高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專練01均值不等式應(yīng)用【原卷版+解析】

熱點題型速覽專練01均值不等式應(yīng)用熱點題型速覽熱點一熱點一直接應(yīng)用型1.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．2.設(shè)，，且，則的最大值為_______.熱點二熱點二拆、并配湊型3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為____________．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的最大值.熱點三熱點三常值（1的）代換型6．（湖北省圓夢杯2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)一模擬（二））若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．8.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍________．熱點四熱點四逐次放縮型9．（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月測評）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．20 B．40 C． D．10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．11.（2021年天津高考真題）若，則的最小值為____________．熱點五熱點五消元轉(zhuǎn)化型12．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知，且，則的最小值為__________.熱點六熱點六與三角交匯型13．【多選題】（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．的最大值為14．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為______．熱點七熱點七與平面向量交匯型15.（2023春·天津和平·高一耀華中學(xué)校考期中）如圖，在中，，過點M的直線交射線于點P，交于點Q，若，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．熱點八熱點八與解三角形交匯型16．（2023春·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知中角、、對邊分別為、、，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．以上都不對17．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？计谥校鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最大值是_____________．熱點九熱點九與解析幾何交匯型18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，，點在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．9 D．1219．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（

）A．8 B．9 C．16 D．1820．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）點為拋物線上的兩點，是拋物線的焦點，若中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．熱點十熱點十與立體幾何交匯型21．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．22．（2023春·陜西西安·高一長安一中校考期中）三棱錐中，平面，.若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．熱點十一熱點十一與函數(shù)交匯型23．【多選題】（云南省曲靖市2023屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）若實數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．24．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，若，，則的最大值為__________．熱點十二熱點十二與導(dǎo)數(shù)交匯型25.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線過點，則的最小值為__________.26．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則m+2n的取值范圍是______．熱點十三熱點十三與數(shù)列交匯型27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．28．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為__________．熱點十四熱點十四與概率統(tǒng)計交匯型29．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．26 B．30 C．32 D．3630．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知隨機變量，且，則的最小值為______．熱點十五熱點十五與復(fù)數(shù)交匯型31．（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知，，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，，，若，，三點共線，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．4熱點十六熱點十六實際應(yīng)用問題32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運動會，州民族體育場進(jìn)行了改造翻新，在改造州民族體育場時需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬元，設(shè)每年的管理費用為萬元與總座椅數(shù)千套，兩者滿足關(guān)系式：．15年的總維修費用為80萬元，記為15年的總費用．（總費用=建造成本費用+使用管理費用+總維修費用）．請問當(dāng)設(shè)置多少套座椅時，15年的總費用最小，并求出最小值．熱點題型速覽專練01均值不等式應(yīng)用熱點題型速覽熱點一熱點一直接應(yīng)用型1.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)不等式基本性質(zhì)得到；B選項，利用基本不等式求解；C選項，利用作差法比較大?。籇選項，可舉出反例.【詳解】A選項，因為，所以，不等式兩邊同時乘以，可得，故A正確；B選項，因為，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但，故等號取不到，，B正確；C選項，，因為，，故，故，C正確；D選項，不妨設(shè)，則故選：D2.設(shè)，，且，則的最大值為_______.【答案】【解析】，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，.故答案為：熱點二熱點二拆、并配湊型3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，再利用基本不等式計算可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D4．（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為____________．【答案】4【分析】將構(gòu)造變形為，然后利用基本不等式即可求解．【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為4，故答案為：4．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的最大值.【答案】【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，當(dāng)時，的最大值為熱點三熱點三常值（1的）代換型6．（湖北省圓夢杯2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)一模擬（二））若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為正數(shù)滿足，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，當(dāng)時，取得的最小值為.故選：A.7．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由已知可推得，然后根據(jù)“1”的代換，利用基本不等式，即可得出最小值.【詳解】由已知可得，，所以.又，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以，的最小值是.故選：C.8.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍________．【答案】【分析】由均值不等式“1”的代換求出，則，解不等式即可求出答案.【詳解】解析：由題，則，∴，解得:．故答案為：.熱點四熱點四逐次放縮型9．（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月測評）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．