第68講、曲線的軌跡方程（教師版）

第68講曲線的軌跡方程知識梳理一．直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明．注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．二．定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．三．相關(guān)點法求動點的軌跡方程如果動點的運(yùn)動是由另外某一點的運(yùn)動引發(fā)的，而該點的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．四．交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．五．參數(shù)方程法求動點的軌跡方程動點的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點的坐標(biāo)，即，再消參.六．點差法求動點的軌跡方程圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．必考題型全歸納題型一：直接法例1．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）動點與定點的連線的斜率之積為，則點的軌跡方程是.【答案】（）【解析】由題意可知：，則點的軌跡是以為直徑的圓（除外），即以的中點為圓心，半徑為1的圓，所以點的軌跡方程是.故答案為：.例2．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，過動點作圓的切線（為切點），使得，則動點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，由得，則，即.故答案為：例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條直線和，有一動圓與及都相交，并且、被截在圓內(nèi)的兩條弦長分別是26和24，則動圓圓心的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，點到、的距離分別為、，則，，得．由題意可得：，，即，化簡得．即．故答案為：.變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．則曲線的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，由題設(shè)有，整理得到，故.故答案為：.變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上的動點到點和的距離之比為，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，因為動點到點和的距離之比為，所以，，即：，所以，即，所以點的軌跡方程是.故答案為：變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點P的軌跡方程為；【答案】【解析】設(shè)，則，由·=0，得，即，化簡得，所以點P在橢圓上，即動點P的軌跡方程為．故答案為：題型二：定義法例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，點P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則點P的軌跡方程是【答案】【解析】因為，所以點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中，故點P的軌跡方程為.故答案為：例5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，點到直線的距離為d，如圖，只能在直線的左側(cè)，則，因為圓的圓心為，半徑為1，依題意可得，即，化簡可得，故圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.例6．（2024·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動圓P的圓心為，半徑為，由題意得，所以，所以點P的軌跡為以為焦點的橢圓，則，即，，則，所以動圓圓心的軌跡方程為，故答案為：變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若，動點滿足.則動點的軌跡方程為；【答案】【解析】由，知點G是的重心，取點，，不妨設(shè)，，則，，且，所以點是以，為焦點的橢圓（除去長軸端點），設(shè)橢圓的方程是，則，，于是，即，從而，點的軌跡方程為：.故答案為：變式5．（2024·全國·高三對口高考）已知動圓P過點，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為.【答案】，【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因為與圓外切，所以，即，所以點的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）中，A為動點，，且滿足，則A點的軌跡方程為．【答案】.【解析】根據(jù)正弦定理，由，所以點A點的軌跡是以，為焦點的橢圓，不包括兩點，由，所以A點的軌跡方程為，故答案為：.變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.故答案為：.變式8．（2024·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為.【答案】．【解析】由題意，在線段的垂直平分線上，則，所以，又，所以在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，，，，則，所以軌跡方程為．故答案為：．變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定點，圓，過R點的直線交圓于M，N兩點過R點作直線交SM于Q點，求Q點的軌跡方程；【解析】因為，即，所以，半徑為，如圖，根據(jù)題意可知，又，所以，故，又，所以，故動點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，這里，故，所以點的軌跡方程為：.變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，直線，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，則弦中點的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意得弦中點為直線和的交點，設(shè)，則直線的方程為，又均與圓相切，故，故四點共圓，且為以為直徑的圓與圓的公共弦.又以為直徑的圓的方程為，即，故的方程為與相減，即.又，所以，代入有，化簡得.當(dāng)時，；當(dāng)時，均滿足方程.又當(dāng)時，不滿足題意.綜上點的軌跡方程為，故答案為：變式11．（2024·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為．【答案】【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標(biāo)為，故，點P的軌跡方程為.故答案為：變式12．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線過點且與圓交于點B，C，線段的中點為D，過的中點E且平行于的直線交于點P．(1)求動點P的軌跡方程；【解析】（1）由題意得，，．因為D為中點，所以，即，又，所以，又E為的中點，所以，所以，所以動點P的軌跡是以，為焦點的橢圓（左、右頂點除外）．設(shè)動點P的軌跡方程為：，其中，．則，，，．故動點P的軌跡方程為：．題型三：相關(guān)點法例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為．【答案】.【解析】設(shè)點，由得點，而點P為橢圓上的任意一點，于是得，整理得：，所以點M的軌跡方程是.故答案為:例8．（2024·福建泉州·高三?？奸_學(xué)考試）是圓上的動點，點，則線段的中點的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)，則，解得，即，則，整理得，故點的軌跡方程是.故答案為：.例9．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)線段中點為，，則，即，因為點為圓上的點，所以所以，化簡得：故答案為：變式13．（2024·全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點M的軌跡方程為.故答案為：變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，，頂點A在拋物線上運(yùn)動，則的重心G的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，．由點G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．故答案為：變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若，且，則點P的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)點，則，設(shè)，，則，，，，，，又，，，，即.故答案為：.變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，存在非零實數(shù)，使得，則頂點C的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，因為，所以是的重心，因為，所以，所以,所以點在的角平分線上，因為∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，所以點為的內(nèi)心.所以點，即，又，所以與軸平行，又，所以,所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，，當(dāng)是橢圓的長軸的端點時，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長軸的端點；當(dāng)是橢圓的短軸的端點時，與已知存在非零實數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點.又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.所以點的軌跡方程為.故答案為：題型四：交軌法例10．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線，，當(dāng)任意的實數(shù)m變化時，直線與的交點的軌跡方程是．【答案】【解析】聯(lián)立兩直線得，將這兩式相乘，消去參數(shù)m，得，即，可得軌跡方程為．故答案為：例11．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為.【答案】或【解析】由焦點到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達(dá)定理，，得，其中或，故點的軌跡方程為：或.故答案為：或例12．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）已知A，B分別為橢圓的左?右頂點，點M，N為橢圓上的兩個動點，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點的軌跡方程為.【答案】【解析】因為A，B分別為橢圓的左?右頂點，所以A(-2，0)，B(2，0)，設(shè)MA與NB的交點為P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，由，，得，，兩式相乘得∶，化解得.故答案為：.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為．【答案】（）．【解析】設(shè)，因為橢圓的長軸端點為，設(shè)直線和的交點為，因為三點共線，所以，，因為三點共線，所以，兩式相乘得，（）,因為，所以，即，所以，整理得（），所以直線和的交點的軌跡方程（）.故答案為：（）.變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點，點為拋物線的頂點，過點、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點．分別過點、作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理，可得，，顯然拋物線在點處切線斜率存在且不為，設(shè)其方程為，由，消去并整理，得，解得或，因此有，解得，則拋物線在點處切線方程為，即，同理拋物線在點處切線方程為，而，由，解得，，于是得兩條切線的交點在直線上，又，所以兩條切線的交點的軌跡方程為．故答案為：.變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：，焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，分別作拋物線C在A，B處的切線，且兩切線交于點P，則點P的軌跡方程為：．【答案】【解析】，，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立：，得：，，又，過的切線的斜率分別為：，故過點和點的切線方程為：，聯(lián)立：，解得：，，故點P的軌跡方程為：.故答案為：.變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點，，，動圓與直線切于點，分別過點且與圓相切的兩條直線相交于點，則點的軌跡方程為.【答案】【解析】如圖所示：設(shè)PM，PN分別與圓C相切與R，Q，由圓的切線長定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，且c=3，a=1，所以點的軌跡方程為故答案為：變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點A和B（AB＝2a）在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是.

