初中數(shù)學(xué)《三角形中的經(jīng)典模型》九大題型含解析

三角形中的經(jīng)典模型【【【【【【【【【123456789A字模型18字模型3飛鏢模型6雙垂直模型9老鷹抓小雞模型15兩內(nèi)角角平分線模型19兩外角角平分線模型21一內(nèi)一外角角平分線模型26三角形折疊模型29知識點(diǎn)1A字模型已知△ABC，AB至D，AC至E，∠1+∠2=∠A+180°【1A字模型1.(23-24八+∠CED=(·全·專)．)如△ABC中∠A=65°，交AB于D，AC于E，∠A.180°B.215°C.235°245°D根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠+∠AED解：∵∠A=65°，∴∠+∠AED=180°-65°=115°，·1·∴∠+∠CED=360°-115°=245°，故選：D．180°是解題的關(guān)鍵．2.(23-24八年級·全國·專題練習(xí))如圖是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°么∠3-∠2的度數(shù)為．60°∠4∵∠1+∠4=180°∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3-∠2=∠4=60°，故答案為：60°．3.(23-24八年級·河北滄州·期中)琪琪在操作課上將三角形剪掉一個(gè)角后得到四邊形ABCD的是()A.變成四邊形后對角線增加了兩條C.外角和沒有發(fā)生變化B.變成四邊形后內(nèi)角和增加了360°若剪掉的角的度數(shù)是60°∠1+∠2=240°BAB180°360°180°C360°D60°∠A+∠B=120°∠1+∠2=360°-120°=240°故選：B．4.(23-24·浙江杭州·二模)將一把直尺與一塊三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的方式放置，若∠1=130°∠2的度數(shù)為．·2·40°/40度性質(zhì)可得∠FGH=∠1=130°由題意得：AD∥BC，∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△的一個(gè)外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°-90°=40°，故答案為：40°．知識點(diǎn)28字模型①已知ADBC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D12②已知線段AP平分∠BADCP平分∠BCD∠P=(∠B+∠D)285.(23-24八年級·浙江金華·期末)如圖，BP平分∠ABC于點(diǎn)FDP平分∠ADC交AB于點(diǎn)EAB與相交于點(diǎn)G∠A=42°．·3·(1)若∠ADC=60°∠AEP的度數(shù)；(2)若∠C=38°∠P的度數(shù)．(1)72°(2)40°．12(1)根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠ADC(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA∠A+∠ADP=∠P+∠ABP∠C+∠CBP=∠P+∠PDF∠A+∠C=2∠P(1)∵DP平分∠ADC，12∴∠ADP=∠PDF=∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABCDP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°∠C=38°，12∴∠P=(38°+42°)=40°．8等式是解題的關(guān)鍵．6.(23-24八年級·河南漯河·期末)如圖，AB和相交于點(diǎn)O∠A=∠C是()A.∠B=∠DDB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠D∠C=∠D∵∠A+∠+∠D=180°∠C+∠COB+∠B=180°∠A=∠C∠=∠BOC，·4·∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故選項(xiàng)ABC正確，故選D．7.(23-24八年級·北京懷柔·期末)AB,,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為()．A.262°B.152°C.208°236°C∠1,∠2,∠3∠1=∠B+∠F=∠D+∠3∠2=∠A+∠C利用∠2,∠3∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故選C．義是解答此題的關(guān)鍵．8.(23-24八年級·全國·專題練習(xí))∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個(gè)角的和．360°∠G+∠D=∠3∠F+∠C=∠4∠E+∠H=∠2·5·內(nèi)角和定理可得答案．∵∠G+∠D=∠3∠F+∠C=∠4∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．的和．知識點(diǎn)3①已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D12②已知四邊形ABCDBO平分∠ABC平分∠ADC∠O=(∠A+∠C)39.(23-24·河北秦皇島·一模)如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD(點(diǎn)C在直線BD的上方)∠A=70°，∠=120°∠ABC∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°∠A∠(填)°．