04中考數(shù)學(xué)幾何輔助線- 中位線

加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！中考幾何輔助線）【案例賞析】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是重心，BC＝10，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，AD⊥BE．若BE＝2OD＝6，AO＝6，則AC的值為（ ）A．8 B．4C．12 D．14ABCDCDAD，BC＝2，則MN的長(zhǎng)不可能是（ ）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！ABCD中，AB＝CD，EFBCADEF并延長(zhǎng)，分別與ADMNME＝E不需證明．（1BDBDHHE、HF，根據(jù)三角形中位線HEHF＝2ME∠E）ADBCCDFBC、ADEFDCABMN，判斷△OMN3，在△ABC中，AC＞AB，DAC上，AB＝CD，E、FBC、ADEFBAEFC＝60的形狀并證明．【專項(xiàng)突破】如圖，已知△ABC中，AB＝AC，CEABABDBD＝AB，求證：CD＝2CE．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，ACBDO，∠AOB＝60°，P、Q、R分別是OA、BC、OD的中點(diǎn)．求證：△PQR是正三角形．ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，MCD中點(diǎn)，試判斷BM，EM的大小關(guān)系并說明理由．ABCDECD∠BAC＝∠EAD．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！已知：△ABD和△ACEABD＝∠ACE＝90DE，MDE的中點(diǎn)．說明：MB＝MC；Rt△ACEA在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問：MB＝MC是否還能成立？并證明其結(jié)論．探究問題1已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE＝kDF，則k的值為 拓展22ABC中，CB＝CADABM在三角形ABCME，F(xiàn)DE，DF．求證：DE＝DF．推廣問題3如圖32B＝”變?yōu)椤癇≠ADEDF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！ABCDFGHABBCCDDAEFGHEFGH有何關(guān)系？如圖，D是△ABCAB邊的中點(diǎn)，△BCE和△ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn)．求證：△DMN是等邊三角形；EF，QEF中點(diǎn)，CP⊥EFP．求證：DP＝DQ．同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將△NCMACBDABOBOC的中EF．若∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，CD＝連接AEMAE的中點(diǎn)．1DBCCMAB＝4CM的長(zhǎng)；2D在△ABCBDNBDMN，NE，求證：MN⊥AE；32中的△CDEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD＝30BDN是BD中點(diǎn)，連接MN，探索 的值并直接寫出結(jié)果．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！參考答案與試題解析一．選擇題（共2小題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是重心，BC＝10，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，AD⊥BE．若BE＝2OD＝6，AO＝6，則AC的值為（ ）A．8 B．4C．12 D．14【解答】解：∵O是△ABC的重心，∴OE＝＝＝2∵AD⊥BE，，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AE＝2×2故選：B．ABCDCDAD，BC＝2，則MN的長(zhǎng)不可能是（ ）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【解答】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接MG、NG，∵點(diǎn)M，N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴MG是△ABD的中位線，NG是△BCD的中位線，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴AB＝2MG，DC＝2NG，BDC2GG，由三角形的三邊關(guān)系，MG+NG＞MN，∴AB+DC＞2MN，N＜（+D，∴MN＜3；故選：A．二．解答題（共11小題）ABCD中，AB＝CD，EFBCADEF并延長(zhǎng)，分別與ADMNME＝E不需證明．（1BDBDHHE、HF，根據(jù)三角形中位線HEHF＝2ME∠E）ADBCCDFBC、ADEFDCABMN，判斷△OMN3，在△ABC中，AC＞AB，DAC上，AB＝CD，E、FBC、ADEFBAEFC＝60的形狀并證明．【解答】ACPPF，PE，可知PE＝，PE∥AB，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴∠PEF＝∠ANF，同理PF＝，PF∥CD，∴∠PFE＝∠CME，又∵PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴△OMN為等腰三角形．問題二，結(jié)論：△AGD是直角三角形．