高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷(人教A版2019必修第二冊)第七章復(fù)數(shù)(知識通關(guān)詳解)【單元測試卷】(原卷版+解析)

第七章復(fù)數(shù)（知識通關(guān)詳解）復(fù)數(shù)的定義：設(shè)為方程的根，稱為虛數(shù)單位，形如的數(shù)，稱為復(fù)數(shù).所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集,通常用來表示.a為實部，b為虛部2．復(fù)數(shù)集例1：1．（2020·全國·高考真題（理））復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部為（

）A． B． C． D．舉一反三1．（2020·江蘇·高考真題）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.2．已知（），則a+b的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．的虛部是_____．復(fù)數(shù)的幾何意義對任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個點相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）平面向量例2：1．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2020·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（

）．A． B． C． D．.2．（2019·全國·高考真題（理））設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限舉一反三1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．如圖所示，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．4．在復(fù)平面內(nèi)，若表示復(fù)數(shù)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．兩個復(fù)數(shù)相等的定義：且（其中）特別地，.例3：1．（2022·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．舉一反三1．若,其中是虛數(shù)單位,則的值分別等于（

）A． B． C． D．2．已知i為虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．23．（多選）已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知是方程的一個虛根，則實數(shù)的值為___________.復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)，（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；例4：設(shè)，，，若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）.A． B．0 C．1 D．1或舉一反三（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，則（

）A． B． C． D．（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；例5：（2022·山東聊城·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知、，且，（其中為虛數(shù)單位），則____________．舉一反三1．（多選）已知（

）A．虛部為1 B． C． D．2．______．（其中i是虛數(shù)單位）3．在平行四邊形ABCD中，若點A，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)，，則A，C兩點間的距離為______．（3）乘法：，特別；例6：1．（2022·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．舉一反三1．（2019·北京·高考真題（理））已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．5（4）除法（是均不為0的實數(shù)）的化簡就是通過分母實數(shù)化的方法將分母化為實數(shù)，即分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后再化簡：；（5）四則運算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。即對有:,,例7：（2021·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．舉一反三1．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．22．已知為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．已知是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，其中，則的值為（）A． B． C． D．6共軛復(fù)數(shù)若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；【注：兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]】若z=a+bi，則的共軛復(fù)數(shù)記作；為實數(shù)，為純虛數(shù)(b≠0).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：⑴;⑵；⑶;⑷;（5）；（6）若，則.例7：1．（2021·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．舉一反三1．（2020·全國·高考真題（文））若，則z=（

）A．1–i B．1+i C．–i D．i2．（2019·全國·高考真題（文））設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝1+i，則2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i7復(fù)數(shù)的摸若向量表示復(fù)數(shù)，則稱的模為復(fù)數(shù)的模，例8：1．（2022·全國·高考真題（文））若．則（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25舉一反三1．復(fù)數(shù)，則（）A．2 B．1 C．4 D．2．若，則（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．4．設(shè)，則=（）A．2 B． C． D．15．設(shè)，其中是虛數(shù)單位，則（）A． B．2 C．1 D．8.復(fù)數(shù)的三角形式1、復(fù)數(shù)的三角形式(1)復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)Z=a＋bi對應(yīng)向量，以x軸的正半軸為始邊，向量所在的射線(起點為O)為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)Z的輻角，記作ArgZ，其中適合0≤θ<2π的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argZ．說明：不等于零的復(fù)數(shù)Z的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差2π的整數(shù)倍．(2)復(fù)數(shù)的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)Z=a＋bi的三角形式，其中．說明：任何一個復(fù)數(shù)Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r為Z的模，θ為Z的一個輻角．2、復(fù)數(shù)的三角形式的運算：設(shè)Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．則例9：1．復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．舉一反三1．（）A． B． C． D．2．（）A．1 B．-1 C． D．3．（多選）已知為虛數(shù)單位，若，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754年）創(chuàng)立的棣莫佛定理.根據(jù)上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則4．（多選）歐拉公式（其中是虛數(shù)單位，）是由瑞典著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的天驕，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第一象限 B．復(fù)數(shù)的模長等于C．為純虛數(shù) D．5．把復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）改寫成三角形式為______．6．寫出一個的復(fù)數(shù)______．提升練習(xí)一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則（

）A． B． C．2 D．53．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（

）A． B． C． D．4．已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（

）A．4 B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．8．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．z對應(yīng)的點位于第二象限B．的虛部為2C．D．10．若復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（

