2022-2023學(xué)年上海初二年級下冊同步講義第17講 圖形運(yùn)動中函數(shù)關(guān)系的確定解析版

第17講圖形運(yùn)動中函數(shù)關(guān)系的確定

解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題，此類題目注重對兒

何圖形運(yùn)動變化能力的考查.動態(tài)幾何問題是近年來各地常見的壓軸題，它能考查學(xué)生的多

種能力，有較強(qiáng)的選拔功能，解決這類問題的關(guān)鍵是“以靜制動”，把動態(tài)的問題，變?yōu)殪o

態(tài)問題來觀察，結(jié)合特殊三角形的相關(guān)知識解決這類問題.

模塊一：動點求函數(shù)解析式

知識精講

動點問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個點或某圖形又條件地運(yùn)動變化，引起未知

量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系，這部分壓軸題主

要是在圖形運(yùn)動變化的過程中探求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實際情況確定自變量的

取值范圍.

例題解析

例1.已知：在心中，ZJ=90°,A廬A俏1,。是46邊上不與/點、6點重合的任意一

個動點，PQLBC于點Q,QR1AC于點R.

(1)求證：P8BQ；

(2)設(shè)於x,gy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)當(dāng)x為何值時，PR//BC.

【難度】★★

【解析】(1)證明：???ZA=90。，A8=AC=1,，N8=NC=45。.

乂PQLBQ,NBPQ=45°,

「.△BP。為等腰三角形，

：.PQ=BQ,

(2)解：在等腰直角ABPQ中，-.BP=x,:.BQ=^x

在中，BC=\IABr+BC2=y[l+\=42

在等腰直角△CQR中，CR=y,:.CQ=。，?:CQ=BC-BQ

即=：.y=-^x+\,(0<x<1)

(3)解：PRI/BC,PQ.LBC,:.PRLPQ,

又???△8PQ為等腰三角形，「.PQ=^x,

?;PR3BC,PQLBC,:.PRLPQ

PR/IBC,AAPR=ZB=45°,\-ZA=90,:.AP=AR

u：AP=l-x,：.PR=y[2(1-x).

'：PR上PQ,APRQ=ZRQC=45°,

??.PR=PQ,即.?.日不=后(1一工)，

2

:.x--.

3

【總結(jié)】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，第(3)問注意根

據(jù)平行得到角的關(guān)系，再進(jìn)行計算.

例2.如圖所示，已知：在服△四，中，/e90°,一是邊四上的一個動點，PQLPC.交

線段"的延長線與點Q.

(1)當(dāng)小勺%時，求證：BgP；

(2)當(dāng)NJ=30°,4作4時，設(shè)gx,BQ=y,求y關(guān)于*的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

【難度】★★

【解析】(1)證明:-.?BP=BC,ZBPC=ZBCP.

PQ±PC

NBPC+ZBPQ=90°,ZBCP+ZBQP=90°

ZBPQ=Z.BQP

BQ=BP

(2)過P作垂足為〃

???ZACB=90°，/A=30。，48=4

Z.ABC=60°,BC=2

BP=x,BH=-x,PH=-x

22

:.CH=2--x

2

PQ2=PH2+QH-,PQ2=CQ2-CP2=CQ2-[PH2+CH2)

PH-+QH2=CQ2-[PH2+CH2)

:.2PH2+QH2=CQ2-CH2

4y-xy=2x2-2x

2x2-2x,、

【總結(jié)】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時注意從多個角度

進(jìn)行分析.

例3.如圖所示，已知：在服△{a'中，N伊90°,4^6,點。是斜邊49中點，作比上AB,

交直線4c于點E；

(1)若/4=30°,求線段龍的長；

(2)當(dāng)點后在線段上時，設(shè).BOx,C^y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定

義域；

(3)若若1,求比1的長.