證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，∵F是AD的中點(diǎn)，∴HF∥AB，HF＝AB，同理，HE∥CD，HE＝CD，∵AB＝CD∴HF＝HE，∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°，∴∠HEF＝∠HFE＝60°，∴△EHF是等邊三角形，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等邊三角形．∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°∴∠AGD＝90°即△AGD是直角三角形．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！如圖，已知△ABC中，AB＝AC，CEABABDBD＝AB，求證：CD＝2CE．【解答】證明：取AC的中點(diǎn)F，連接BF，∵AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴AE＝AF，在△ABF和△ACE中，△F△E（S，∴BF＝CE，∵BD＝AB，AF＝CF，∴DC＝2BF，∴DC＝2CEABCD中，AB∥CD，AD＝BC，ACBDO，∠AOB＝加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！60°，P、Q、R分別是OA、BC、OD的中點(diǎn)．求證：△PQR是正三角形．【解答】證明：連結(jié)CR，BP．∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AC與BD相交于O，∴可得出：△CAB≌△DBA，∴∠CAB＝∠DBA，同理可得出：∠ACD＝∠BDC，∴AO＝BO，CO＝DO．∵∠ACD＝60°，∴△OCD與△OAB均為等邊三角形．∵R是OD的中點(diǎn)，∴CR⊥DO．在Rt△BRC中，Q為BC中點(diǎn)，RQ是斜邊BC的中線，∴RQ＝BC．在Rt△BPC中，PQ＝BC．又∵RP是△OAD的中位線，AD＝BC．∴RP＝PQ＝SQ．∴△PQR為等邊三角形．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，MCD中點(diǎn)，試判斷BM，EM的大小關(guān)系并說明理由．【解答】解：BM＝EM．理由如下：分別取AC、AD的中點(diǎn)F、G，連接BF、FM、GM、GE，∵∠ABC＝∠AED＝90°，AC，EG＝GA＝AD，∴∠BAF＝∠ABF，∠GAE＝∠GEA，∴∠BFC＝2∠BAC，∠EGD＝2∠EAD，而∠BAC＝∠EAD，∴∠BFC＝∠EGD，又∵M(jìn)是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∴FM、GM是△CAD的中位線，∴FM＝AD，F(xiàn)M∥AD，GM＝AC，GM∥AC，∴∠CFM＝∠CAD，∠DGM＝∠DAC，F(xiàn)M＝EG，GM＝BF，∴∠BFC+∠CFM＝∠EGD+∠DGM，即∠BFM＝∠EGM，在△BFM和△EGM中，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴△BFM≌△EGM，∴BM＝EM．ABCDECD∠BAC＝∠EAD．【解答】解：分別取AC、AD的中點(diǎn)F、G，再連接BF、MF、MG、EG，∵F是AC中點(diǎn)，∠ABC＝90°，AC，又∵M(jìn)G是△ACD的中位線，∴MG＝AC，∴BF＝MG，又∵BM＝EM，∴△BFM≌△MGE，∴∠BFM＝∠MGE，∵∠CFM＝∠CAD＝∠DGM，∴∠BFC＝∠EGD，∴∠BAF+∠ABF＝∠GAE+∠AEG，∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，同理∠GAE＝∠AEG，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴2∠BAF＝2∠EAG，即∠BAC＝∠EAD．已知：△ABD和△ACEABD＝∠ACE＝90DE，MDE的中點(diǎn)．說明：MB＝MC；Rt△ACEA在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問：MB＝MC是否還能成立？并證明其結(jié)論．（1作點(diǎn)M作P⊥B，∵∠ABD＝∠ACE＝90°．∴MP∥CE∥BD．∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴CP＝BP，∴MP是BC的中垂線，∴△BCM是等腰三角形，∴MB＝MC；（2）MB＝MC成立．ADAEFGBFMFMGCGMGMF都是△ADE的中位線，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴四邊形是平行四邊形，MG＝AD，MF＝AE，∴∠MFA＝∠AGM，又∵∠DBA＝∠ACE＝90°，∴Rt△斜邊中線BF＝AD＝MG，CG＝AE＝MF，∵∠DAB＝∠CAE，∴∠BDA＝∠CEA，∴∠BFA＝2∠BDA＝2∠CEA＝∠CGA，∴∠BFM＝∠BFA﹣∠MFA＝∠CGA﹣∠AGM＝∠MGC，∴△BFM≌△MGC，∴MB＝MC．探究11ABCDAB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足E，F(xiàn)，AE，BFMDE，DFDE＝kDFk的值為1．拓展22ABC中，CB＝CADABM在三角形ABCME，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！F，連接DE，DF．求證：DE＝DF．推廣問題3如圖32B＝”變?yōu)椤癇≠ADEDF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．