3.2.2第2課時(shí)　直線與雙曲線的綜合應(yīng)用 練習(xí)冊(cè)答案

第2課時(shí)直線與雙曲線的綜合應(yīng)用1.B[解析]因?yàn)闈u近線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),所以若直線l平行于雙曲線的一條漸近線,則l與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1,故選B.2.C[解析]根據(jù)題意可得雙曲線的離心率e=3,則3=1+1m,解得m=18.3.D[解析]當(dāng)直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=4的漸近線y=±x平行時(shí),k=±1,此時(shí)直線與雙曲線的其中一支有一個(gè)交點(diǎn).若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍為(-1,1),故選D.4.D[解析]由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),與雙曲線方程聯(lián)立,得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,則2-k2≠0,且Δ=4(12-8k)>0,所以k<32且k≠±2.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-2k(k-2)2-k2=2xP,所以-2k(k-2)2-k2=2,解得k=1,則x1+x2=2,x5.D[解析]雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為y=-bax,因?yàn)橹本€l:2x+3y=0與C無(wú)公共點(diǎn),所以-ba≥-23,即ba≤23,所以e=ca=1+b26.C[解析]根據(jù)雙曲線的定義,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②得|BF1|-|AF1|=4a,則|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,所以|BF1|=6a.在△BF1F2中,因?yàn)椤螰1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,則b2=c2-a2=6,所以雙曲線的方程為x2-y26=1.7.B[解析]建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拱橋所在雙曲線的方程為y2a2-x2a2=1(a>0),則C(0,-a),因?yàn)閨AB|=30,|CD|=5,所以B(15,-a-5),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線方程,可得(-a-5)2a2-152a2=1,解得a=20,所以雙曲線的方程為y2202-x2202=1.當(dāng)水面下降5m時(shí),水面到達(dá)MN的位置,可得yN=-a-10=-30,8.AB[解析]設(shè)P(x,y),因?yàn)閨PM|-|PN|=6<|MN|,所以P點(diǎn)的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,所以2a=6,c=5,則b=c2-a2=4,所以P點(diǎn)的軌跡方程為x29-y216=1(x≥3),對(duì)應(yīng)的漸近線方程為y=±43x.因?yàn)橹本€y=x+1與P點(diǎn)的軌跡有1個(gè)交點(diǎn),直線y=2與P點(diǎn)的軌跡有1個(gè)交點(diǎn),直線y=43x與P點(diǎn)的軌跡沒(méi)有交點(diǎn),直線y=43x+1與P點(diǎn)的軌跡沒(méi)有交點(diǎn),9.ABD[解析]設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2t2-y2t2=1(t>0),由雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為22,可得t=2,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y22=1,故A選項(xiàng)正確.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由上知F(2,0),則直線l的方程為y=2(x-2),由x22-y22=1,y=2(x-2),消去y整理得3x2-16x+18=0,所以Δ=162-4×3×18=40>0,x1+x2=163,x1x2=6,所以|AB|=(1+22)×1632-4×6=1023,故B選項(xiàng)正確;由點(diǎn)B,A,F依次從左到右排列知x1>2,x2<-2,所以x2+22<1-22<2,故不存在直線l使得A為線段BF的中點(diǎn),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;設(shè)直線l的方程為x=my+2,由x22-y22=1,x=my+2,消去x整理得(m2-1)y2+4my+2=0,所以Δ1=16m2-8(m2-1)>0,y1+y2=-4mm2-1,y1y2=2m2-1,由題知,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x2,-y2),P(1,0),所以直線AP的斜率為y1x110.雙曲線[解析]因?yàn)?(x-3)2+(y+2)2=|2x+y-5|,所以(x-3)2+(y+2)2|2x+y-5|11.x215-y210=1[解析]設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減得y1-y2x1-x2=b2a2·x1+x212.293[解析]因?yàn)椤鰾F1F2的面積為△AF1F2面積的4倍,所以|BF1|=4|AF1|,設(shè)|AF1|=x,則|BF1|=4x,由雙曲線的定義可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF2|=2a+x,|BF2|=4x-2a.在△ABF2中,由勾股定理可得|AF2|2=|BF2|2+|AB|2,即(2a+x)2=(4x-2a)2+9x2,可得x=56a,所以|BF1|=103a,|BF2|=43a,所以在△BF1F2中,由勾股定理可得|F1F2|2=|BF2|2+|BF1|2,即4c2=169a2+1009a2,13.解:(1)因?yàn)殡p曲線C與雙曲線x2-y22=1有相同的漸近線,所以可設(shè)其方程為x2-y22=λ(λ≠0),將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入得λ=4,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M(3,3),所以x1+x2=6,y1+y2=6.由x124-y128=1,x224-y228=1,兩式相減得18(y即18×6×(y1-y2)=14×6×(x1-x2),則18(y1-y2)=14(x1-x2),所以y所以直線AB的方程為y-3=2(x-3),即2x-y-3=0.當(dāng)直線AB的方程為2x-y-3=0時(shí),由x24-y28=1,2x-y-3=0,消去y整理得2x2-12x+17=0,Δ=(-12)2-4×214.解:(1)因?yàn)?a=2,e=ca=2,所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=2-1=1,故所求雙曲線方程為x2-y2=1(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x2-y2=1,y=kx+1,消去y可得(1所以Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2>0,解得-2<k<2,x1+x2=2k1-k2,x1·所以y1·y2=(kx1+1)·(kx2+1)=k2x1·x2+k(x1+x2)+1=-2k21-k2+2k21-k2+1=1,所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=-21-k2+1=2,解得k=±315.BC[解析]由題知F(c,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線l:y=k(x-c),由x2a2-y2b2=1,y=k(x-c),消去y得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2(k2c2+b2)=0,則b2-a2k2≠0,Δ>0,x1+x2=-2a2k2cb2-a2k2,x1x2=-a2(k2c2+b2)b2-a2k2,則|AB|=1+k2-2a2k2cb2-a2k22-4-a2(k2c2+b2)b2-a2k2=2ab2(1+k2)|b2-a2k2|.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y016.解:(1)由已知得直線l的方程為y=kx+2.由y=kx+2,x24-y2=1,消去y得(1-4k要使直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),則方程(*)只有一個(gè)解.①當(dāng)1-4k2=0,即k=±12時(shí),滿足題意②當(dāng)1-4k2≠0,即k≠±12時(shí),Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±52.綜上所述,k=±12或(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題知直線l的方程為y-2=k(x-m),即y=kx+2-mk.由