A

C

【難度】★★

【解析】(1)聯(lián)結(jié)BE,

vZC=90°,ZA=30°,:.ZABC=60°

乂「DE垂直平分他，:.ZABE=ZBAE=30a,

NCBE=ZABC-ZABE=30°

XvZC=90°,:.CE=-BE=-AE

22

■.■AC=6,:.BE=AE=4,CE=-BE=2,

2

.,?線段CE的長為2：

(2)?.?￡>￡：垂直平分回，AE=BE=6-y

在Rt.BCE中,BC2+CE?=BE?,即/+y?=(6-，

1、

y=3x'(0<x<6)；

(3)當(dāng)點E在線段AC上時，由(2)得1=3--!--，解得：x=2?,

12

當(dāng)點E在AC延長線上時，AE=BE=7,

在.RABCE中,BC2+CE2=BE2,

即x2+12=72>解得：x=46),

綜上所述，若CE=1,BC的長為26或4G.

【總結(jié)】考查學(xué)生對勾股定理、線段垂宜平分線的性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合

性較強(qiáng)，第(3)小問注意要分類討論.

例4.如圖，在梯形/成力中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC=8,點￡在邊上，DEL

CE,小的延長線與位的延長線相交于點F.

(1)求證：DF=CE；

(2)當(dāng)點6為18中點時，求切的長；

(3)設(shè):CE=x,49=y,試用x的代數(shù)式表示y.

【難度】★★★

【答案】（1）詳見解析；（2）8=10；（3）y=--x2+>/x2-64+8.

-8

【解析】（1）證明：過。作。垂足為，

■JAD//BC,NABC=90°,AB=BC,:.DH=AB=BC.

DELCE,NCEB+NBEF=90°,

ZF+NBEF=90°,ZCEB=ZF,

.-.△CEB也QFH(A.A.S),;.CE=DF；

(2)為AB中點，:.AE=BE,

：.^ADE^ABFE(AAS),DE=DF=；DF,

?.?8C=8,；.BE=4,8c=8,:.CE=445=DF,

:.DE=2-B.ACD=sjDE2+CE2=10：

(3)-.CE=DF=x,BC=8,BE=x/x2-64,AE=S-y/x2-64.

■.■AD=y,DE2=/+k-x/x2-64)'.

DHLBC,CD2=DH2+CH2=82+(8-y)2.

DE2+CE2=CD2,/+(8-VX2-64)-+x2=82+(8-y)2,

y=--x2+-64+8.

8

【總結(jié)】考查梯形為背景下的三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用，同時運(yùn)用勾股定理解決函數(shù)問

題.

例5.如圖，在正方形/用力中，48=4,點￡■是邊切上的任意一點(不與C、〃重合),

將原沿月￡翻折至△加王，延長哥'交邊6c于點G,聯(lián)結(jié)4G.

(1)求證：△/比絲△/AG；

(2)若設(shè)應(yīng)’=x,BG=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)聯(lián)結(jié)陰若AG"CF,求應(yīng)'的長.

【難度】★★★

【答案】（1）詳見解析；（2）y=*丹（0＜方＜4）；

4

（3）DE=~.

3

【解析】（1）證明：由翻折易證斯

/.AD=AF9ZD=AAFE=900.

ZAFG=90°,/.ZAFG=ZB=90°.

??,正方形力以為，JAB=AD=AF.

;AG=AG,Rt^ABGRt^AFG（H.L）；

（2）?；RsABGmRSAFG,BG=FG=y,

,/DE-EF-x?:.GE=x+y.

,/AB=4,EC=4一x,CG=4-y

.-.（x+y）2=（4-x）2+（4-y）2,

16-4x

???y=(0<x<4)；

4+x

（3）vCF/MG,:&GB=/FCG,ZAGF=ZCFG

??ZAGB=ZAGF,/FCG=NCFG

GF=GC=BG=yt2y=4,「?）=2,

16-4x「454

4+x33

【總結(jié)】考查圖形運(yùn)動及動點問題結(jié)合全等三角形的綜合應(yīng)用能力，解題時注意對基本圖形

的尋找.

例6.如圖，正方形a的邊長為6,點昆廠分別在邊切上，AFEB=AEBC,

EF、6c的延長線相交于點G,設(shè)4、=x,BG=y.

(1)求y與"之間函數(shù)解析式，并寫定義域；

(2)當(dāng)點尸為切中點時，求四的長.

【難度】★★★

【答案】(1)y=j+—(0<x<6)；(2)AE的長為2或6.

