傳統(tǒng)文化活動的情況（每名學生最多參加7場）.

隨機抽取50名學生進行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：

參加場數(shù)

01234567?

占調(diào)查人數(shù)的百分比

8%10%20%26%18%m%4%2%

則以下四個結(jié)論中正確的是

A.表中機的數(shù)值為10

B.估計該年級參加中華傳統(tǒng)文化活動場數(shù)不高于2場的學生約為108人

C.估計該年級參加中華傳統(tǒng)文化活動場數(shù)不低于4場的學生約為216人

D,若采用系統(tǒng)抽樣方法進行調(diào)查，從該校高二600名學生中抽取容量為30的樣本，則分段間隔為15

3.假設有一個專養(yǎng)草魚的池塘，現(xiàn)要估計池塘內(nèi)草魚的數(shù)量.第一步，從池塘內(nèi)打撈一批草魚，做上標記，

然后將其放回池塘，第二步，再次打撈一批草魚,根據(jù)其中做標記的草魚數(shù)量估計整個池塘中草魚的數(shù)量?

假設第一次打撈的草魚有50尾，第二次打撈的草魚總數(shù)為50尾，其中有標記的為7尾，試估計整個池塘

中草魚的數(shù)量大約為（）

A.250B.350C.450D.550

二、填空題

4.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有1。個車次的正點率為097,有

20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估

計值為.

三、解答題

5.如圖，一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效，元件處于正常狀態(tài)記

為"1",處于失效狀態(tài)記為"0"，把每個元件是否處于正常狀態(tài)看成隨機現(xiàn)象，記（a，b，c）表示A，B,C的狀

態(tài)，a,b,ce{0.1},指出下列隨機事件的含義.

B

⑴事件M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}；

⑵事件N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

(3)事件P={(0,0,0),(0,L0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.

6.1.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上"為事件A,"一次正面向上，兩次反面向上"為事件B,“兩

次正面向上，一次反面向上”為事件C,"至少一次反面向上"為事件D,"3次都正面向上"為事件E.

⑴試判斷事件A與事件B,C,E的關系；

(2)試求AO,B+C所包含的樣本點，并判斷A。與B+C的關系.

第15章概率

第01講隨機事件和樣本空間

0目標導航

課程標準重難點

1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空

1.向量的方向與大小

間的含義.

2.向量概念的辨析

2.理解隨機事件與樣本點的關系.

8著知識精講

i.隨機試驗的三個特點

(1)試驗可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個;

(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

2.關于樣本點和樣本空間

(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間;

(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.

3.事件與基本事件

(1)隨機事件是樣本空間的子集.隨機事件是由若干個基本事件構成的,當然，基本事件也是隨機事件.

(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性,是隨機事件的兩個極端情形.

考法01事件類型的判斷

指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件:

(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；

(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；

(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；

(4)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；

(5)科學技術達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn).

【解析】（1）購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件.

(2)所有三角形的兩邊之和都大于第三邊，所以是必然事件.

(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件.

(4)任意抽取，可能得到123,4號標簽中的任一張，所以是隨機事件.

(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn)，所以是不可能事件.

【方法技巧】

對事件類型判斷的兩個關鍵點

(1)條件：在一定條件下事件發(fā)生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是否發(fā)生；

(2)結(jié)果發(fā)生與否：若一定發(fā)生的，則為必然事件，一定不發(fā)生的則為不可能事件；若不確定發(fā)生與否，則

稱其為隨機事件，隨機事件有時結(jié)果較復雜，要準確理解結(jié)果包含的各種情況.

【跟蹤訓練】

指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)我國東南沿海某地明年將受到3次冷空氣的侵襲；

(2)拋擲硬幣10次，至少有一次正面向上；

(3)同一門炮向同一目標發(fā)射多枚炮彈，其中50%的炮彈擊中目標；

(4)沒有水分，種子發(fā)芽.

【解析】(1)我國東南沿海某地明年可能受到3次冷空氣侵襲，也可能不是3次，是隨機事件.

(2)拋擲硬幣10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是隨機事件.

(3)同一門炮向同一目標發(fā)射，命中率可能是50%,也可能不是50%,是隨機事件.

(4)沒有水分，種子不可能發(fā)芽，是不可能事件.

考法02確定樣本空間

將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.

【解析】(樹狀圖法)一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示.如圖所示：

11

22

3

33

44

55

66

11

22

363

44

55

66

試驗的樣本空間：

2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)).