【答案】（不唯一）【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因為，所以，化簡，得，當(dāng)時，點P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式，故桿的交點P的軌跡方程是.因為取原點的位置不一樣，所以答案不一樣.故答案為：（答案不唯一）.變式22．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過三點.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點，求直線與直線的交點的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)橢圓方程E：+=1由AC兩點可知：，解得=16，=12，所以橢圓方程為；（2）設(shè)，M（，）N（，）聯(lián)立（3+12my-36=0直線AM：=直線BN：=消去：，因斜率不為0，該直線方程：.變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.【解析】（1）根據(jù)題意可得，解得，∴求橢圓C的方程為（2）根據(jù)題意可得直線AE：，BF：，由可得，所以，故，故，同理，，故，因為三點共線，故共線，而，故，整理得到：或，若，則由可得，這與題設(shè)矛盾，故.聯(lián)立方程，解得，∴P點的軌跡方程為變式24．（2024·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標(biāo)原點．(1)證明：；(2)設(shè)為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)，，因為三點共線，所以,所以，整理可得，所以，所以．（2）設(shè)，，，由題意，，因為，，所以，又因為，，所以，整理得．因為在軸同側(cè)，所以，同理可得，所以直線的方程為，同理的方程為，兩式聯(lián)立代入，可得，由題意可知交點不能在x軸上，所以交點的軌跡方程為．變式25．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點，點O為拋物線的頂點，過點A，B分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于C，D兩點．(1)當(dāng)時，求的大小；(2)試探究直線AD與直線BC的交點是否為定點，若是，請求出該定點并證明；若不是，請說明理由；(3)分別過點A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)直線l的方程為，由，消去x并整理得，設(shè)，，則，，當(dāng)時，，，因，，即，所以．（2）顯然，當(dāng)軸時，直線AB：，四邊形是矩形，x，y軸分別為其對稱軸，則直線AD與BC交于原點，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由（1）知，，且此時，，，則有，即有，因此點共線，同理點共線，即直線AD與直線BC交于原點，所以直線AD與直線BC的交點恒為原點．（3）由（1）知，，顯然拋物線在點A處切線斜率存在且不為0，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得：，解得或，因此有，解得，則拋物線在點A處切線方程為，即，同理拋物線在點B處切線方程為，而，由解得，于是得兩條切線的交點在直線上，又，所以兩條切線的交點的軌跡方程為．變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線過點，直線與拋物線C交于A，B兩點.(1)若，求直線l的方程；(2)過點作直線和，其中交C于M，N兩點，交C于P，Q兩點，M，P位于x軸的同側(cè)，Q，N位于x軸的同側(cè)，求直線MP與直線QN交點的軌跡方程.【解析】（1）∵拋物線過點，∴，拋物線.聯(lián)立消去x并整理，得，設(shè)，，則，.∵.∴，∴（舍去）或，∴.∴直線l的方程為或.（2）設(shè)，，，.由（1）可知，，.直線的斜率為，直線的方程為，同理，直線的方程為，聯(lián)立化簡可得，.，，，.解得，則直線，的交點在直線上，∴直線，交點的軌跡方程為.變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點）．（1）試求拋物線的方程；（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．①求證：直線恒過定點；②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．【解析】（1）解依題意，設(shè)，，則由，得，即，因為，，所以，故，，則，關(guān)于軸對稱，所以軸，且，所以.因為，所以，所以，故，，故拋物線的方程為.（2）①證明