·6·增大10∠ABE+∠=30°∠ABC+∠ADC=60°AEAC并延長，∠BED=∠+∠=∠ABE+∠+∠=100°，∵∠=70°，∴∠ABE+∠=30°，∵BE分別是∠ABC∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2(∠ABE+∠)=60°，同上可得，∠=∠+∠ABC+∠ADC=130°130°-120°=10°，∴∠增大了10°．10．結(jié)論是解題的關(guān)鍵．10.(23-24八年級·江蘇蘇州·階段練習(xí))∠A=52°∠B=25°∠C=30°∠D=35°∠E=72°∠F=°．70BECFGAG360°即可求解．BECFGAG∴∠AGB=180°-∠B-∠∠AGC=180°-∠C-∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠=253°，·7·∴∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC=107°．∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案為：70．11.(23-24八年級·全國·專題練習(xí))∠EOC=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．230°∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B∵∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．質(zhì)．12.(23-24·河北邯鄲·一模)(如圖)∠A∠B∠∠D)(填增大5BDBD，∵∠+∠CBD=180°-∠A-∠ABC-∠ADC·8·∠+∠CBD=180°-∠∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠∵∠A=90°∠ABC=25°∠=145°∴∠ADC=145°-25°-90°=30°∴30°-25°=5°5本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)4已知∠B=∠D=∠ACE=90°.則∠=∠DCE∠ACB=∠CED.∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠+∠ACB=90°∠+∠ACB=90°∴∠=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE=90°∠CED+∠DCE=90°∴∠ACB=∠CED.413.(23-24八年級·廣東珠海·期末)如圖1AB⊥BC于點(diǎn)B⊥BC于點(diǎn)CE在線段BCAE⊥．(1)求證：∠EAB=∠CED；(2)如圖2AFDF分別平分∠和∠∠F的度數(shù)是(直接寫出答案即可)；(3)如圖3EH平分∠CEDEH的反向延長線交∠的平分線AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．(內(nèi)角和等于180°)(1)見解析；(2)45°(3)見解析(1)利用同角的余角相等即可證明；121212(2)過點(diǎn)F作FM∥AB∠=∠DFM+∠AFM=∠+∠EAB=(∠+∠EAB)即可解決問題；(3)想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問題.(1)∵AB⊥BC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴∠+∠AEB=90°，∵AE⊥，·9·∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∴∠=∠CED．(2)45°；過點(diǎn)F作FM∥AB∵AB⊥BC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∵∠C=90°，∴∠CED+∠=90°，∵∠=∠CED，∴∠+∠=90°，∵AFDF分別平分∠和∠，1212∴∠=∠∠=∠，12∴∠+∠=(∠+∠)=45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠=∠DFM∠=∠AFM，∴∠AFD=∠+∠=45°．(3)∵EH平分∠CED，1∴∠CEH=∠CED，21∴∠BEG=∠CED，2∵AF平分∠，12∴∠=∠，∵∠=∠CED，∴∠=∠BEG，∵∠+∠BEA=90°，∴∠+∠GAE+∠AEB=90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG=90°，∴∠AGE=90°，∴EG⊥AF．14.(23-24八年級·陜西西安·期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°D為BC的中點(diǎn)，⊥AB足為EB作BF∥AC交的延長線于點(diǎn)FCF．·10·(1)求證：AD⊥CF．(2)連接AF△ACF(1)見解析(2)△ACF(1)欲求證AD⊥CF∠CAG+∠ACG=90°∠CAG=∠BCF(2)要判斷△ACF(1)CF=AF(1)△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠=∠CAB=45°，∵⊥AB，∴∠=90°，∴∠=45°，∵BF∥AC，∴∠CBF=180°-∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠，∴BF=，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴=，即BF=CD，BF=在△CBF和△中，∠CBF=∠=90°，CB=AC∴△CBF≌△()．∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．