【方法技巧】

確定樣本空間的方法

（1）當樣本點個數(shù)較少時，可直接列舉出所有樣本點.

（2）當樣本點個數(shù)較多且相對復雜時，可采用樹狀圖法，即用樹狀的圖形把樣本點列舉出來（如本例）.樹狀圖

法便于分析事件間的關系，對于較復雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段.

【跟蹤訓練】

袋中裝有紅、白、黃、黑除顏色外其他方面都相同的四個小球，從中任取一球的樣本空間Qi=，從

中任取兩球的樣本空間。2=.

【法案】｛紅，白，黃，黑｝｛（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑））

【解析】從中任取一球有4種可能，分別為紅、白、黃、黑，構成的樣本空間烏=｛紅，白，黃，黑｝.

從中任取兩球有6種可能，分別為（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑），構成的

樣本空間◎?=｛（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）｝.

考法03事件與事件的表示

同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為X,轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y,結(jié)果為（X,>■）.

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗包含的樣本點的總數(shù)；

(3)用集合表示下列事件：

①“="x+y=5"；②N="x<3,且y>l”；

③7:“孫=4”.

【解析】6Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4)).

(2)樣本點總數(shù)為16.

⑶①“x+y=5”包含以下4個樣本點：

(1.4),(2,3),(3,2),(4,1).

所以M={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}

②“x<3,且k>1"包含以下6個樣本點：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

所以N={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}

③“xy=4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1).

所以T={(1,4),(2,2),(4,1)}

【方法技巧】

1.判隨機事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，

按一定的次序列出所有樣本點.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺

漏.

2.試驗中當試驗的結(jié)果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無順序的情況最易出錯.

【變式訓練】

1.|變設問|若本例條件不變，問題改為用集合表示事件：P="x+y是偶數(shù)”.

【解析】“x+y是偶數(shù)”包括兩種情況，①x,y都是奇數(shù)；②x,y都是偶數(shù)，故"x+y是偶數(shù)"這一事件

包含以下8個樣本點：(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).

所以尸={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}.

2.I變設問］在本例的條件下，“盯是偶數(shù)”這一事件是必然事件嗎？

【解析】當x,y均是奇數(shù)時，xy是奇數(shù)；當x,y中至少有一個是偶數(shù)時，刈是偶數(shù)，故"沖是偶數(shù)"這

一事件是隨機事件，而不是必然事件.

M分層提分

題組A基礎過關練

一、單選題

1.為調(diào)查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，

下列說法正確的是()

A.1200名學生是總體B.每個學生是個體

C.樣本容量是100D.抽取的100名學生是樣本

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，總體是1200名學生的成績；個體是每個學生的成績；

樣本容量是100,樣本是抽取的100名學生的成績；故正確的是C.

故選：C.

2.某老師希望調(diào)查全校學生平均每天的自習時間.該教師調(diào)查了60位學生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習時間

是3.5小時.這里的總體是()

A.楊高的全校學生；

B.楊高的全校學生的平均每天自習時間；

C.所調(diào)查的60名學生；

D.所調(diào)查的60名學生的平均每天自習時間.

【答案】B

【解析】某老師希望調(diào)查全校學生平均每天的自習時間，該教師調(diào)查了60位學生，

發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習時間是3.5小時，

這里的總體是全校學生平均每天的自習時間.故選：B.

3.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線

交于一點；③實數(shù)小〃都不為0,但4+從=。；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中

為隨機事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【答案】A

【解析】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝匕落下前不可確定，即①是隨機事件；因三角形三條

高線一定交于一點，則②是必然事件；

因?qū)崝?shù)。，人都不為0,則謬+從*0，于是得③是不可能事件；

某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，

所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.

故選：A

4.一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現(xiàn)在把球隨機地一個一個摸出來，為了保證在第人次或第

上次之前一定能摸出紅球，則人的最小值為（）

A.10B.15C.16D.17

【答案】C

【解析】為了保證在第k次或第2次之前一定能摸出紅球，

需滿足&-127+8,即&的最小值為16.

故選：C

5.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1344石，驗得米內(nèi)夾谷.