【解析】解：(1)過點￡作m，3C于點〃，

?.?正方形/閱9,EHX.BC,

:.BH=AE=x,EH=AB=6.

■：2FEB=NEBC,:.EG=BG=y,：.GH=y-x.

VEG2=EH2+GH2,：.y2=62+(y-x)2,

y=-^+—(0<x<6)；

(2)?.?點F為CD中點，；.FD=FC.

DE/ICG,:.AEDFgAGCF,

ED=GC,即6-x=y-6,:.y=\2-x.

.?.12-x=-+—,即J?_8X+12=0,

2x

角吊得：%]=2>x2=6?

即AE的長為2或6.

【總結(jié)】本題主要考查正方形形的性質(zhì)與勾股定理的綜合運(yùn)用，注意進(jìn)行分析.

例7.如圖所示，已知：在中，ZJCS=90°,ZJ=60°,4俏3,點〃是邊朋上的動點

(點，與點4、8不重合)，過點。作班'垂直于四交射線與左連接應(yīng)'，點?是物的中

點，連接CD、CF、DF.

(1)當(dāng)點￡■在邊月。上(點￡與點C不重合)時，設(shè)｛氏x,CE-y.

①直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

②求證：是等邊三角形；

(2)如果小25，求出4〃的長.

【難度】★★★

【解析】解：（1）①?.?ZA=60。，DEA.AB,:.ZAED=30°

:.AE=2AD=2x,又AC=Af+CE,3=2x+y,

/.y=-2x+3（0<x<I）；

②證明：在&AECB和Rr&EZM中，ZECB=ZEDB=90°,

?.?F是BE的中點，;.CF=DF=LBE=BF.

2

:.ZFCB=ZCBF,ZFDB=ZDBF,ZCFE=2ZCBF,ZDFE=2ZDBF,

ZCFE+NDFE=2（NCBF+aDBF、,即NCFD=2ZCBA.

ZA=60°,ZABC=30°,:.ZCFD=60°,

.?.AC"是等邊三角形；

（2）vZACB=90°,ZA=60°,AC=3,;.BC=3&

在Rt^BCE中，CE=^BE2-BC2=1.

當(dāng)點E在AC上時，4）=；AE=g（3-l）=l；

當(dāng)點E在AC延長線上時，A￡>--A￡=-（3+l）=2.

22V7

綜上所述：A￡）的長為1或2.

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)

用，綜合性較強(qiáng)，注意認(rèn)真分析題中條件.

例8.如圖，已知：在△4%中，/物=90°,ZJ=30°,除3,〃是邊47上的一個動點，

DELAB,垂足為七點尸在W上，且夢分作FPLEF,交線段于點R交線段"的

延長線交于點G.

(1)求證：A六FP；

(2)設(shè)力分見GP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)若點一到4。的距離等于線段外的長，求線段/〃的長.

【難度】★★★

【解析】(1)-.-DEVAB,ZA=3O°,

：.ZADE=6OP.

DE=DF,NDFE=ZDEF=-ZADE=30°.

2

■.■FPVEF,:.ZPFE=90°,.?.ZPM=90o+30°=120°,

.-.ZFPA=30°=ZA,:.AF=FP-.

(2)DEYAB,ZA=30°,DF=DE=-AD=-x,

22

13

...FP=AP=x+—x=—x.

22

???NBPG=/FPA=300,N尸3G=180。，NC3A=90。，

:.BG=-GP=-y,NG=90°-30°=60。.

22'

?.?/。=90°—30。=60。，.?.AGCF是等邊三角形，

I3

:.GC=GF,即5y+3=y+：x,

y=6-3x(0<x<2)；

(3)若點P到AC的距離等于線段眇的長，則P為G尸的中點,

34

:.GP=FP,B|J6-3x=-x,解得：x=—,

23

即線段">的長為3.

3

【總結(jié)】考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角二角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定與性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，要注意分析.

例9.如圖，在直角△｛比中，N后90°,/小30°,。是4C邊上的一個動點(不與

4、C點重合)，過點〃作邊的垂線，交線段8c于點區(qū)點廠是線段比的中點，作以叱

DF,交射線A?于點凡交射線"于點G.