(2)解：△ACF連接AF由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△BE是∠的平分線，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，·11·∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．15.(23-24八年級·山西晉中·期中)請把下面的證明過程補(bǔ)充完整△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分線，是高，AE相交于點(diǎn)F：CF=CE．證明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠(①)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠=90°(②)，∵是△ABC的高(已知)，∴∠=90°(三角形高的定義)，∴()(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)，③∴∠=∠AFD(∵∠CFE=∠AFD(∴∠CFE=∠CEF(④⑤⑥)，)，)，∴CF=CE(⑦)．∠+∠AFD=90°是解題的關(guān)鍵．∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠(角平分線的定義)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠=90°(直角三角形的兩銳角互余)，∵是△ABC的高(已知)，∴∠=90°(三角形高的定義)，∴∠+∠AFD=90°(直角三角形的兩銳角互余)，∴∠=∠AFD(等角的余角相等)，∵∠CFE=∠AFD(對頂角相等)，∴∠CFE=∠CEF(等量代換)，∴CF=CE(等角對等邊)．∠+∠AFD=90°·12·16.(23-24八年級·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí))在Rt△ABC中，∠CAB=90°AB=ACO是BCP是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)COB重合)C作CE⊥AP于點(diǎn)EB作BF⊥AP于點(diǎn)F接EO．(問題探究)如圖1P點(diǎn)在線段COEO交BF于點(diǎn)G．(1)求證：△AEC≌△；(2)BG與AF的數(shù)量關(guān)系為：(拓展延伸)()；(3)①如圖2P點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)，EO的延長線與BF的延長線交于點(diǎn)G∠的大小是否變化？若不∠②當(dāng)P點(diǎn)在射線OBAE=2CE=6△(1)見解析；(2)BG=AF(3)①∠的大小不變，∠=45°△的面積為8或16(1)根據(jù)等角的余角相等得出∠CAE=∠ABF△AEC≌△AAS；(2)證明△COE≌△BOGAAS得出CE=BGCE=AFAF=BG；(3)①證明△AEC≌△AAS∠CEO=∠BGO證明△COE≌△BOGAAS得出∠=12∠=45°；(1)1中，∵CE⊥AEBF⊥AE，∴∠AEC=∠=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠=90°∠+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，∠AEC=∠在△AEC和△中，∠CAE=∠ABF，AC=∴△AEC≌△AAS；(2)BG=AF．理由：∵CE⊥AEBF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點(diǎn)，∴OC=OB，∠CEO=∠BGO在△COE和△BOG中，∠AOE=∠BOG，OC=OB·13·∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BG，∵△AEC≌△，∴CE=AF，∴AF=BG．故答案為：BG=AF．(3)2∠的大小不變，∠=45°．理由：∵CE⊥AEBF⊥AE，∴∠AEC=∠=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠=90°∠+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，∠AEC=∠在△AEC和△中，∠CAE=∠ABF，AC=∴△AEC≌△AAS；∴CE=AFAE=BF，∵CE⊥AEBF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點(diǎn)，∴OC=OB，∠CEO=∠BGOOC=OB在△COE和△BOG中，∠AOE=∠BOG，∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BGOE=OG，∴AF=BG，∴=FG，根據(jù)△≌△GFOSSS可得：∠=∠GFO12∴∠=∠=45°；②如圖2AE=2CE=6時(shí)，=FG=6-2=4，121212∴S=S=××4×4=4如圖3AE=2CE=6時(shí)，=FG=6+2=8，121212∴S=S=××8×8=16△的面積為8或16．·14·知識點(diǎn)5如圖，∠A+∠O=∠1+∠2517.(23-24八年級·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí))△ABC沿∠A=60°∠1=95°∠2的度數(shù)為()A.24°B.35°C.30°25°D∠+∠AFE=120°∠FEB+∠=360°-120°=240°∠B′+∠EFC′=∠FEB+∠=240°∠1+∠2的度∠2的度數(shù)．