）．A．B．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第四象限C．的實部為13D．的虛部為三、填空題11．已知，復(fù)數(shù)，若的虛部為1，則_________.12．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為______．13．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為______.14．歐拉是十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家，他巧妙地把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，得到公式，這個公式被譽為“數(shù)學(xué)的天橋”，根據(jù)該公式，可得_________．四、解答題15．已知a，bR，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)與=2+bi互為共軛復(fù)數(shù).(1)判斷復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第幾象限;(2)計算.16．已知復(fù)數(shù)（a，），存在實數(shù)t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．第七章復(fù)數(shù)（知識通關(guān)詳解）復(fù)數(shù)的定義：設(shè)為方程的根，稱為虛數(shù)單位，形如的數(shù)，稱為復(fù)數(shù).所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集,通常用來表示.a為實部，b為虛部2．復(fù)數(shù)集例1：1．（2020·全國·高考真題（理））復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z即可.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.【點晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡得到，從而得到z的實部.【詳解】，故z的實部為.故選：B.舉一反三1．（2020·江蘇·高考真題）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡即可求得實部的值.【詳解】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實部為3.故答案為：3.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2．已知（），則a+b的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)得到，從而求出的值，得到答案.【詳解】，故，所以，.故選：C3．的虛部是_____．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)為，所以其虛部是，故答案為：復(fù)數(shù)的幾何意義對任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個點相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）平面向量例2：1．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A.2．（2020·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．（2019·全國·高考真題（理））設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由得則對應(yīng)點（-3，-2）位于第三象限．故選C．【點睛】本題考點為共軛復(fù)數(shù)，為基礎(chǔ)題目．舉一反三1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案．C【分析】由題化簡可得：，即可可得.【詳解】由題得，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，故選：C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)和復(fù)平面上的點對應(yīng)關(guān)系，考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖所示，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．答案．A【分析】由圖形得復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用復(fù)數(shù)的運算法則求解.【詳解】由題意可得

，所以.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4．在復(fù)平面內(nèi)，若表示復(fù)數(shù)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為表示復(fù)數(shù)的點在第四象限，所以，解得.故選：A.【點睛】本題主要考查由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限求參數(shù)，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.兩個復(fù)數(shù)相等的定義：且（其中）特別地，.例3：1．（2022·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.舉一反三1．若,其中是虛數(shù)單位,則的值分別等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將等式合并計算結(jié)果,求出即可.【詳解】解:由題知,,.故選:C2．已知i為虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件求得，的值，從而求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，，∴，故選：B.3．（多選）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得解.【詳解】，，，，，故選：AD.4．已知是方程的一個虛根，則實數(shù)的值為___________.【答案】26【分析】根據(jù)方程虛根的定義，將代入方程，計算化簡即可求解.【詳解】由是方程的一個虛根，得，整理，得，則，解得.故答案為：26.復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)，（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；例4：設(shè)，，，若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）.A． B．0 C．1 D．1或答案．A【分析】利用復(fù)數(shù)的加法運算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，，則，若為純虛數(shù)，則，解得.故選：A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的加法運算、復(fù)數(shù)的概念，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；例5：（2022·山東聊城·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求得的方程，解出的值，即可得解.【詳解】設(shè)，則，因為，則，所以，，解得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知、，且，（其中為虛數(shù)單位），則____________．【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的減法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.舉一反三1．（多選）已知（

）A．虛部為1 B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)虛部的定義即可判斷A；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運算即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運算即可判斷D.【詳解】解：因為，所以虛部為，故A錯誤；，，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.2．______．（其中i是虛數(shù)單位）【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算，實部與實部相減，虛部與虛部相減.【詳解】故答案為：3．在平行四邊形ABCD中，若點A，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)，，則A，C兩點間的距離為______．【答案】5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求出向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求解．【詳解】依題意得對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以A，C兩點間的距離為．故答案為：5．（3）乘法：，特別；例6：1．（2022·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.舉一反三1．（2019·北京·高考真題（理））已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．5【答案】D【解析】【分析】題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則即得.【詳解】∵故選D.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..（4）除法（是均不為0的實數(shù)）的化簡就是通過分母實數(shù)化的方法將分母化為實數(shù)，即分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后再化簡：；（5）四則運算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。即對有:,,例7：（2021·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.舉一反三1．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D2．已知為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．答案．C【分析】對的分子分母同乘以，再化簡整理即可求解.【詳解】，故選：C3．已知是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，其中，則的值為（）A． B． C． D．答案．D【分析】先化簡，求出的值即得解.【詳解】，所以.故選：D6共軛復(fù)數(shù)若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；【注：兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]】若z=a+bi，則的共軛復(fù)數(shù)記作；為實數(shù)，為純虛數(shù)(b≠0).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：⑴;⑵；⑶;⑷;（5）；（6）若，則.例7：1．（2021·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，故，故故選：C.2．（2022·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選：C舉一反三1．（2020·全國·高考真題（文））若，則z=（