(1)求證：GD-DC-,

(2)設(shè)HG=y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域：

(3)當(dāng)法工時，求CG的長.

2

【難度】★★★

【解析】(1)-.?EDA.AC,ZC=30°.F是EC的中點，

:.DF=FC,NC=NF￡)C=30°,.../6尸。=60°

GDIOF,AZCGD=ZC=30°,

:.GD=DC；

(2)?.?ZA8C=90。，ZC=30°,AC=4,.-.ZA=60°,AB=2.

-.-ZHDA=ZC+^CGD=60°,:.AH=HD=AD,

-.-AD=x,AC=4,HG=y,:.GD=CD=4-x.

①若?！ń痪€段4S的延長線于點〃，有HG+GD=AD,

y+4-x=x,/.y=2x-4(2<x<4)；

②若O"交線段AB于點”，有GD—GH=AD,

:A-x-y=x,/.y=4-2x(l<x<2)；

(3)①若。"交線段45的延長線于點”,

Z/7=60,NHBG=90,:.BG=—,

22

-.-BC=2,.-.CG=2^-—=-y/3：

22

②若DH交線段AB丁點H,

ZG=30,NHBG=90,BG=—,

22

???3C=2,r.CG=2石+走=*6

22

綜上所述，償?shù)拈L為3石或3萬.

22

【總結(jié)】本題主要考查對三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊中

線性質(zhì)，以及含30。角的直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，此題中還要注意分類討論思想的運(yùn)用.

模塊二：圖形運(yùn)動求函數(shù)解析式

知識精講

圖形的運(yùn)動考查的是變化中的不變量，通過翻折或者旋轉(zhuǎn)后的圖形特點，結(jié)合全等三角

形性質(zhì)及直角三角形中的勾股定理，求邊或角的關(guān)系.

例題解析

例1.如圖，等腰梯形力及力中，AQBC=5,46=20,5=12,DHVAB,￡是線段仍上一動

點，在線段切上取點尸使然=劈，設(shè)/=x,DF=y.

(1)當(dāng)跖〃4。時，求四的長；

(2)求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)將△血火沿力下所在直線翻折，點〃落在平面上的〃處，當(dāng)〃'6=1時，求力￡

的長.

DC

AXIHXB

【難度】★★

【答案】(1)AE=5；(2)y=x+號)；

(3)/IE的長為3&或庖.

【解析】解：(1)-.-EFI/AD,。尸//AE,.,.四邊形是平行四邊形，

?.?E4=EF,.?.四邊形的口是菱形，.?.A￡=A￡)=5：

(2)過點E作于M,

在中，MF=\IEF2-EM2=\lx2-9,DM=HE=x-4

：.DF=DM+MF,.■.y=x+&-9(4Ax4^)；

(3)聯(lián)結(jié)AF,

?;EA=EF,..ZEAF^ZAFE.DC//AB,ZDFA=ZEFA=ZAFE,

.?.O'必落在射線所上，當(dāng)￡>'E=1時，有x-y=g或y-x=g,

解得：4E=3&或AE=>/S.

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及翻折的綜合應(yīng)用，一方面要注意定義域的確定,

另一方面要注意分類討論.

例2.如圖，已知：中，Z/JG9=90°,/4=30°,。是邊4c上不與點兒。重合的任

意一點，DELAB,垂足為點笈M是加的中點.

(1)求證：C妒EM；

(2)如果叱6，設(shè)/介x,C,^y,求了與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)當(dāng)點〃在線段4C上移動時，乙13的大小是否發(fā)生變化?如果不變，求出//鹿的大

?。蝗绻l(fā)生變化，說明如何變化.

B

CDA

【難度】★★★

【答案】(1)詳見解析；(2)y=G_j+l2(0<x<3)；

(3)不變，ZMCE=30°.

【解析】(1)證明：在RTAABC中，ZACB=90°,

?.?加是3￡)的中點，，。朋=」8。，同理

22

：.CM=ME-.

(2)解：在府AABC中，ZACB=90°,NA=30。，BC=#),

..A8=28C=2G，.?.由勾股定理，得：AC=3.

\*AD=x,:.CD=3-x.

在Rt^BCD中，NBCD=90°，,BD2=BC2+CD2,BD=^3+(3-x)2,

.CM=-BD,CM=y,

2.