由題意可設(shè)直線的方程為，，，由，消去，得，故，，.因為，所以.即.整理得，，即，得，所以或.當(dāng)，即時，直線的方程為，過定點，不合題意舍去.故直線恒過定點.②解

設(shè)，則，即，得，即，即軌跡是以為直徑的圓（除去點）.題型五：參數(shù)法例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程(t為參數(shù))所表示的圓的圓心軌跡方程是(結(jié)果化為普通方程)【答案】【解析】圓化為，它表示以為圓心，為半徑的圓，設(shè)圓心坐標(biāo)為，于是得(t為參數(shù))，消去t得：，所以所求圓心軌跡方程是.故答案為：例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，當(dāng)時，線段的中點軌跡方程為．【答案】【解析】因為，，所以中點坐標(biāo)為，即，設(shè)點為線段的中點軌跡上任一點的坐標(biāo)，，，，即當(dāng)時，線段的中點軌跡方程為，故答案為：例15．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，，A是上的動點，連接OA，線段OA交于點B，過A作x軸的垂線交x軸于點C，過B作AC的垂線交AC于點D，則點D的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)則，由題意可得，消參可得：所以點的軌跡方程為．故答案為：變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，若，則點P的軌跡方程為．【答案】【解析】由題得，則，即，又，為的內(nèi)角，則，則有，故，由題可設(shè)，，，則，所以且，則，即.故答案為：題型六：點差法例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．【解析】（1）設(shè)弦與橢圓兩交點坐標(biāo)分別為、，設(shè)，當(dāng)時，．當(dāng)時，，兩式相減得，即(*)，因為，，，所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.所以點P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．（2）設(shè)，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．所以，點的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.（3）在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線方程為．例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，求斜率為的平行弦中點的軌跡方程.【解析】設(shè)弦的兩個端點分別為，的中點為.則，（1），（2）得：，.又，.由于弦中點軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立故斜率為的平行弦中點的軌跡方程：例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知：橢圓，求：（1）以為中點的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)弦的端點，，可得：，，相減可得：，把，，代入可得：．∴以為中點的弦所在直線的方程為：，化為：．（2）設(shè)直線方程為：，弦的端點，，中點．聯(lián)立，化為，，化為：，∴，化為：．得，∴變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是．【答案】(或).【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)這組平行直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由可得，則，所以它們與橢圓交點的中點坐標(biāo)為，即這些點均在軌跡上，即直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是.故答案為：．變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，，線段AB的中點為，連接（為坐標(biāo)原點）．由題意知，則，∴點的軌跡方程為．又點在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設(shè)中點坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡例19．（2024·北京·高三強(qiáng)基計劃）在正方體中，動點M在底面內(nèi)運(yùn)動且滿足，則動點M在底面內(nèi)的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對【答案】A【解析】因為，故在圓錐面上，該圓錐以為軸，為頂點，而M在底面內(nèi)，故動點M在底面內(nèi)的軌跡是以D為圓心的四分之一圓弧．故選：A.例20．（2024·全國·高三對口高考）如圖，定點A和B都在平面內(nèi)，定點，C是內(nèi)異于A和B的動點，且．那么，動點C在平面內(nèi)的軌跡是（