抽樣取米一把，數(shù)得120粒內(nèi)夾谷15粒，則估計這批米內(nèi)夾谷為（）

A.133石B.168石C.337石D.1344石

【答案】B

【解析】用樣本估計總體，可得這批谷內(nèi)夾谷為：1344x需=168.故選：B

6.某中學進行了學年度期末統(tǒng)一考試，為了了解高一年級2000名學生的考試成績，從中隨機抽取了100

名學生的成績，在這個問題中，100名學生的成績是（）

A.總體B.個體C.從總體中抽取的一個樣本D.樣本的容量

【答案】C

【解析】根據(jù)題意得，本題的總體、個體與樣本考查的對象都是學生成績，而不是學生，

高一年級2000名學生的考試成績?yōu)榭傮w，每個學生的考試成績?yōu)閭€體，100名學生的成績?yōu)閺目傮w中抽取

的一個樣本，樣本容量為100；故選：C.

二、多選題

7.（多選）下列試驗中，隨機事件有（）

A.某射手射擊一次，射中10環(huán)

B.同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點

C.某人購買福利彩票未中獎

D.若x為實數(shù),則f+121

【答案】ABC

【解析】某射手射擊一次，射中10環(huán)是隨機事件；同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點是隨機事件；某人購買福

利彩票未中獎是隨機事件；若x為實數(shù)，則f+l”是必然事件.

故選：ABC

8.已知有6個電器元件，其中有2個次品和4個正品，每次隨機抽取1個測試，不放回，直到2個次品都

找到為止，設隨機試驗"直到2個次品都找到為止需要測試的次數(shù)"的樣本空間為c,設事件a="測試i次

剛好找到所有的次品"，以下結(jié)論正確的是（）

A.Q={2,3,4,5,6}

B.事件&和事件&互為互斥事件

C.事件4="前3次測試中有1次測試到次品，2次測試到正品，月.第4次測試到次品”

D.事件4="前4次測試中有1次測試到次品,3次測試到正品"

【答案】BD

【解析】A：由題意可知，直到2個次品都找到為止需要測試的次數(shù)，最少是測試2次，即前2次均測試出

次品，最多測試5次，即前4次測試中有1次測試到次品，3次測試到正品，所以C={2,3,4,5},故A錯誤;

B：事件4為前兩次均測試出次品，事件4為前2次有1次測試出次品，第3次測試出次品，符合對立事件

的條件，故B正確；

C：事件A）=

“前3次測試中有1次測試到次品，2次測試到正品，且第4次測試到次品"或“前4次測試到全是正品〃，故

C錯誤；

D：事件4="前4次測試中有1次測試到次品，3次測試到正品”，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

9.給出下列事件：

①函數(shù)丁=108〃耳°<4<1）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；

②小學生和張怡寧打乒乓球，張怡寧勝利；

③一所學校共有998名學生，至少有3名學生的生日相同；

④若集合A,B,C滿足AaB,B=C,則4=C；

⑤在標準大氣壓下，河流在20℃時結(jié)冰；

⑥從1,3,9中任選兩數(shù)相加，其和為偶數(shù).

其中屬于隨機事件的是,屬于必然事件的是，屬于不可能事件的是（填序號）.

【答案】②③④⑥①⑤

【解析】①中函數(shù)應為單調(diào)減函數(shù)，說法不正確，故為不可能事件；

②中可能張怡寧勝利也可能小學生勝利，故為隨機事件；

③中998大于365的兩倍，說法正確，故為必然事件；

根據(jù)集合的包含關系，④中說法正確，故為必然事件；

⑤中的說法不正確，故為不可能事件；

⑥中任意兩奇數(shù)和均為偶數(shù)，說法正確，故為必然事件.

故答案為：②；③④⑥；①⑤.

10.一名交警在高速路上隨機觀測了6輛車的行駛速度，然后做出了一份報告，調(diào)查結(jié)果如下表：

車序號123456

速度（kmh）666571546958

（1）交警采取的是調(diào)查方式.

（2）為了強調(diào)調(diào)查目的，這次調(diào)查的樣本是,個體是.

【答案】抽樣6輛車的行駛速度每一輛車的行駛速度

【解析】（1）此種調(diào)查是抽樣調(diào)查，調(diào)查對象的指標是車的行駛速度.

（2）這次調(diào)查的樣本是6輛車的行駛速度，個體是每一輛車的行駛速度

故答案為：(1)抽樣；(2)6輛車的行駛速度；每一輛車的行駛速度

四、解答題

11.已知集合加={-2,3},N={-4,5,6),從兩個集合中各取一個元素構成點的坐標.