2

y/x—6x+\2(x

=--------Z--------(°<*<3);

(3)不變.

M是Rt^BCD斜邊班)的中點，/.MB=MC,；.NMBC=NMCB,

:.NCMD=ZMBC+ZMCB=2ZMBC,同理ZfiWD=2ZMBE.

，NCMD+NEMD=22MBe+2NMBE=2(NMBC+NMBE)=2NA8C,

即NCME=2ZABC=120°.

?：MC=ME,ZMCE=AMEC=30°.

【總結(jié)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，對于直角三角形的性

質(zhì)與推論要靈活運(yùn)用.

隨堂檢測

1.已知一直角三角形紙片0AB,如=90°,654=2,仍=4,將該紙片放在，放置在平面直角

坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊防交于點G與邊48交于點〃.

(1)若折疊后使點8與點/重合，求點C的坐標(biāo)；

(2)若折疊后點6落在邊總上的點為6',設(shè)如'=x,OOy,試寫出y關(guān)于x的

函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍.

【難度】★★

【答案】(1)cfo,|(2)y=-gd+2e4y42

【解析】解：(1)聯(lián)結(jié)AC,

.OB=4,延CD折疊后使點5與點A重合，.?.5C=AC

設(shè)X=a,則AC=5C=4—a.

在R/AACO中，由勾股定理得：a2+22=(4-?)2,

(2)聯(lián)結(jié)8'C

?延CD折疊后使點B與點9重合，.?.3C=QC=4-y,

在R/A*OC中，由勾股定理得：/+x2=（4-y）2,

“=-92+2（|“42）

【總結(jié)】本題考查等腰三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)的綜合運(yùn)

用，綜合性比較強(qiáng)，解題時要注意進(jìn)行分析.

2.如圖所示，已知：在正方形A%力中，點戶是射線式1上的任意一點（點8與點C除外）

聯(lián)接〃R分別過點C、/作直線分的垂線，垂足為樂F.

①點戶在歐的延長線上時，那么線段AF,CE、）之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論；

②當(dāng)點尸在邊a'上時，正方形的邊長為2,設(shè)誨x,44%求y與x的函數(shù)解析式.并寫出

函數(shù)的定義域；

③在②的條件下，當(dāng)產(chǎn)1時.求斯的長.

【難度】★★★

【答案】(1)EF=AF+CE；

(2)y=y/4-x2(0<x<^］；

(3)EF^y/3-l.

【解析】解：(1)EF=AF+CE.

AD=DC,ZAFD=ZDEC,ZADF=NDCE,

:.^ADF=^DCE,:.DF=CE,AF=DE,

:.AF+CE=EF；

(2)由(1)證明可知：DF=CE,AF=DE.

?/CE=x,AF=y,DE=y.

在用ACD石中，CD=2,x2+y2=4,

.?.y="—Y(0;

(3)當(dāng)x=l時，y=6;.DE=6

又?；DF=CE=1,EF=DE-DF,

.-.EF=y/3-}.

【總結(jié)】本題主要考查三角形全等的證明及勾股定理的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生解決實際問題的

能力.

3.（2020?上海八年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形AQ3C的頂點C的

坐標(biāo)是（2百,6）,動點P從點A出發(fā)，沿線段A。向終點。運(yùn)動，同時動點。從點3出

發(fā)，沿線段8c向終點。運(yùn)動.點尸、Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位，運(yùn)動時間為

?0<f<6）秒，過點P作交A3于點E.

（1）求直線AB的解析式；

（2）設(shè)APEQ的面積為S,求當(dāng)0<。<3時，S與，時間的函數(shù)關(guān)系；

（3）在動點P、。運(yùn)動的過程中，點，是矩形AO8C內(nèi)（包括邊界）一點，且以

B、Q、E、〃為頂點的四邊形是菱形，直接寫出，值和與其對應(yīng)的點，的坐標(biāo).