）

A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．一個橢圓，但要去掉兩個點 D．半圓，但要去掉兩個點【答案】B【解析】連接.，則，又，，平面，則平面，又平面，則，則動點C在平面內(nèi)的軌跡是以為直徑的圓（去掉兩個點）.故選：B例21．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點，當(dāng)直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【解析】以點D為原點，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，設(shè)，可得，，因為直線與的所成角為，則，化簡可得，所以點Q的軌跡為拋物線.故選：C.變式33．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，因為平面，則，又平面，，則平面，又平面，則，取中點，連接，在平面內(nèi)過作，交于，顯然，而平面，則平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因為平面，，從而平面，連接，則點的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，因為，即有，又，于是，有，，所以點的軌跡長為.故選：A變式34．（2024·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點到、距離相等，則點在平面內(nèi)的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【解析】設(shè)在內(nèi)的射影為，到的距離為，以與的交點為原點，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則到的距離為.過點作于點，過點作于點，又在內(nèi)的射影為，則，連結(jié),又，，所以平面，又平面，所以，所以，所以則到的距離為,因為點到、距離相等，所以，即，所以點在平面內(nèi)的軌跡為雙曲線.故選：C.變式35．（2024·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運(yùn)動，滿足面，則點的軌跡所構(gòu)成的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延長，交的延長線與，連接，分別交，于，過點作交于點，過點作交于點，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，所以平面平面，過點作交于點，連接，則則平行四邊形（點除外）為點的軌跡所構(gòu)成的圖形，因為正方體棱長為4，，分別為棱，的中點，，所以，因為，所以，過點作⊥于點，則，則由幾何關(guān)系可知，所以，由勾股定理得，所以點的軌跡所構(gòu)成的周長為.故選：D題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡例22．（2024·遼寧朝陽·統(tǒng)考二模）已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的軌跡方程為．【答案】【解析】∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點，又，∴，即點到點，和的距離之和為6，且兩定點的距離為，故點的運(yùn)動軌跡是以點為焦點的橢圓，且，故，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的軌跡方程為：，故答案為：．例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則在復(fù)平面內(nèi)的軌跡方程為．【答案】【解析】因為且，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為焦點，為長軸的橢圓，所以的軌跡方程為故答案為：例24．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的軌跡為（

）A．圓 B．一條線段 C．兩條直線 D．不含端點的4條射線【答案】D【解析】由題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得或，故在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的軌跡為不含端點的4條射線.故選：D.變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)平面中有動點Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點Z的軌跡為（

）A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓【答案】A【解析】設(shè)動點Z坐標(biāo)為，則，所以，即，化簡得：，故動點Z的軌跡為直線.故選：A變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（