）A．1–i B．1+i C．–i D．i【答案】D【解析】【分析】先利用除法運算求得，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到即可.【詳解】因為，所以.故選：D【點晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，涉及到共軛復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.2．（2019·全國·高考真題（文））設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，寫出．【詳解】，所以，選D．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及共軛復(fù)數(shù)，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求．部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤．3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案．D【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，從而可得其共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得答案【詳解】解：因為，所以，所以對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝1+i，則2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i答案．A【分析】由z求得，再利用復(fù)數(shù)的乘方運算求解即可.【詳解】∵z＝1+i，∴＝（1﹣i）2＝﹣2i.故選：A.【點睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了復(fù)數(shù)出乘方運算，屬于基礎(chǔ)題.7復(fù)數(shù)的摸若向量表示復(fù)數(shù)，則稱的模為復(fù)數(shù)的模，例8：1．（2022·全國·高考真題（文））若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以，所以．故選：D.2．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．舉一反三1．復(fù)數(shù)，則（）A．2 B．1 C．4 D．答案．D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算即可得答案.【詳解】解：，則，故選：D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，模的計算，是基礎(chǔ)題.2．若，則（）A． B． C． D．答案．C【分析】先求出，即可求出.【詳解】，，.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.3．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．答案．A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算及模的運算可得，再結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】解：復(fù)數(shù)滿足，則，即復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算及模的運算，重點考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于容易題.4．設(shè)，則=（）A．2 B． C． D．1答案．D【分析】先化簡，即得解.【詳解】由題得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5．設(shè)，其中是虛數(shù)單位，則（）A． B．2 C．1 D．答案．C【分析】先根據(jù)完全平方公式和復(fù)數(shù)的運算計算出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的求法解出即可.【詳解】解：因為，所以.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.復(fù)數(shù)的三角形式1、復(fù)數(shù)的三角形式(1)復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)Z=a＋bi對應(yīng)向量，以x軸的正半軸為始邊，向量所在的射線(起點為O)為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)Z的輻角，記作ArgZ，其中適合0≤θ<2π的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argZ．說明：不等于零的復(fù)數(shù)Z的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差2π的整數(shù)倍．(2)復(fù)數(shù)的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)Z=a＋bi的三角形式，其中．說明：任何一個復(fù)數(shù)Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r為Z的模，θ為Z的一個輻角．2、復(fù)數(shù)的三角形式的運算：設(shè)Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．則例9：1．復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先設(shè)（且），代入，再根據(jù)其為純虛數(shù)求解.【詳解】設(shè)純虛數(shù)（且），則，又是純虛數(shù)，所以，解得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了算數(shù)的概念，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將2化為三角形式，再用除法法則計算即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將實數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細(xì)節(jié).3．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行整理化簡即可.【詳解】故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題.舉一反三1．（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，進(jìn)行計算即可.【詳解】故選：C.【點睛】本題考查三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題.2．（）A．1 B．-1 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行整理化簡即可.【詳解】故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題.3．（多選）已知為虛數(shù)單位，若，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754年）創(chuàng)立的棣莫佛定理.根據(jù)上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)題目中的已知條件，依次判斷各項正誤.【詳解】A.若，則，所以該選項正確；B.若，則，所以該選項錯誤；C.若，，則，所以該選項錯誤；D.，，則.所以該選項錯誤.故選：BCD.4．（多選）歐拉公式（其中是虛數(shù)單位，）是由瑞典著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的天驕，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第一象限 B．復(fù)數(shù)的模長等于C．為純虛數(shù) D．【答案】BD【分析】根據(jù)歐拉公式的定義，有、、、，結(jié)合對應(yīng)三角函數(shù)值及復(fù)數(shù)三角形式的除法運算即可知各選項的正誤.【詳解】A：，而，則、，故位于第二象限，錯誤；B：，則其模長為，正確；C：，則為實數(shù)，錯誤；D：，正確；故選：BD5．把復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）改寫成三角形式為______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示的定義求解即可.【詳解】由題可得，且在第三象限，所以輻角的主值為，所以，故答案為：.6．寫出一個的復(fù)數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式寫出一個滿足的復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，且，而，所以滿足要求.故答案為：（答案不唯一）提升練習(xí)一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)得到，利用復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.【詳解】由題意可知，所以.故選：C.2．設(shè)，則（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】將復(fù)數(shù)化簡后再求共軛復(fù)數(shù)的模長,【詳解】解：，，∴．故選：B．3．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和模的概念求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，其模為．故選：B．4．已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得復(fù)數(shù)，再進(jìn)行除法運算即可.【詳解】依題意，．故選：A.5．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】將代入方程，利用復(fù)數(shù)相等得到方程組解出，再利用模長公式求解即可.【詳解】由題意可得，即，所以，所以，解得，所以，故選：C6．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】解：因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為位于第三象限.故選：C7