【答案】（1）y=-JJx+6；（2）S=-@t2+&t；（3）t的值為空或24-126，點II坐

35

標(biāo)為（—>9）或（8—12，6）

55

【分析】（1）先求出點A,點B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求直線AB的解析式；

（2）先求出點E坐標(biāo)，再利用三角形面積公式可求解；

(3)分兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：(1)..?矩形AOBC的頂點C的坐標(biāo)是(26，6),

.,.0A=BC=6,0B=AC=2百，

.?.點A(0,6),點B(2百，0)

設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,

J/?=6

-0=2麻+人

解得卜百

b=6

???直線AB的解析式為：y=-V3x+6；

(2),?,點P、Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位,

AAP=BQ=t,

/.0P=6-t,

VPEIAO,

???點E縱坐標(biāo)為6-t,

6-t=-y/3x+6,

x-.-鳳--I，

3

八

.?.點E(—t.6-t),

3

Q到直線PE的距離為6-2t,

.,.當(dāng)0<tV3時，

S=—X(6-2t)

23

，S=-Bt2+73t；

3

(3)如圖，當(dāng)四邊形EHBQ是菱形時，延長PE交BC于F,

y

?AB=，。32+042=的2+36=473,

.0B=-AB,

2

.ZBA0=30°,

?AO〃BC,PE1A0,

.ZABC=ZBA0=30°,PE1BC,

?四邊形EHBQ是菱形，

.BQ=EQ=t,EH〃BQ,

.ZQEB=ZEBQ=30°,

.ZFEQ=30°,

.FQ--I!Q--t,

22

?BOt+t+工t=6,

2

12

?t=—，

5

12

.BQ=EII=y,

,4G18

.點E(Z22,—),

55

6

"竽,-)

5

如圖，若四邊形EHQB是菱形，延長PE交BC于F,

y

???四邊形EHQB是菱形，

ABE=BQ=t,EH〃BQ,

VZABC=30°,EF±BC,

.,.BE=2EF,

.??t=2(273-—t)

3

：.t=24-12y/3

.?.點E(873-12.125/3-18),

二點H(873-12.6),

綜上所述：t的值為q或24-12G，點H坐標(biāo)為（迪，9）或（80一12,6）.

555

【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)

法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識；利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?上海市市西初級中學(xué)八年級期中）如圖1,在菱形A3CD中，AB=8,

BD=8\/3）點P是BD」二一點,點。在AB上，且PA=PQ,設(shè)尸。=x.

（1）當(dāng)R4J_A8時，如圖2,求的長;

BD

圖2

(2)設(shè)AQ=y,求>關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；

(3)若ABPQ是以8。為腰的等腰三角形，求的長.

【答案】(1)PD=^~(2)丫=島-8(3)4百

333

【分析】(1)先根據(jù)菱形的邊長和對角線的長得到NABO=30°,再根據(jù)求出

AP的長，故可得到DP的長；

(2)作HP_LAB,根據(jù)AP=PQ,得到AH=QH=gy,BH=8-gy,BP=BD-DP=8ji-x,再根據(jù)

(1)可得HP=4百-]X,在RtZXBPH中，BP'HB'+HPZ,化簡即可求解，再求出x的取值范

圍；

(3)根據(jù)題意作圖，由等腰三角形的性質(zhì)可得aAOP是等邊三角形，故可得到DP的長.

【詳解】(1)；A6=8,BD=86

.?.B0=；^=46，AC_LBD

故A0=yjAB2-BO2=4」|AB

：.ZABO=30°=ZADO

,/PALAB

：.ZAPB=90°-ZABO=60°

故NPAD=NAPB-ZADO=30°

即NPAD=NADO

；.DP=AP

設(shè)AP=x,則BP=2x,

在Rt/XABP中，BP2=AB2+AP2

即(2x)2=82+X2

解得

3

故更;

3

(2)作HP_LAB,VAP=PQ

1

.,.AH-QII--V

2

,、

BH=BQ+QII=(8-y)+-1y=8-1-V,

22

BP=BD-DP=8百-x,

由（1）可得HP=gB尸=4，J-：x

在RtZXBPH中，BP2=HB2+HP2

即(8V3-x)'=(8-gy).(4Gyx)J

v873-x>0,8-；y>0,4>/3^x>0

化簡得y=J5x-8

VO^^x-8^8

??.x的取值范圍為更WxW好且

33

..?丁關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=JJx-8年叵）;

（3）如圖，若A5PQ是以BQ為腰的等腰三角形,

貝！|NQPB=NQBP=30°,

ZAQP=ZQPB+ZQBP=60"

VZBAP=90°-ZQBP=60°,

...△APQ是等邊三角形，NAPQ=60°

ZQPB+NAPQ=90°,

則AP_LBP,故。點與P點重合，

【點睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì)及含30度的直角三

角形的性質(zhì).