∵∠A=60°，∴∠+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠=360°-120°=240°，∵由折疊可得：∠B′+∠EFC′=∠FEB+∠=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故選D．18.(23-24八年級·重慶渝北·階段練習(xí))△ABC沿著B點(diǎn)與B∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為．·15·40°/40度∠B=∠∠BED=∠ED∠=∠∠BED+∠ED+∠1=180°∠+∠+∠2=180°∠1+∠2=80°∠BED+∠=140°∠B=180°-∠BED+∠∠B=∠∠BED=∠ED∠=∠，∵∠BED+∠ED+∠1=180°∠+∠+∠2=180°∠1+∠2=80°，∴∠BED+∠=140°，∴∠B=180°-∠BED+∠=40°，故答案為：40°．19.(23-24八年級·安徽銅陵·期中)△ABC紙片沿A落在點(diǎn)A′A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB∠1+∠2=120°∠′C的度數(shù)為()A.120°B.110°C.100°90°A∠∠CED是△的兩個(gè)外角知∠=∠A+∠AED∠CED=∠A+∠∠+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠∠1+∠2=2∠A得到∠A=60°'平分1212∠ABCCA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=(∠ABC+∠ACB)=90°-∠A．利用∠'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．解：∵∠∠CED是△的兩個(gè)外角，∴∠=∠A+∠AED∠CED=∠A+∠，∴∠+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠，∴∠1+∠+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠，即∠1+∠2=2∠A，∵∠1+∠2=120°，∴∠A=60°，∵'平分∠ABCCA'平分∠ACB，12∴∠A'BC+∠A'CB=(∠ABC+∠ACB)·16·12=(180°-∠A)12=90°-∠A．∴∠'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)，12=180°-90°-∠A1=90°+∠A212=90°+×60°=120°．故選：A．20.(23-24八年級·山東煙臺·期中)中可以得到新的解讀．已知在△ABC∠1+∠2(或∠1-∠2)與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)∠A=80°截去∠A∠1+∠2=．(2)∠A=80°將∠AA落在BC上的點(diǎn)A'∠1+∠2=．(3)A落在點(diǎn)A'處∠1+∠2=80°∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿A落在點(diǎn)A'∠1=80°∠2=24°∠A的度數(shù)．(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C=180°-80°=100°(2)利用翻折的性質(zhì)得出∠'=∠∠AED=∠',根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠+∠AED=100°(3)連接AA．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠'+∠'A∠2=∠EAA'+∠EA'A之間的數(shù)量關(guān)系得出∠EAD=40°(4)設(shè)AB與交于點(diǎn)F∠1=∠+∠A∠=∠+∠2出∠A=∠·17·(1)解：∵∠A=80°，∴∠+∠AED=180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠-∠AED=260°，故答案為：260°；(2)∵∠A=80°，∴∠+∠AED=180°-80°=100°，∵翻折，∴∠'=∠∠AED=∠',∴∠'+∠AEA'=2(∠+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠'+∠AEA')=160°，故答案為：160°；(3)AA．如圖所示：∵∠1=∠'+∠'A∠2=∠EAA'+∠EA'A，∴∠1+∠2=∠'+∠'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D，∵∠EAD=∠EAD，∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．(4)AB與交于點(diǎn)F，∵∠1=∠+∠A∠=∠+∠2，由折疊可得，∠A=∠，∴∠1=∠A+∠+∠2=2∠A+∠2，又∵∠1=80°∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．是解題關(guān)鍵．知識點(diǎn)6·18·12在△ABC中，BICI分別是∠ABC和∠ACBI.則∠I=90°+∠A621.(23-24八年級·河南信陽·開學(xué)考試)如圖，ADCE都是△ABCO∠C=30°，∠ECA=35°∠ABO的度數(shù)為．25°/25度∠ABO的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得出∠=60°∠ACB=70°∠ABC=50°BO平分∠ABC∠ABO得解．∵AD平分∠CE平分∠ACB∠C=30°∠ECA=35°，∴∠=2∠=60°∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°-∠-∠ACB=50°．