1）EC，F(xiàn)C∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中點(diǎn)∴DE和DF分別為Rt△AEB和Rt△AFB的斜邊中線∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）∴DE＝DF∵DE＝kDF∴k＝1；∵CB＝CA∴∠CBA＝∠CAB∵∠MAC＝∠MBE∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC即∠ABM＝∠BAM∴AM＝BM∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB＝∠MFA＝90又∵∠MBE＝∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE＝AF∵D是AB的中點(diǎn)，即BD＝AD加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！又∵∠DBE＝∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE＝DF；DE＝DF如圖1，作AM的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H，∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)∴DG∥BM，DG＝BM同理可得：DH∥AM，DH＝AM∵M(jìn)E⊥BC于E，H是BM的中點(diǎn)∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH∴∠HBE＝∠HEB∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC又∵DG＝BM，HE＝BM∴DG＝HE同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC∵DG∥BM，DH∥GM∴四邊形DHMG是平行四邊形∴∠DGM＝∠DHM∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC又∵∠MBC＝∠MAC∴∠MGF＝∠MHE∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴∠DGF＝∠DHE在△DHE與△FGD中，△DH△GD（SS，∴DE＝DF．ABCDFGHABBCCDDAEFGHEFGH有何關(guān)系？【解答】解：①連接AC，BD，∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．②AC⊥BDEFGH是矩形．∵由①M(fèi)ONH是平行四邊形，AC⊥BDMONH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！如圖，D是△ABCAB邊的中點(diǎn)，△BCE和△ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn)．求證：△DMN是等邊三角形；EF，QEF中點(diǎn)，CP⊥EFP．求證：DP＝DQ．同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將△NCM（1取C的中點(diǎn)G，連接G、DG，∵D為AB的中點(diǎn)，即DG為△ABC的中位線，∴DG＝BC，DG∥BC，∵N為FC的中點(diǎn)，即NG為△AFC的中位線，∴NG∥AF，又△ACF為等邊三角形，∴∠CNG＝∠F＝∠CGN＝∠CAF＝60°，∴△NGC是等邊三角形，∴NG＝NC，∵M(jìn)為等邊三角形BEC邊EC的中點(diǎn)，∴DG＝CM＝EC＝BC，∵∠DGC+∠GCB＝180°，加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！∴∠NGD+∠GCB＝240°，∵∠GCB+∠NCM＝240°，∴∠NGD＝∠NCM，在△NGD和△NCM中，，△GD△MSS，∴ND＝NM，∠GND＝∠CNM，∴∠GNC＝∠GND+∠CND＝∠MNC+∠CND＝60°，∴∠DNM＝60°，∴△DMN是等邊三角形；（2）連接QN、PM，∵QN為△FCE的中位線，PM為直角三角形PCE斜邊上的中線，∴QN＝CE＝PM，∵Rt△CPE中，PM＝EM，∴∠MEP＝∠MPE，∵M(jìn)N∥EF，∴∠MPE＝∠PMN，∠FQN＝∠QNM，∵NQ∥CE，∴∠FQN＝∠MEP，∴∠PMN＝∠QNM，又∠NMD＝∠MND＝60°，∴∠PMN+∠NMD＝∠QNM+∠MND，即∠QND＝∠PMD，在△QND和△PMD中，，△QD△MDSS，∴DQ＝DP．加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！ACBDABOBOC的中EF．若∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC．【解答】證明：如圖所示，∵∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF，∴2OE＝2OF，又∵E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，∴OB＝2OE，OC＝2OF，∴OB＝OC，又∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝DC．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，CD＝連接AEMAE的中點(diǎn)．1DBCCMAB＝4CM的長(zhǎng)；2D在△ABCBDNBDMN，NE，求證：MN⊥AE；32中的△CDEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD＝30BDN加入初中數(shù)學(xué)資料共享群（QQ群號(hào)：756917376），即可下載試卷、教案、課件、專項(xiàng)訓(xùn)練、題型歸納、解題方法等教學(xué)實(shí)用性資料！是BD中點(diǎn)，連接MN，探