中考各省壓軸之三角形的存在性問(wèn)題（10考點(diǎn)25題）（學(xué)生版）

中考各省壓軸之三角形的存在性問(wèn)題（10考點(diǎn)25題）

一．一次函數(shù)綜合題（共1小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+n圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A（m，4）．（1）求m，n的值；（2）設(shè)一次函數(shù)y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）直接寫出使函數(shù)y＝﹣x+n的值小于函數(shù)y＝2x的值的自變量x的取值范圍．（4）在x軸上是否存在點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）2．如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y2＝mx+b（m≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)C（2，n）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1＞y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．三．二次函數(shù)綜合題（共10小題）3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB＝4．拋物線的對(duì)稱軸x＝3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y＝kx﹣1交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E．（1）求直線AD及拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+PA的最小值．4．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖1，已知拋物線y＝ax2﹣4ax+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n．（1）填空：m＝，a＝，c＝；（2）在圖1中，若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時(shí)，求n的值；（3）如圖2，若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸l上，連接PQ、DQ，是否存在點(diǎn)P使△PDQ為等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A和B，與y軸交點(diǎn)為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點(diǎn)為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個(gè)“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)n的取值范圍．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn)M，使得△BCM是以CM為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PG⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形PEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AD、BD，點(diǎn)M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點(diǎn)N，是否存在這樣點(diǎn)M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于B（4，0），C（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣4）．直線BO與拋物線相交于另一點(diǎn)D，連接AB，AD，點(diǎn)E是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交AD于點(diǎn)F．（1）求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的表達(dá)式；（2）判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線BD上存在一點(diǎn)G，使得四邊形AFGE為矩形，請(qǐng)判斷此時(shí)AG與BD的數(shù)量關(guān)系，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn)，在（3）的條件下，點(diǎn)P是平面內(nèi)使得∠EPF＝90°的點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)Q，使得△HPQ是以∠PQH為直角的等腰直角三角形，若存在，直接寫出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1＝x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，﹣1）．（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)F（﹣6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1＝0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2＝0），令S＝S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．四．等腰三角形的判定（共1小題）13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆時(shí)針?lè)较颍?）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．①求證：△ABD∽△DCE；②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．（2）①如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E′，是否存在點(diǎn)D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)D的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；②如圖3，若點(diǎn)D在BC的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)D的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．五．三角形綜合題（共2小題）14．如圖1，B、D分別是x軸和y軸的正半軸上的點(diǎn)，AD∥x軸，AB∥y軸（AD＞AB），點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿C﹣D﹣A﹣B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)終止；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度，沿B﹣C﹣D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)終止．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PCQ的面積為S（cm2），S與t之間的函數(shù)關(guān)系由圖2中的曲線段OE，線段EF、FG表示．（1）求A、D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在這樣的時(shí)間t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖1，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為acm/s（當(dāng)P、Q兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，即停止）．連接PQ，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．設(shè)CQ＝y(tǒng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s），y與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，解答下列問(wèn)題：（1）a的值；當(dāng)t＝時(shí)，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP面積為S（單位：cm2），當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某一時(shí)刻使得△AQP為等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）如圖3，連接BQ、CP交于點(diǎn)E，求當(dāng)∠CPQ＝∠CBQ時(shí)，t的值．六．四邊形綜合題（共2小題）16．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）求證四邊形DGFC為菱形；（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．如圖1，在矩形ABCD中，BC＝3，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB′，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）若AB＝2．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC上時(shí)，顯然△PAB′是直角三角形，求此時(shí)t的值；②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線PB′與直線CD相交于點(diǎn)M，且當(dāng)t＜3時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論∠PAM＝45°成立，試探究：對(duì)于t＞3的任意時(shí)刻，結(jié)論“∠PAM＝45°”是否總是成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．七．切線的性質(zhì)（共1小題）18．已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為，過(guò)點(diǎn)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（﹣4，0）．（1）求切線BC的解析式；（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP＝120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．八．圓的綜合題（共1小題）19．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求⊙P的直徑長(zhǎng)；（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x﹣3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為圓心，2為半徑畫圓．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線l1與⊙Q相切；②設(shè)⊙Q與直線l1相交于M，N兩點(diǎn)，連接QM，QN．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．九．幾何變換綜合題（共2小題）20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：BD＝2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長(zhǎng)．②若AD＝6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由．21．如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．一十．相似形綜合題（共4小題）22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求線段CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，則說(shuō)明理由．（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，則說(shuō)明理由．23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PE＝y(tǒng)；（1）求y關(guān)于