∵△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn)，∴BO平分∠ABC，12∴∠ABO=∠ABC=25°．故答案為：25°．22.(23-24八年級·全國·課后作業(yè))△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BECF相交于點(diǎn)G∠A=66°∠BGC的度數(shù)為．123°/123度1212的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．由角平分線的性質(zhì)可知∠GBC=∠ABC∠GCB=∠ACB形內(nèi)角和定理可知∠BGC=180°-∠GBC+∠GCB∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=114°，∵BE和CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，·19·1212∴∠GBC=∠ABC∠GCB=∠ACB，12∴∠BGC=180°-∠GBC+∠GCB=180°-∠ABC+∠ACB=123°，故答案為：123°．23.(23-24八年級·河南信陽·開學(xué)考試)△ABC中，AD是BC邊上的高，AEBF分別是∠和∠ABCO∠AOB=125°．求∠CAD的度數(shù)．∠CAD=20°．∠C=70°∠AOB=125°∠CAB+∠=110°∠C答案．∵AEBF分別是∠和∠ABC的角平分線，1212∴∠OAB=∠∠=∠ABC．∴∠CAB+∠=2(∠OAB+∠)=2180°-∠AOB∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠=110°，∴∠C=70°．∵AD是BC邊上的高∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．24.(23-24八年級·山東煙臺·期末)△ABC中，∠A=90°BE分別平分∠ABC和∠ACB12于FEG∥BCCG⊥EG于點(diǎn)G∠CEG=2∠DCA∠DFE=130°∠=∠G：④∠ADC=∠GCD△EGC()A.①③④⑤DB.①②③④C.①②③①③④定義是解題的關(guān)鍵．∠ADC+∠=90°∠+∠=·20·90°∠BFC=135°件無法推出⑤．∵平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA∠=∠∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA∵∠A=90°CG⊥EGEG∥BC，∴∠ADC+∠=90°CG⊥BC∠BCG=90°，∴∠+∠=90°，又∵∠=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE分別平分∠ABC∠ACB，1212∴∠FBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB，12∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-(∠ACB+∠ABC)=135°，∴∠=180°-∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，12∴∠=∠G∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，CG=CE△EGC∴正確的有①③④，故選：D．知識點(diǎn)712在△ABC中，BICI分別是△ABCO.則∠O=90°-∠A.1212∵BO是∠EBC平分線，∴∠2=∠EBC∵CO是∠FCB平分線，∴∠5=∠FCB由△BCO中內(nèi)角和定理可知：1212121212∠O=180°-∠2-∠5=180°-∠EBC-∠FCB=180°-(180°-∠ABC)-(180°-∠ACB)=(∠ABC112+∠ACB)=(180°-∠A)=∠O=90°-∠A27·21·25.(23-24八年級·全國·專題練習(xí))△ABC中，∠B=58°E∠AEC=．61°∠C+∠ACF∠EAC+∠ECA∵∠B+∠+∠BCA=180°∠B=58°，∴∠+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠+∠C=180°∠BCA+∠ACF=180°，∴∠C+∠ACF=360°-(∠+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠CE平分∠ACF，1212∴∠EAC=∠∠ECA=∠ACF，12∴∠EAC+∠ECA=(∠+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案為：61°．的定義是解答的關(guān)鍵．26.(23-24八年級·河南鄭州·階段練習(xí))如圖，G是ΔAFE兩外角平分線的交點(diǎn)，P是ΔABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，F(xiàn)C在AN上BE在AM∠FGE=66°∠P=度．66∠G=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°12121212-∠A∠P=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A∠P=∠FGE=66°．G是△AFE兩外角平分線的交點(diǎn)，1212∴∠FGE=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A，∵P是△ABC兩外角平分線的交點(diǎn)，1212∴∠P=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A，∴∠P=∠FGE=66°．