(1)寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；

⑶寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點"這一事件所包含的樣本點；

⑷說出事件A={(-2,-4),(T-2)}所表示的實際意義.

【解析】(1)樣本空間為：

{(_2,Y),(_2,5),(_2,6),(3,Y),(3,5),(3,6),(Y,_2),(5,_2),(6,_2),(Y,3),(5,3),(6,3)}

(2)由知這個試驗樣本點的總數(shù)為12.

⑶得到的點是第一象限內(nèi)的點"這一事件所包含的樣本點為(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).

⑷事件A={(-2,-4),(T,-2)}表示得到的點是第三象限內(nèi)的點.

12.一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次摸出2個球.

⑴共有多少個樣本點？

(2)"2個都是白球"包含幾個樣本點？

【解析】(1)用1,2,3表示3個白球，用”，匕表示2個黑球，則從袋中一次摸出2個球的不同結(jié)果:

(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),

所以共10個樣本點.

(2)由(1)知，“2個都是白球”含有的結(jié)果是：(1,2),(1,3),(2,3),共3個樣本點.

13.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y,結(jié)果為(x,y).

⑴寫出這個試驗的樣本空間；

(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；

⑶“x+)=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且>>1"呢？

(4)"x)=4"這一事件包含哪幾個樣本點？"x=/呢？

【解析】⑴。

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,

1).(4,2),(4,3),(4,4)}.

(2)由⑴知，樣本點的總數(shù)為16.

⑶由(1)知，事件"x+y=5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；

事件"x<3且包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(4)由⑴知,事件"七產(chǎn)4"包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；

事件包含以下4個樣本點:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

題組B能力提升練

一、單選題

1.某個產(chǎn)品有若干零部件構成，加工時需要經(jīng)過7道工序，分別記為AB,C,D,E,￡G.其中，有些工序因

為是制造不同的零部件，所以可以在幾臺機器上同時加工；有些工序因為是對同一個零部件進行處理，所

以存在加工順序關系，若加工工序y必須要在工序x完成后才能開工，則稱x為y的緊前工序.現(xiàn)將各工序

的加工次序及所需時間（單位：小時）列表如下：

工序ABCDEFG

加工時間3422215

緊前工序無C無CA,BDA,B

現(xiàn)有兩臺性能相同的生產(chǎn)機器同時加工該產(chǎn)品，則完成該產(chǎn)品的最短加工時間是

（假定每道工序只能安排在一臺機器上，且不能間斷.）A.11個小時B.10個小時C.9

個小時D.8個小時

【答案】A

【解析】由題意可知：工序A、C在工序B、D前完成，工序B需要在工序E,G之前完成，工序D需要在

工序F前完成.繪制統(tǒng)籌工序圖.

由圖可知，機器一：①一③一④一⑤一⑦，3+2+1+2=8小時

機器二：①一②一⑥一⑦，2+4+5=11小時

所以，兩臺機器同時加工完成該產(chǎn)品的最短加工時間為11小時.故選A.

2.某小區(qū)為了調(diào)查本小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務滿意度的真實情況，對本小區(qū)業(yè)主進行了調(diào)查，調(diào)查中問了兩個

問題1：你的手機尾號是不是奇數(shù)？問題2：你是否滿意物業(yè)的服務？調(diào)查者設計了一個隨機化裝置，其中

裝有大小、形狀和質(zhì)量完全相同的白球和紅球，每個被調(diào)查者隨機從裝置中摸到紅球和白球的可能性相同，

其中摸到白球的業(yè)主回答第一個問題，摸到紅球的業(yè)主回答第二個問題，回答"是"的人往一個盒子中放一個

小石子，回答"否"的人什么都不要做由于問題的答案只有"是"和"否"，而且回答的是哪個問題別人并不知道,

因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案.已知某小區(qū)80名業(yè)主參加了問卷，且有47名業(yè)主

回答了"是"，由此估計本小區(qū)對物業(yè)服務滿意的百分比大約為（）

A.85%B.75%C.63.5%D.67.5%

【答案】D

【解析】要調(diào)查80名居民，在準備的兩個問題中每?個問題被問到的概率相同，第一個問題可能被詢問40

次，在被詢問的40人中有20人手機號是奇數(shù)，而有47人回答了"是"，估計有27個人回答是否滿意物業(yè)的服

務時回答了"是"，

在40人中有27個人滿意服務，估計本小區(qū)對物業(yè)服務滿意的百分比蕓27=67.5%,

40

故選:D

3.若對某校120。名學生的耐力進行調(diào)查，抽取其中12。名學生，測試他們1SOOm跑步的成績，得出

相應的數(shù)值,在這項調(diào)查中，樣本是指（）

A.12。名學生B.12.00名學生

C.120名學生的成績D.iZOO名學生的成績

【答案】C

【解析】研究對象是某校1200名學生的耐力，在這個過程中,1200名學生的成績是總體，樣本是這120名學

生的成績，故選C.