）A．線段 B．直線C．橢圓 D．橢圓的一部分【答案】A【解析】，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知表示點到定點與的距離之和為2，而，故點的軌跡為線段.故選：A變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡圍成圖形的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以點為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D變式39．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【解析】設(shè)，求出，判斷出點的軌跡是圓.設(shè)，由可得：，兩邊平方得：，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是圓.故選：B變式40．（2024·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)滿足.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，由題意可得，則，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點的軌跡為圓.故選：C.題型九：向量與圓錐曲線的軌跡例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動點的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．例26．（2024·全國·高三對口高考）O是平面內(nèi)一定點，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心【答案】D【解析】由題設(shè)，而所在直線過中點，即與邊上的中線重合，且，所以P的軌跡一定通過的重心.故選：D例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】設(shè)線段的中點為，則、互為相反向量，所以，，因為，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分線段，因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選：D.變式41．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】設(shè)，，以為原點，、方向為、軸正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，，，則，設(shè)，則，，，即，即點的軌跡方程為，而直線平分線段，即點的軌跡為線段的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點的軌跡一定過的外心，故選：A.變式42．（2024·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┰谄矫鎯?nèi)，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【解析】設(shè)為線段的中點，.因為，所以，所以，所以，當(dāng)點在點或時也滿足，所以點的軌跡為以線段為直徑的圓.故選:A.變式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，角A是銳角，O為的外心．若，其中，則點P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，又角為銳角，所以．因此，．由得．由題意知，點P的軌跡對應(yīng)圖形是邊長為的菱形，．于是這個菱形的面積．故選：A．變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓【答案】D【解析】方法一：由題可知：，又所以，即所以點C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O(shè)為原點OB為x軸，過O點與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以設(shè)，又所以整理得：所以點C的軌跡是圓.故選：D.變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】B【解析】設(shè)的中點為，因為，所以，即，兩端同時點乘，所以，所以，所以點在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.故選：B.題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在C上．過C的右焦點F的直線交C于M，N兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)若動點P滿足，求動點P的軌跡方程．【解析】（1）由題意，b＝1，，又，解得b＝1，，c＝1．故橢圓C的方程為．（2）直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為．設(shè)，，．將代入，得．于是，．①由題意，有，即．顯然點不在直線上，∴，從而．將式①代入，得，化簡得．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，經(jīng)檢驗符合題意．故滿足題意的點P的軌跡方程為直線x＝2．【反思】右焦點關(guān)于橢圓C的極線是其右準(zhǔn)線x＝2，又∵點P滿足，∴動點P在F的極線x＝2上．本題是命題2的逆向應(yīng)用．例29．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知過右焦點的直線交雙曲線于兩點，曲線的左右頂點分別為，虛軸長與實軸長的比值為．

(1)求曲線的方程；(2)如圖，點關(guān)于原點的對稱點為點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，求的軌跡方程．【解析】（1）由題意得，又，則，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，由，得，，，則，，由于點關(guān)于原點的對稱點為點，，則直線為，直線為，顯然，由，得，即，則直線的方程為，由得，即，當(dāng)時，由對稱性可知在軸上，此時直線平行于直線，不符合題意，故的軌跡方程為．例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程；【解析】直線l過點，點M在橢圓內(nèi)部，所以直線總與橢圓相交.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)斜率為，則的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得，設(shè)、，則，則，于是.設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，由①÷②得，代入②整理得③當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，A、B中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為．變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：過點，且橢圓上任意一點到右焦點的距離的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交不同于點A的P、Q兩點，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過A，過點A作線段PQ的垂線，垂足為H，求點H的軌跡方程.【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意知，直線的斜率不為0，則不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，化簡整理得，設(shè)，則，因為以線段為直徑的圓經(jīng)過，所以,得，將代入上式，得，得，解得或（舍去）．所以直線的方程為，則直線恒過點因為過點做的垂線，垂足為，所以在以為直徑的圓周上，所以點的軌跡方程為：除去點變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與直線．(1)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，點是線段AB的中點，求直線的方程；(2)若直線l與雙曲線有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點．當(dāng)點M運(yùn)動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．【解析】（1）設(shè)，則，所以，因為點是線段AB的中點，所以，所以，故，所以直線的斜率為1，所以，又點在直線上，所以直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，所以或，滿足條件；所以直線的方程為.（2）當(dāng)時，直線與雙曲線有兩個交點，不滿足要求，由已知有且僅有一組解，所以方程有且只有一個根，又，所以，所以，設(shè)，則，，因為，所以直線的方程為，令，可得，令，可得，又，，所以，，所以，，所以軌跡方程為，所以點軌跡為焦點在軸上，實軸長為6，虛軸長為的雙曲線挖去點.變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點A，B在橢圓上運(yùn)動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程.【解析】①若直線AB的斜率不存在，由已知得點M的坐標(biāo)為；②若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，