·22·故答案為：66．進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．27.(23-24八年級·山東聊城·期末)△ABC中，∠ABC∠ACB的平分線交于點(diǎn)OD是∠ACF與∠ABC平分線的交點(diǎn)，E是△ABC∠BOC=130°∠D的度數(shù)為()A.25°B.30°C.40°50°C∠=∠ACO+∠=90°∠BOC=∠+∠D∵CO平分∠ACB平分∠ABC的外角，1212∴∠ACO=∠ACB∠=∠ACF，∵∠ACB+∠ACF=180°，12∴∠=∠ACO+∠=∠ACB+∠ACF=90°，∴∠BOC=∠+∠D，∴∠D=∠BOC-∠=130°-90°=40°，故選擇C．可得∠=90°∠BOC=∠+∠D．28.(23-24八年級·全國·課后作業(yè))(分類討論思想)△ABC的兩外角平分線交于點(diǎn)F．(1)如圖1∠A=30°∠BFC的度數(shù)為(2)如圖2F作直線MN∥BCABAC于點(diǎn)MN∠MFB=α∠NFC=β∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是．．(3)在(2)MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3MN與線段BC∠A與αβ·23·②當(dāng)直線MN與線段BC∠A與αβ(1)75°1(2)α+β-∠A=90°2121212(3)①α+β-∠A=90°β-α-∠A=90°或α-β-∠A=90°(1)由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°-∠A∠CBD+∠BCE=180°+∠A，1再由角平分線的定義可得∠CBF+∠BCF=90°+∠A∠BFC=90°212-∠A12(2)由(1)可得由(1)可得∠BFC=90°-∠Aα+∠BFC+β=180°代入進(jìn)行計(jì)算即可；12(3)①根據(jù)(1)中的結(jié)論∠BFC=90°-∠A12(1)中的結(jié)論∠BFC=90°-∠A(1)解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB+∠ABC=180°-∠A，∵∠ACB+∠BCE=180°∠ABC+∠CBD=180°，∴∠CBD+∠BCE=180°-∠ABC+180-∠ACB=360°-∠ABC+∠ACB=360°-180°-∠A=180°+∠A，∵BF和CF分別是∠和∠BCE的平分線，1212∴∠CBF=∠CBD∠BCF=∠BCE，∴∠CBF+∠BCF，12121212===∠CBD+∠BCE∠CBD+∠BCE×180°+∠A12=90°+∠A，∵∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，1212∴∠BFC=180°-∠CBF+∠BCF=180°-90°+∠A=90°-∠A=75°，故答案為：75°；1(2)解：α+β-∠A=90°，212由(1)可得∠BFC=90°-∠A，∵α+∠BFC+β=180°，1∴α+β+90°-∠A=180°，212即α+β-∠A=90°．·24·12(3)MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，α+β-∠A=90°，理由如下：1∵∠BFC=90°-∠A∠MFB+∠NFC+∠BFC=180°，21∴α+β+90°-∠A=180°，212即α+β-∠A=90°；②當(dāng)直線MN與線段BC∠A與αβ12a．如圖1M在線段AB上，N在射線AC上時(shí)，β-α-∠A=90°，，1∵∠BFC=90°-∠A∠BFC-∠MFB+∠NFC=180°，212∴90°-∠A-α+β=180°，12即β-α-∠A=90°，12b．如圖2M在射線AB上，N在線段AC上時(shí)，α-β-∠A=90°，，1∵∠BFC=90°-∠A∠BFC-∠NFC+∠MFB=180°，212∴90°-∠A-β+α=180°，12即α-β-∠A=90°．知識點(diǎn)812已知△ABC中，BPCP分別是△ABCP.則∠P=∠A1212∵BP是∠ABC平分線，∴∠3=∠ABC∵CP是∠ACE平分線，∴∠1=∠ACE由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A??①·25·1對①式兩邊同時(shí)除以2：∠1=∠3+∠A??②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P??③212比較②③式子可知：∠P=∠A.829.(23-24八年級·江蘇泰州·期末)BC分別在AMAN上運(yùn)動(dòng)(不與A重合)是∠BCN的平分線，的反向延長線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P．知道下列哪個(gè)條件①∠ABC+∠ACB∠A∠-∠ABP∠ABC∠P大小的是()A.①B.②C.③④D∠P=∠-∠ABP∠A=∠NCB-∠ABC∵是∠BCN的平分線，的反向延長線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，∴∠=∠BCD∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB-∠CBP，∴∠P=∠-∠ABP，∴③能求出∠P的大??；∵∠A=∠NCB-∠ABC=2∠-∠ABP∠P=∠-∠ABP1∴∠P=∠A，2∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB1∵∠P=∠A，21212∴∠P=180°-∠ABC+∠ACB=90°-∠ABC+∠ACB，∴①能求出∠P∠P的大小；故選：D．30.