5.(2019?上海八年級期末)如圖，已知直角梯形ABC。，AD//BC,ZDCB=90°,

過點A作AH_LBC,垂足為點〃，8=4,BH=2,點F是CO邊上的一動點，過

戶作線段A3的垂直平分線，交A3于點E，并交射線6C于點G.

(1)如圖1,當(dāng)點尸與點C重合時，求8c的長；

(2)設(shè)AD=x,DF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)如圖2,聯(lián)結(jié)OE,當(dāng)△。石尸是等腰三角形時，求AZ)的長.

AD

x+55

【答案】(1)BC=5：(2)y=-y-(0<x<3)；(3)的長為石或3或§.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知6C=AC,設(shè)AO=〃C=x,

AC=BC=2+x,在R/AADC中用勾股定理求出x=3,即可解答；

(2)聯(lián)結(jié)AE,BF,在肋AADF中，AF2=x2+y2,在RrABFC中,

BF2=(2+x)2+(4-y)2,消去二次項即可得到丁與x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)點尸是CO

邊上的一動點結(jié)合(1)即可得出X的定義域；

(3)分三種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)相等的邊用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】

解：(1):梯形ABCD中，ADUBC,AH±BC,/DCB=90°,

，AD=CH,

VCE是線段AB的垂直平分線，

BC=AC,

在心△ADC中，AD2+DC2=AC2.

又：DC=4,BH=2,設(shè)AD=HC=x，3C=2+x=AC，

(2+x)2=x2+42,

x=3>

BC=2+3=5.

(2)聯(lián)結(jié)AE，BF，

VEf是線段AB的垂宜平分線,

:.AF=BF

'：AO=x,DF=y,

：.FC=4-y

在心△?1村中，AF2=x2+y2

在RtrXBFC中，BF?=(2+x)2+(4-y)2

x2+y2=(2+x)2+(4-y)2

尤+5

y=--(0<x<3)

(3)在Rt/VLB”中，A/7=4，BH=2,

:.AB=2盡AE=BE=y[5

當(dāng)△￡＞歷是等腰三角形時

①：FD=FE

???ZDEF^ZEDF

?：ZADC=ZAEF^9Q°

???ZAED=ZADE

???AD=AE=也

②DE=EF

取。。中點M,聯(lián)結(jié)EM

,/E為A3的中點

???EM為梯形中位線

：.EM±DC

,/DE=EF

；.M為DF中點,

此時E與。重合

AD=3

③DE=DF

聯(lián)結(jié)DE并延長交CB延長線于點P

此時△EM）好

:.AD=PB=x,BC=2+x，DE=PE=y

，PC=2+2x，DP=2y

...在RSPDC中，(2+2x>+42=(2y>,

解得玉=§,無2=一1(不合題意含去)

綜上所述，當(dāng)△。所是等腰三角形時，AO的長為括或3或g

【點睛】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、等腰三角形性質(zhì)和判定、全等

三角形性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵.

6.(2019?上海八年級期中)如圖，在梯形A8CD中，AD//BC,AB1BC,

AB=2?E是邊A3的中點，聯(lián)結(jié)￡＞￡、CE,且QE_LCE.設(shè)AD=x,

BC=y.

(1)如果N8C￡)=6O°,求CD的長；

(2)求＞關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)BD.如果△BCD是以邊CO為腰的等腰三角形，求》的值.

3

【答案】(1)8=4；(2)y=—，自變量x的取值范圍是尤＞0,且x#G；(3)

X

瓜

x=——

2

【分析】(1)首先過點D作DHJ_BC,垂足為點H,由AD〃BC,AB1BC,DHXBC,可求得DH

的長，然后設(shè)CH=。，則CD=2?,利用勾股定理即可求得答案；

(2)首先取CD的中點F,連接EF,由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形

ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可求得答案；

(3)分別從CI)=BD或CI)=BC去分析求解即可求得答案.