二、多選題

4.（多選）袋中裝有標號分別為1,3,5,7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是樣本點的是（）

A.取出的兩球標號為3和7

B.取出的兩球標號的和為4

C.取出的兩球標號都大于3

D.取出的兩球標號的和為8

【答案】ABC

［解析】對于A：取出的兩球標號為3和7是樣本點，故選項A正確；

對于B：取出的兩球標號的和為4,指取出的兩球標號為1和3,是樣本點，故選項B正確；

對于C：取出的兩球標號都大于3,指取出的兩球標號為5和7,是樣本點，故選項C正確；

對于D：取出的兩球標號的和為8包括取出的兩球標號為1和7、3和5,是兩個樣本點，故選項D不正確;

故選：ABC.

5.（多選）給出關于滿足Aab的非空集合A,B的四個命題，其中正確的命題是（）

A.若任取xeA,則xe8是必然事件

B.若任取則xeB是不可能事件

C.若任取xwB,則xeA是隨機事件

D.若任取則A是必然事件

【答案】ACD

【解析】對于A,由A=B知A是8的子集，集合A中的元素全在集合5中，但集合8中的元素不一定在集

合A中，故A正確；

對于B,若xeA,則xe8是有可能的，所以xe8是可能事件，故B錯誤；

對于C,任取xeB,則x不一定是A中的元素，所以xeA是隨機事件，故C正確；

對于D,若則x一定不是A中的元素，所以xeA是必然事件，故D正確；

故選：ACD

三、解答題

6.一家人才測評機構對"創(chuàng)客園區(qū)"的20家小微企業(yè)的經(jīng)理人進行自信心測試，獲得的測試分數(shù)如下：

78637289915668768560

71846189799386789280

⑴以上述數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總體標準差.

（2）設計恰當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽取一個容量為10的樣本，求樣本均值與標準差.

⑶利用上面的隨機抽樣方法，再抽取容量為10的樣本，計算樣本均值和標準差.將求得的結(jié)果與（2）中的

結(jié)果進行比較，它們一樣嗎？

⑷利用（2）中的隨機抽樣方法，分別從總體中抽取一個容量為8,12,16,18的樣本，求樣本均值與標準

差.分析樣本容量與樣本均值、樣本標準差對總體的估計效果之間有什么關系.

【解析】⑴總體平均數(shù)為

號（78+63+72+89+91+56+68+76+85+60+71+84+61+89+79+93+86+78+92+80）=77.55,

總體方差為

:"78-77.55)2+(63-77.55f+(72-77.55尸+(89-77.55)、⑼-77.55)2

+(56-77.55尸+(68-77.55尸+(76-77.55/+(85-77.55尸+(60-77.55產(chǎn)

+(71-77.55)2+(84-77.55)2+(61-77.55)2+(89-77.55)2+(79-77.55)2

+(93-77.55f+(86_77.55)2+(78-77.55)2+(92-77.55)?+(80-77.55)2]=124.6475,

所以樣本標準差為24.6475*11.16

(2)利用抓閹法進行抽樣，若抽出的10個樣本分別為78,89,68,60,84,89,86,78,92,80,則

樣本平均數(shù)為^(78+89+68+60+84+89+86+78+92+80)=80.4,

樣本方差為

技x[(78-80.4)2+(89-80.4)2+(68-80.4)2+(60-80.4)2+(84-80.4)2

+(89-80.4)2+(86-80.4)2+(78-80.4)2+(92-80.4)2+(80-80.4)2]=90.84,

所以樣本標準差為590.84?9.53,

(3)

若抽出的10個樣本分別為78,84,72,89,91,56,86,76,85,60,則

樣本平均數(shù)為\x(78+84+72+89+91+56+86+76+85+60)=77.7,

樣本方差為看x[(78-77.7)2+(84-77.7)2+(72-77.7)2+(89-77.7)2+(91-77.7)2

+(56-77.7)2+(86-77.7)2+(76-77.7