(23-24八年級·四川遂寧·開學(xué)考試)D為△ABC邊BC∠A:∠ABC=3:4，∠=140°∠ABC的角平分線與∠的角平分線交于點(diǎn)M∠M=度．·26·301先根據(jù)∠A:∠ABC=3:4∠=140°∠ABC=80°∠CBM=∠ABC=40°,∠=212∠=70°∵∠=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，43+4∴∠ABC=140°×=80°，∵BM平分∠ABCCM平分∠ACD，1212∴∠CBM=∠ABC=40°,∠=∠=70°，∴∠M=∠DCM-∠CBM=30°，故答案為：30．31.(23-24八年級·四川眉山·開學(xué)考試)如圖，∠ABC=∠ACBADBD分別平分∠EAC∠ABC和∠ACFAD∥BC∠ACB=2∠平分∠ADC∠ADC=90°-∠ABD．其中正確的結(jié)論有．(填序號)∠EAD=∠∠EAC=∠ACB+∠ABC∠ABC=∠ACB∠EAD=∠ABCAD∥BC∠=∠由BD平分∠ABC∠ABD=∠∠ABC=2∠平分∠ADC∠ADC+∠CAD+∠=180°∠ADC+∠CAD+∠=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC②由(1)可知AD∥BC，∴∠=∠，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠，∴∠ABC=2∠，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠·27·③若平分∠ADC，∴∠=∠，∵∠=∠=∠ABD，∴∠=∠=∠ABD=∠，∴∠ABC=∠ADC.④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠=180°，∵平分△ABC的外角∠ACF，∴∠=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF∠=∠∠CAD=∠ACB，∴∠=∠ADC∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°-∠ABD角性質(zhì).32.(23-24八年級·河南開封·期末)△ABC中，∠A=48°△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠的平分線相交于點(diǎn)A到∠A∠ABC與∠A的平分線相交于點(diǎn)A∠A??按此規(guī)律繼續(xù)下去，111122∠ABC與∠A的平分線相交于點(diǎn)A∠An的最大值為()nnA.3B.4C.56B1n的關(guān)鍵．先根據(jù)外角和定理得出∠=∠ABC+∠A∠An=∠A即可得到2答案．∵∠是△ABC的一個(gè)外角，∴∠=∠ABC+∠A，∵△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠的平分線相交于點(diǎn)A到∠A∠ABC與∠A的平分線相交于1111點(diǎn)A2，1212∴∠ABC=∠ABC∠ACA=∠ACD，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB1111=180°-∠ABC-(∠ACB+∠ACA)2121121=180°-∠ABC-∠ACB-∠=180°-∠ABC-∠ACB-(∠ABC+∠A)22·28·1=180°-∠ABC-∠ACB-∠A212=∠A-∠A12=∠A，12122同理可得，∠A2=∠A1=∠A，1213∠A3=∠A2=∠A，2......12n∠An=∠A，∵∠A=48°，12n∴∠An=×48°，∵∠An的度數(shù)為整數(shù)，48=3×24，∴n的最大值為4．故選B．知識點(diǎn)9①將三角形紙片ABC沿C落在線段AC∠2=2∠C.12②將三角形紙片ABC沿C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí),則2∠C=∠1+∠2或∠C=(∠1+∠2)12③將三角形紙片ABC沿C落在四邊形ABFE外部時(shí),則2∠C=∠2-∠1或∠C=(∠2-∠1).933.(23-24八年級·河南信陽·開學(xué)考試)ABC沿折疊．·29·(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部時(shí)，∠A∠1∠2的理由；(2)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形外部時(shí)，∠A∠1∠2理由．1(1)∠A=∠1+∠2212(2)∠A=∠1-∠2(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠3∠4(2)先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出∠3∠412(1)解：∠A=∠1+∠2如圖，1212根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠3=180°-∠1∠4=180°-∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，1212∴∠A+180°-∠1+180°-∠2=180°，12整理得，∠A=∠1+∠2；12(2)∠A=∠1-∠2如圖：1212根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠3=180°-∠1∠4=180°+∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，1212∴∠A+180°-∠1+180°+∠2=180°，12整理得，∠A=∠1-∠2．34.(23-24八年級·上海·期中)△ABC中，DE分別是邊AB和AC△ABC紙片沿·30·A落在點(diǎn)F的位置．如果DF∥BC∠B=60°∠