20 B．40 C． D．【答案】C【分析】由兩次應(yīng)用基本不等式即可求解.10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)基本不等式求出.然后即可根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，列出兩個等號同時成立的條件，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，兩個等號同時成立.所以，.故選：D.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故選：C.11.（2021年天津高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.熱點五熱點五消元轉(zhuǎn)化型12．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知，且，則的最小值為__________.【答案】【分析】先對已知式子變形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以的最小值為，故答案為：.熱點六熱點六與三角交匯型13．【多選題】（2023春·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用均值不等式結(jié)合配湊方法計算判斷ABC；利用三角代換，結(jié)合輔助角公式，三角函數(shù)性質(zhì)計算判斷D作答.【詳解】，且，對于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C錯誤；對于D，由得，令，則，其中銳角由確定，顯然，因此當(dāng)時，，D正確.故選：ABD14．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為．故答案為：熱點七熱點七與平面向量交匯型15.（2023春·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，過點M的直線交射線于點P，交于點Q，若，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)的向量的幾何意義，利用，，三點共線，得出，的關(guān)系，利用基本不等式求最小值．【詳解】解：因為，所以，又，，（，）所以，所以，因為，，三點共線，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；故選：C．熱點八熱點八與解三角形交匯型16．（2023春·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知中角、、對邊分別為、、，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】由余弦定理可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.故選：C.17．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？计谥校鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最大值是_____________．【答案】/【分析】根據(jù)正弦定理得，則，利用兩角和與差的正切公式和基本不等式即可得到答案.【詳解】由已知及正弦定理，得，整理得，易知，則，且，于是當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：.熱點九熱點九與解析幾何交匯型18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，，點在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】由題意得，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.故選：C.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】C【分析】利用橢圓的定義和基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故選:C.20．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）點為拋物線上的兩點，是拋物線的焦點，若中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由題意得與，的關(guān)系，在三角形中由余弦定理得與的關(guān)系，求出比值，由基本不等式求出最值即可.【詳解】設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，取最大值1，則的最小值為1.故選：B.熱點十熱點十與立體幾何交匯型21．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)底面圓半徑為，則圓柱的高為，圓柱側(cè)面積為，利用均值等式計算得到答案.【詳解】設(shè)底面圓半徑為，則圓柱的高為，圓柱側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：B.22．（2023春·陜西西安·高一長安一中校考期中）三棱錐中，平面，.若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，其中，利用勾股定理可求得，并求出的面積，利用錐體的體積公式以及基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，其中，如下圖所示：因為平面，平面，所以，，因為，所以，，又因為，所以，，由可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，該三棱錐體積取最大值為.故選：D.熱點十一熱點十一與函數(shù)交匯型23．【多選題】（云南省曲靖市2023屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）若實數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．【答案】ABD【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由，可得，所以且，故A正確；由，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為9，故C錯誤；因為，則，所以，故D正確.故選：ABD.24．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，若，，則的最大值為__________．【答案】3【分析】由已知可解得，.根據(jù)換底公式可得，.根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因為，所以，.又，，所以，.因為，，根據(jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以.則，所以的最大值為.故答案為：.熱點十二熱點十二與導(dǎo)數(shù)交匯型25.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線過點，則的最小值為__________.【答案】12【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在點處的切線方程，可推出，將化為，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由函數(shù)可得，則，故函數(shù)在點處的切線方程為，即，則由題意可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，即的最小值為12，故答案為：1226．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則m+2n的取值范圍是______．【答案】【分析】求導(dǎo)判定的單調(diào)性得，再用對勾函數(shù)的單調(diào)性求m+2n的范圍即可.【詳解】由題意得，設(shè)，令得，，令得，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在定義域上單調(diào)遞增.所以，設(shè)，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故.故答案為：.熱點十三熱點十三與數(shù)列交匯型27．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而由基本不等式即可求解最值.【詳解】由等比數(shù)列中，設(shè)公比為，且，由得，故，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為，故選：B28．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為__________．【答案】6【分析】由累加法求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】由得，當(dāng)時，，，…，，將這個式子累加得，則，時也適合，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：6.熱點十四熱點十四與概率統(tǒng)計交匯型29．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．26 B．30 C．32 D．36【答案】C【分析】由題意設(shè)甲、乙在某一輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的概率為p，求出p的表達(dá)式，分析的表達(dá)式和范圍，令，利用換元法和基本不等式計算可得p的最大值，由二項分布，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計算即