【詳解】（1）過點。作。垂足為點”.

VAD//BC.AB1BC，DHA.BC，

DH=AB=2y/3■

在RtZ\OaC中，

：288=6()。，

ZCDH=30°，

:.CD=2CH.

設(shè)CW=a,則CO=2a,

利用勾股定理，得CH'+DH2=CD2.

即得標(biāo)+(2揚(yáng)2=4標(biāo),

解得。=2(負(fù)值舍去).

，C￡>=4；

(2)取CD的中點F,連接EF,

,/E為邊AB的中點，

/.EF=1(AD+BC)=1(x+y),

:DEA.CE,

：.ZDEC=90°.

又,；DF=CF,

:.CD=2EF=x+y.

由DH1BC,得ZS=N￡>〃C=90°.

/.AB//DH.

又：AB=DH，

四邊形AB”r）是平行四邊形，

BH—AD-x，

即得C”=|y-%|,

在RfADHC中,利用勾股定理，得Ctf+DH?=CD'

即得⑶一江+設(shè)一工+方.

3

解得y=±.

X

3

...所求函數(shù)解析式為>=二.

自變量X的取值范圍是x>0,且XWk.

（3）當(dāng)△88是以邊。。為腰的等腰三角形時，有兩種可能情況:

CD=BD或CD=BC.

①如果CO=30，

作。H_L8C于II,

解得芭=等，

經(jīng)檢驗：%=邁，是方程的解，

'2-2

但々=-乎不合題意，舍去.

.瓜

??X——；

2

②如果CD=BC，則x+y=y.

即得x=0（不合題意，舍去）.

綜上，如果△38是以邊CD為腰的等腰三角形，x的值為x=X5.

2

【點睛】本題屬于四邊形的綜合題.考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識.注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思

想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

7.（2019?上海上外附中）如圖，矩形ABGD中，邊43在丁軸上，點A（0,3）,

BC=2AB,直線y=2x+l過點3且交邊A。于G,另有一條直線/與y=2x+l平行且

（1）求8C,AG的長；

（2）當(dāng)BGE尸為菱形時，求直線/解析式；

（3）當(dāng)直線/將矩形A8CD分成兩個面積比例為1:2的梯形時，直接寫出此時直線/的解

析式.

【答案】⑴BC=4,AG-1：⑵直線/解析式：y=2x+l—2百；⑶直線/解析

c2c10

式：y—2.x—或y=2x-----.

33

【分析】

(1)利用y=2x+l,求出從C的坐標(biāo)，即可得到3C，AG的長；

(2)依據(jù)勾股定理求出法的長，依據(jù)菱形的性質(zhì)求廣的坐標(biāo)，并用待定系數(shù)法求直線的

解析式；

(3)AE=m,用加表示兩個梯形的上下底，直線/將矩形ABGD分成兩個面積比例為

1:2的梯形，可兩種情況列出關(guān)于小的方程解出，用后的坐標(biāo)求直線的解析式即可.

【詳解】

解：(1)?.?直線y=2x+l過點8B在y軸上，

???8(0,1),

VA(0,3),

???AB=2,

：.BC=2AB^,

?..當(dāng)y=3時，2x+l=3,尤=1,

G(l,3),

AG-1；

(2)..?矩形ABC。，

???ZBAG=90°,

BG=\IAB2+AG2=6，

:四邊形8GE尸為菱形，

，BF=BG=5

F(V5,1),

設(shè)直線/解析式：y=2x+b,

將產(chǎn)(右,1)代入y=2x+8中，得到力=1—26，

...直線/解析式：y=2x+\-245；

(3)設(shè)(l<m<4),則GE=A￡-AG=m-l，E(m,3),

設(shè)直線/解析式：y=2x+c,將E(/w,3)代入，求得c=3—2根，

則直線/解析式：y=2x+?>-2m,

?矩形ABC。，

:.ADMBC，AD=BC=4,

乂?；BG//EF,

???四邊形BGEF是平行四邊形，

BF=GE=m—l,

AE+BF=2m